中圖分類號(hào)：G42文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A合情推理是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。在解決問題的過程中，合情推理具有猜側(cè)和發(fā)表結(jié)論，探索和提供思路的作用。有利于創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。在學(xué)習(xí)中要把推理方法形成自己的解決問題的意識(shí)，使得問題的解決有章有法，得心應(yīng)手。合情推理包括歸納推理和類比推理。

一、歸納推理和類比推理的聯(lián)系

歸納推理與類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理。由這兩種推理得到的結(jié)論都不一定正確，其正確性有待進(jìn)一步證明。

二、歸納推理和類比推理的區(qū)別

(一) 歸納推理

1.歸納推理定義:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。

說明：歸納推理的思維過程大致如下：

2.歸納推理的特點(diǎn):

（1)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍。

(2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn)。因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。

(3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.通過歸納推理得到的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

歸納推理是從個(gè)別事實(shí)中概括出一般原理的一種推理模型，歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法。

3.歸納推理的一般步驟：

①通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同本質(zhì)；

②從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題。

說明：歸納推理基于觀察和實(shí)驗(yàn)，像“瑞雪兆豐年”等農(nóng)諺一樣，是人們根據(jù)長(zhǎng)期的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納的結(jié)果.物理學(xué)中的波義耳—馬略特定律、化學(xué)中的門捷列夫元素周期表、天文學(xué)中開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律等，也都是在實(shí)驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上，通過歸納發(fā)現(xiàn)的。

（二）類比推理（以下簡(jiǎn)稱類比）

1.類比推理定義:由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）。簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。

2. 類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或一致性；

②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）。

3.說明：類比推理的思維過程大致如下圖所示：

類比推理是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式。類比推理不象歸納推理那樣局限于同類事物， 同時(shí)，類比推理比歸納推理更富于想像，因而也就更具有創(chuàng)造性。人類在科學(xué)研究中建立的不少假說和教學(xué)中許多重要的定理，公式都是通過類比提出來的，工程技術(shù)中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類比推理的啟迪下而獲得的。因此，類比推理已成為人類發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要工具。

三、典例剖析

例1.觀察下列等式:

12=1

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32-42=-10

照此規(guī)律， 第n個(gè)等式可為____.

本例是利用歸納推理解決問題的，作為歸納推理的“集散地”，以數(shù)列為背景是常見的命題形式，通過數(shù)列呈現(xiàn)的規(guī)律來確定數(shù)列的某一項(xiàng)，具有一定的難度，且具有時(shí)代性。考察觀察、歸納、推理能力。

【答案】

由歸納推理所得到的結(jié)論不一定正確，但它所具有的特殊到一般的性質(zhì)對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著十分重要的作用.應(yīng)用時(shí)首先分析清楚題目的條件，合理歸納.

例2.求一個(gè)質(zhì)數(shù)，當(dāng)它分別加上10和14時(shí)仍為質(zhì)數(shù).

【分析】我們可以采用歸納推理，先由具體的數(shù)計(jì)算開始，再歸納猜想一般性的結(jié)論.

【解析】用歸納法進(jìn)行試驗(yàn):

2+10=12，2+14=16，質(zhì)數(shù)2不合要求；

3+10=13， 3+14=17，質(zhì)數(shù)3不合要求；

5十10=15，5+14=19，質(zhì)數(shù)5不合要求；

7+10=17，7+14=21，質(zhì)數(shù)7不合要求.

……

歸納上述結(jié)論，可以猜想，3是符合要求的質(zhì)數(shù).

聯(lián)想發(fā)散:歸納推理是通過對(duì)一些個(gè)別、特殊情況的觀察與分析，導(dǎo)出一般結(jié)論的推理方法，利用歸納猜想，可以探索數(shù)學(xué)規(guī)律，探究解題途徑。但是結(jié)論的正確性還有待于邏輯上的證明。本題中由于質(zhì)數(shù)的變化無規(guī)律，不能用解析式把它表示出來，因此若能證明除了3之外的所有自然數(shù)分別加上10和14不能都是質(zhì)數(shù)，也就證明了除3以外的所有質(zhì)數(shù)加上10和14不能都是質(zhì)數(shù).事實(shí)上，自然數(shù)可分為三類3n ， 3n+1，3n+2(n足正整數(shù)）；∵（3n+1）十14=3（n十5）是合數(shù)；（3n十2)+10=3(n+4)是合數(shù)；

∴3n+1和3n+ 2這兩類自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)都不符合要求，而3n這類自然數(shù)中，只有當(dāng)n=1時(shí)，3n才能是質(zhì)數(shù)，其余都是合數(shù)，因此符合條件的質(zhì)數(shù)只有3.

例3.如圖，過四面體V-ABC的底面上任一點(diǎn)O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側(cè)面交點(diǎn). 求證：為定值.

【分析】 考慮平面上的類似命題：“過△ABC（底）邊 AB上任一點(diǎn)O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC、AC于A1、B1，求證為定值”。這一命題利用相似三角形性質(zhì)很容易推出其為定值1。另外，過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1.于是類比到空間圍形，也可用兩種方法證明其定值為1。

【證明】如圖，設(shè)平面OA1 VA∩BC=M，平面OB1 VB∩AC=N，平面OC1 VC∩AB=L，則有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV.得

。

在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一點(diǎn)O，用面積法易證得：

。

通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向。