【知識(shí)目標(biāo)】理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含意和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；會(huì)用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡(jiǎn)單的恒等式。

【能力目標(biāo)】初步掌握歸納與推理的方法；培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辯證思維素質(zhì)。

【情感目標(biāo)】培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)在美的感悟能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟（特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運(yùn)用和恒等變換的運(yùn)用）。

【教學(xué)難點(diǎn)】如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)。

【教師教法】引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、感性體驗(yàn)法。

【學(xué)生學(xué)法】讓學(xué)生初步掌握歸納推理的方法，養(yǎng)成自主思維、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【教學(xué)過程】

一、問題引入

1.問題

（1）這個(gè)盒子里有十個(gè)乒乓球，如何證明里面的球全為橙色？

（2）由一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式an=（n2-5n+5）2容易得出an=1，a2=1，a3=1，a4=1由此得出結(jié)論：對(duì)于一切的n∈N*，an=（n2-5n+5）2=1都成立，這個(gè)結(jié)論正確嗎？

（3）對(duì)于數(shù)列{an}，已知an=1，an=■，試寫出an，a2，a3，a4并由此作出猜想{an}的通項(xiàng)公式，這個(gè)結(jié)論正確嗎？

2.分析問題引出課題

請(qǐng)大家思考以上問題的異同點(diǎn)。

（學(xué)生：①一一驗(yàn)證；②只能驗(yàn)證有限個(gè)；③結(jié)論不正確；④結(jié)論不一定正確。）

由此得出歸納法的概念：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。同時(shí)指明了完全歸納法與不完全歸納法的區(qū)別。

通過不完全歸納得出錯(cuò)誤結(jié)論的事例來說明不完全歸納法的缺憾之處，僅根據(jù)一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論是要冒很大風(fēng)險(xiǎn)的，因?yàn)橛锌赡墚a(chǎn)生不正確的結(jié)論。

對(duì)于③結(jié)論不正確可以舉反例，對(duì)于④，沒有辦法確定是否正確，怎么辦呢？總不能這樣一直計(jì)算（驗(yàn)證）下去。

提問：如何解決不完全歸納法存在的問題呢？

引導(dǎo)學(xué)生得出：只有經(jīng)過嚴(yán)格的證明，不完全歸納得出的結(jié)論才是正確的。

一般來說，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小的時(shí)候可以逐個(gè)驗(yàn)證，當(dāng)n很大的時(shí)候，特別是n去所有正整數(shù)的時(shí)候，逐個(gè)驗(yàn)證是不可能的，所有我們需要尋求新的方法：通過有限個(gè)步驟推理，證明n去所有正整數(shù)n時(shí)都成立。（指明方向）這就是我們今天要學(xué)習(xí)的新方法——數(shù)學(xué)歸納法。

教師板書：

歸納法 特殊→一般

完全歸納法、不完全歸納法。

學(xué)生展開討論，教師引導(dǎo)，教師板書課題：數(shù)學(xué)歸納法。

二、詳細(xì)分析多米諾骨牌全部倒下的原理

我們先從多米諾骨牌說起（動(dòng)畫演示：多米諾骨牌倒下原理）。

說明過程：這是一種碼骨牌的游戲，碼放時(shí)保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌也跟著倒下。只要推倒第一塊骨牌，由于第一塊骨牌的倒下，就可導(dǎo)致第二塊骨牌倒下；而第二塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第三塊骨牌跟著倒下……最后，不論有多少塊骨牌，就能全部倒下。

思考：這個(gè)游戲中能使所有的多米諾骨牌全部倒下的條件是什么？

條件：（1）保證第一塊骨牌倒下；（2）保證任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下（該命題條件并不是孤立地研究“某一塊”“下一塊”的骨牌倒下，而是由“前一塊骨牌的倒下”來得到“下一塊骨牌的倒下”的邏輯必然性，即一種遞推關(guān)系）。

討論：以上兩個(gè)步驟如果都得到證明，是否能說明全部的骨牌都倒下了？

由此得出數(shù)學(xué)歸納法的基本概念：它是自然數(shù)相關(guān)問題的一種證明方法。

提問：在現(xiàn)實(shí)生活中有沒有相似的“遞推”思想的實(shí)例呢？

利用多米諾原理證明關(guān)于數(shù)列的猜想，進(jìn)而給出數(shù)學(xué)歸納法的原理。

提問：我們能不能用這種思考方法把剛剛的第三個(gè)問題規(guī)范的論證下來呢？

（問題3：對(duì)于數(shù)列{an}已知an=1，an=■，試寫出an，a2，a3，a4并由此作出猜想的通項(xiàng)公式，這個(gè)結(jié)論正確嗎？）

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論an=■成立

②假設(shè)n=k（k∈N*）時(shí)，結(jié)論ak=■成立，

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=■=■=■=■，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立。

綜上：對(duì)任意的n∈N*都有an=■。

三、例題示范

用數(shù)學(xué)歸納法證明：12+22+32+···+n2=■（n∈N*）

變式訓(xùn)練：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+···+n=■（n∈N*）

四、總結(jié)全文

小結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟。布置作業(yè)。

作者簡(jiǎn)介：林麗虹，女，1982年7月生，本科，就職于福建廈門市翔安一中，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教育。

？誗編輯 韓 曉