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        難以割舍的“三角函數(shù)線”

        2014-04-29 00:00:00顧志忠
        學(xué)園 2014年15期

        【摘要】對(duì)一道典型的三角函數(shù)練習(xí)題,應(yīng)用任意角三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)線進(jìn)行認(rèn)真分析,反思教學(xué),化抽象為直觀,化單純的數(shù)式理解為數(shù)形結(jié)合理解,就能輕松達(dá)到從整體上把握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的教學(xué)目的。

        【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合直觀性質(zhì)

        【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810(2014)15-0124-01

        很多學(xué)生對(duì)如何學(xué)好三角函數(shù)普遍存在內(nèi)容抽象、不好理解的感覺,究其深層次的原因,是對(duì)任意角的三角函數(shù)的定義沒有學(xué)好。本文試圖從一道練習(xí)題,展示說明由三角函數(shù)的定義對(duì)如何理解好三角函數(shù)的性質(zhì)的重要性,反思教學(xué),達(dá)到從整體上把握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的教學(xué)目的。

        練習(xí)題:定義在R上的函數(shù)f(x),當(dāng)sinx≤cosx時(shí),f(x)=cosx;當(dāng)sinx>cosx時(shí),f(x)=sinx給出以下結(jié)論:(1)f(x)是周期函數(shù);(2)f(x)的最小值為-1;(3)當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ(k∈Z)時(shí),f(x)取最大值;(4)當(dāng)且僅當(dāng)

        時(shí),f(x)為減函數(shù);(5)f(x)

        的圖象上相鄰最低點(diǎn)的距離為2π。其中正確命題的序號(hào)是

        (把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)。

        做這類開放式的填空題,往往運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)較多,學(xué)生很難正確完成,錯(cuò)誤率較高。但仔細(xì)思考,本題仍然離不開研究三角函數(shù)的最常規(guī)的方法,即研究三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì),但是如何研究呢?在教學(xué)中,我不斷反思三角函數(shù)的定義及單位圓中三角函數(shù)線直觀表現(xiàn)三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)它可以化抽象為直觀、化單純的數(shù)式理解為數(shù)形結(jié)合理解,輕松就能達(dá)到從整體上把握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的教學(xué)目的。

        下面就以三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)線,來反思本題三角函數(shù)性質(zhì)的教學(xué),如上圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,角x的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與Ox正半軸重合,終邊與單位圓交于點(diǎn)P(或P'),過點(diǎn)P(或P')作PM⊥x軸(P' M'⊥x軸),分別得到正弦線MP(M'P'),余弦線OM(OM')本例是以sinx>cosx或sinx≤cosx作為條件給出函數(shù)關(guān)系式,顯然當(dāng)

        或 時(shí),OM=MP,OM'=M'P'即sinx=

        cosx。所以,函數(shù)的解析式是當(dāng)

        時(shí),f(x)=sinx,當(dāng)2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z)時(shí),

        f(x)=cosx之間互換。當(dāng)角x的終邊繞原點(diǎn)從y=x(x>0)開始,按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)=x(x<0),此時(shí)f(x)=sinx,

        正弦線MP按照 的規(guī)律周而復(fù)始變化著;

        同時(shí),當(dāng)終邊從y=x(x<0)開始,按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)

        =x(x>0)。此時(shí)f(x)=cosx,余弦線OM按照

        的規(guī)律周而復(fù)始變化著。

        由正弦線、余弦線的上述變化規(guī)律,可得到函數(shù)的以下性質(zhì):(1)周期性:自變量x每增加2π(角x的終邊旋轉(zhuǎn)一周),函數(shù)y=f(x)從正弦函數(shù)到余弦函數(shù)之間互換,并重復(fù)出現(xiàn),所以函數(shù)的周期為2π。(2)奇偶性:角x與角x對(duì)應(yīng)的函數(shù)線可能是正弦線與余弦線,不可能關(guān)于x軸對(duì)稱或重合,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。(3)單調(diào)性,見表1。(4)最大值、最小值,如表2。

        表1

        角x2kπ- ≤

        x≤2kπ

        (k∈Z)2kπ≤x≤2kπ

        + (k∈Z)

        2kπ+ ≤x≤

        2kπ+ (k∈Z)

        2kπ+ ≤x≤

        2kπ+ (k∈Z)

        函數(shù)y=cosxy=cosxy=sinxy=sinx

        函數(shù)線變化

        單調(diào)性遞增遞減遞增遞減

        表2

        角xx=2kπ

        函數(shù)y=cosxy=sinxy=sinx或y=cosx

        函數(shù)線變化11

        最值最大值最大值最小值

        總之,對(duì)于此類的三角函數(shù)題,教師若能緊緊抓住單位圓的三角函數(shù)線及定義,不斷反思教學(xué),就不難準(zhǔn)確完成此類練習(xí)題,真正達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果。

        〔責(zé)任編輯:李錦雯〕

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