【摘 要】隨機(jī)集理論為在雜波背景下的多目標(biāo)跟蹤的研究提供了一種友好的理論工具。本文對近年來的多目標(biāo)跟蹤技術(shù)研究現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述，概要總結(jié)了隨機(jī)有限集的理論基礎(chǔ)和概率假設(shè)濾波器的理論基礎(chǔ)以及在目標(biāo)跟蹤中的應(yīng)用，并對其未來發(fā)展提出了自己的觀點。

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)有限集 多目標(biāo)跟蹤 概率假設(shè)濾波器

一、引言

隨機(jī)集理論（Random Sets Theory，RST）主要是指有限集統(tǒng)計（FISST）理論，Mahler在1994年利用Bayes方法、隨機(jī)集統(tǒng)計學(xué)理論對多傳感器多目標(biāo)狀態(tài)估計問題進(jìn)行了重新描述，并且引入有限集統(tǒng)計特性（finite set statistics，F(xiàn)ISST）理論和廣義FISST理論，在隨機(jī)有限集理論框架下將多傳感器多目標(biāo)跟蹤問題描述為貝葉斯估計問題，且給出了相應(yīng)的多目標(biāo)貝葉斯濾波器的遞推公式，由于該算法的計算復(fù)雜度隨目標(biāo)個數(shù)的增多而迅速增大。因此，需要對多目標(biāo)貝葉斯濾波器做一些智能的近似。Mahler等人從統(tǒng)計的角度提出了多目標(biāo)集合概率分布的“一階矩濾波器”概念以及相應(yīng)的PHD濾波算法。

二、隨機(jī)有限集理論基礎(chǔ)

隨機(jī)集是指取值為集合的隨機(jī)元，是概率論中隨機(jī)變量概念的推廣，實際上就是元素及其個數(shù)都是隨機(jī)變量的集合。隨機(jī)變量處理的是隨機(jī)點函數(shù)，而隨機(jī)集處理的是隨機(jī)集值函數(shù)。隨機(jī)集理論是點向量統(tǒng)計學(xué)向“集合變量”統(tǒng)計學(xué)的一種推廣。

在隨機(jī)試驗中用Ω表示試驗的樣本空間，Ω中的基本元素為ω，稱為樣本點。事件是Ω的一個子集，但是一般情況下不把Ω的所有子集都作為事件來考慮，而是把具有某種限制而又相當(dāng)廣泛的一類Ω的子集作為事件，因此有事件域的概念。

定義1.1設(shè)Ω是樣本空間，F(xiàn)是由Ω的一些子集構(gòu)成的集合，如果滿足以下條件：

（1）Ω∈F；

（2）若A∈F，則A的補集也屬于F；

（3）若對于

則稱F為事件域，F(xiàn)中的元素稱為事件。一般把滿足上述條件的集F稱為-域，所以事件域是一個-域。

樣本空間Ω，事件域F和概率P是描述一個隨機(jī)試驗的三個基本組成部分，三者的有序總體（Ω，F(xiàn)，P）為概率空間。

定義1.2設(shè)F是樣本空間Ω上的一個-域，稱序偶（Ω，F(xiàn)）為可測空間。在概率空間與可測空間的基礎(chǔ)上，引入隨機(jī)集的概念。

定義1.3設(shè)有概率空間（Ω，F(xiàn)，P），（）是一個可測空間，是空間Ψ的-域，Ψ的所有子集構(gòu)成的集類用冪集2Ψ表示，那么隨機(jī)集可以定義為集值映射：Σ：Ω→2Ψ，定義隨機(jī)集Σ的概率分布：

（1）

定義1.4令（）是一個概率空間，其中是樣本空間，是的-代數(shù)，是概率測度，是一個可測空間。對于每一個可測映射（），有x：Ω→Θ，可以表示為：{x│x（w）∈A}∈，若，則x是一個隨機(jī)變量。

三、基于隨機(jī)有限集的目標(biāo)跟蹤原理

使用隨機(jī)集理論提供的數(shù)學(xué)工具，有助于多源多目標(biāo)模型的建立，其基本思想如下：首先將目標(biāo)集重新概念化為一個具有多目標(biāo)狀態(tài)的單目標(biāo)，多目標(biāo)狀態(tài)看作一個“全局狀態(tài)”，單目標(biāo)看作一個“全局目標(biāo)”。其次是將傳感器組重新概念化為一個單傳感器，即一個“全局傳感器”。然后，類似單目標(biāo)運動可以使用運動模型來建模一樣，多目標(biāo)系統(tǒng)的運動可以使用多目標(biāo)運動模型和觀測模型來建模。

在多目標(biāo)背景下，假定k時刻的目標(biāo)集合表示為，測量集合表示，其中和分別為單目標(biāo)狀態(tài)空間X和單目標(biāo)觀測空間Z的所有子集構(gòu)成的矢量集合。對k時刻的目標(biāo)狀態(tài)建模為：

（2）

其中表示由前一時刻狀態(tài)為的目標(biāo)在k時刻存活的隨機(jī)有限集合，表示由前一時刻狀態(tài)為的目標(biāo)在k時刻所衍生出的隨機(jī)有限集合，表示當(dāng)前時刻新生的隨機(jī)有限集合。對k時刻的目標(biāo)觀測量建模為： （3）

其中表示對單個目標(biāo)狀態(tài)為x的隨機(jī)有限集合，表示虛警。

多目標(biāo)后驗密度通過式（4）和式（5）所示的最優(yōu)多目標(biāo)貝葉斯遞歸方程估計，其中表示觀測集合，表示集合積分，表示多目標(biāo)觀測似然

（4）

（5）

由上述遞歸方程可看出，此過程避免了清晰的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)過程。但最優(yōu)多目標(biāo)貝葉斯濾波器在實際中難以應(yīng)用。針對該問題，Mahler提出了最優(yōu)多目標(biāo)貝葉斯濾波器的多種原理近似濾波器。因此，基于隨機(jī)集的PHDF算法應(yīng)運而生。

四、基于隨機(jī)有限集的概率假設(shè)濾波器

Mahler用隨機(jī)有限集的一階矩，近似多目標(biāo)后驗密度，得到概率假設(shè)密度濾波器（PHDF）。PHD函數(shù)表示聯(lián)合多目標(biāo)后驗分布的強(qiáng)度函數(shù)。PHD通過預(yù)測和更新操作對強(qiáng)度函數(shù)進(jìn)行傳播。可以說，PHDF是一種隨著時間推移遞歸地產(chǎn)生多目標(biāo)后驗密度的一階統(tǒng)計矩過程，對于Bayes濾波遞推全局后驗密度過程要簡單的多，PHDF僅涉及單個目標(biāo)狀態(tài)空間內(nèi)的積分運算，運算量大大降低。為了得到完整的PHDF，目標(biāo)數(shù)目需要假設(shè)服從泊松分布。PHD還能夠預(yù)測目標(biāo)數(shù)目的估計值。將PHD與Bayes估計相聯(lián)系，PHD濾波器的遞推計算式分為預(yù)測與更新兩個方程：

（一）PHD預(yù)測方程

（6）

其中，為多目標(biāo)狀態(tài)密度函數(shù)的PHD函數(shù)，為k時刻新出現(xiàn)目標(biāo)的RFS的PHD；為k-1時刻狀態(tài)為的目標(biāo)衍生的RFS的PHD； 為k-1時刻狀態(tài)為的目標(biāo)在k時刻仍存活的概率；為單個目標(biāo)的轉(zhuǎn)移概率密度。

（二）PHD更新方程

在k時刻，得到新的觀測值集合后，更新PHD函數(shù)（.），PHDF更新方程表達(dá)式：

（7）

其中：為多目標(biāo)狀態(tài)密度函數(shù)的PHD函數(shù)，為雜波

PHD函數(shù)，為k時刻的檢測概率；為單個目標(biāo)的似然函數(shù)。由上面的式子可以看出，PHD函數(shù)是一個單目標(biāo)狀態(tài)空間上的多峰的函數(shù)，可認(rèn)為是對各個目標(biāo)后驗概率密度函數(shù)的疊加。

五、概率假設(shè)濾波器的研究在目標(biāo)跟蹤技術(shù)中的應(yīng)用

從1997年到2000年，Mahler首次利用隨機(jī)有限集理論系統(tǒng)地描述了多目標(biāo)跟蹤問題，為基于隨機(jī)集的多目標(biāo)跟蹤方法提供了一個堅實的理論基礎(chǔ).從此以后，它已經(jīng)成為一個新的研究熱點，并取得了豐碩的研究成果和在許多實際問題中取得了成功的應(yīng)用。

把PHD濾波器和具有較好魯棒性的分類算法相結(jié)合，并將其應(yīng)用于高分辨率需達(dá)系統(tǒng)的空中目標(biāo)識別和跟蹤問題以及雷達(dá)目標(biāo)跟 蹤、輻射源定位、地形跟蹤、基于圖像序列的特征點跟蹤、基于聲納數(shù)據(jù)的目標(biāo)跟蹤、聲源跟蹤、視頻目標(biāo)跟蹤 、機(jī)器視覺、同步定位和地圖創(chuàng)建（SLAM）等。隨著PHD濾波器越來越得到廣泛應(yīng)用，與PHD濾波器相關(guān)的諸如目標(biāo)航跡形成，傳感器管理及濾波器的工程應(yīng)用等問題還需進(jìn)行進(jìn)一步研究。

六、總結(jié)

我認(rèn)為，近年來，有關(guān)隨機(jī)有限集理論的方法在目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域中取得的主要成果包括概率假設(shè)密度濾波器和勢概率假設(shè)密度濾波器。但是，在現(xiàn)實中這兩種濾波器很難實現(xiàn)多目標(biāo)狀態(tài)的提取。最近提出了一種勢均衡多目標(biāo)多伯努利濾波器，極大的提高了多目標(biāo)狀態(tài)提取的可靠性和高效性，這會是以后研究方向的一大熱點。

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