【摘 要】函數(shù)思想、方程思想貫穿整個(gè)初中數(shù)學(xué)的教與學(xué)，若我們能熟練地對(duì)這兩種數(shù)學(xué)思想進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，就會(huì)收到事半功倍的效果。本文通過(guò)分析具體案例著重探討了初中數(shù)學(xué)中函數(shù)思想與方程思想轉(zhuǎn)化的問(wèn)題，希望能為數(shù)學(xué)教學(xué)提供有益參考。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 函數(shù)思想 方程思想

【中圖分類號(hào)】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810（2014）35-0143-01

一 相關(guān)概念解析

函數(shù)思想是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析研究數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系，在運(yùn)用函數(shù)圖像和性質(zhì)分析問(wèn)題中，達(dá)到轉(zhuǎn)化問(wèn)題的目的。

方程思想是以數(shù)量關(guān)系為切入點(diǎn)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——方程、方程組，通過(guò)求解方程、方程組轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

雖然函數(shù)思想和方程思想是兩個(gè)不同的概念，但是這兩種數(shù)學(xué)思想?yún)s有著密切的聯(lián)系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函數(shù)y=ax2+bx+c當(dāng)函數(shù)值為0時(shí)自變量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的個(gè)數(shù)就是求函數(shù)y=ax2+bx+c與函數(shù)y=dx+e圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。這種緊密的關(guān)系為函數(shù)思想與方程思想在初中數(shù)學(xué)中的相互轉(zhuǎn)化提供了物質(zhì)條件。

二 用函數(shù)思想解決方程問(wèn)題

通過(guò)一個(gè)例題兩種不同解析方法的對(duì)比來(lái)體會(huì)用函數(shù)思想解決方程問(wèn)題是否具有優(yōu)越性。

一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0中m為何值時(shí)，（1）有一根大于1、另一根小于1？（2）有一正根、一負(fù)根？

方法一用韋達(dá)定理解析：因?yàn)樵摲匠逃懈?，所以Δ?，Δ=b2-4ac=[2（m-1）]2-4（m+2）=4m2-12m+4≥0，

即m≤ 或m≥ 。

設(shè)x1<1，x2>1，則x1-1<0，x2-1>0則（x1-1）（x2-1）<0，也就是x1x2-（x1+x2）+1<0。

根據(jù)韋達(dá)定理x1+x2=-b/a x1x2=c/a，則有（m+2）+2（m-1）+1<0，解得m<-1/3。

設(shè)x1<0，x2>0，則x1x2<0，根據(jù)韋達(dá)定理x1x2=c/a，則有m+2<0，解得m<-2。

方法二用函數(shù)思想解析：將一元二次方程左邊看成是一個(gè)二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數(shù)f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點(diǎn)。所以只需x=1時(shí)，f（x）<0。

則有1+2（m-1）+（m+2）<0，解得m<-1/3。

將一元二次方程左邊看成是一個(gè)二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2），那么一元二次方程x2+2（m-1）x+（m+2）=0的根就是函數(shù)f（x）=0中自變量x的值，也就是f（x）=x2+2（m-1）x+（m+2）這條開口向上的拋物線與x軸的交點(diǎn)。所以只需x=0時(shí)，f（x）<0。

則有m+2<0，解得m<-2。

從兩種解析方法的比較中，不難看出：對(duì)于（1）的解析中運(yùn)用函數(shù)思想解決方程問(wèn)題可以大大減輕計(jì)算量，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；對(duì)于（2）的解析中運(yùn)用函數(shù)思想解決方程問(wèn)題并沒(méi)有表現(xiàn)出很明顯的簡(jiǎn)化效果。所以，解決方程問(wèn)題我們要靈活把握，具體問(wèn)題具體分析，本著化繁為簡(jiǎn)的原則選擇合適的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題。

三 用方程思想解決函數(shù)問(wèn)題

周末王芳騎自行車和小伙伴一起到郊外游玩。她從家出發(fā)后2小時(shí)到達(dá)目的地，游玩3小時(shí)后按原路以原速返回，王芳離家4小時(shí)40分鐘后，爸爸開車沿相同路線迎接王芳，如圖是他們離家的路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）的函數(shù)圖像。已知王芳騎車的速度為15千米/時(shí)，爸爸開車的速度為60千米/時(shí)。王芳家與游玩

地的距離是多少？爸爸出發(fā)

多長(zhǎng)時(shí)間與王芳相遇？

根據(jù)題意可知王芳騎自

行車的速度為15千米/時(shí)，

而她到達(dá)游玩地所用時(shí)間是2小時(shí)，所以王芳家與游玩地的距離是15千米/時(shí)×2小時(shí)=30千米。

設(shè)爸爸出發(fā)后x小時(shí)與王芳相遇，根據(jù)題意，在王芳原路返回前20分鐘即1/3小時(shí)，爸爸開車出發(fā)，爸爸開車的速度為60千米/時(shí)，王芳騎車的速度為15千米/時(shí)，因此60x+15（x-1/3）=15×2。解一元一次方程求得x=7/15。

所以爸爸出發(fā)后7/15小時(shí)即爸爸出發(fā)后28分鐘與王芳相遇。

對(duì)于本題的解答，我們不能想當(dāng)然地看到函數(shù)圖像就試圖求出函數(shù)的解析式。采用方程思想進(jìn)行解答是把復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題變成了簡(jiǎn)單的一元一次方程問(wèn)題和相遇問(wèn)題，這樣大大降低了解題的難度。由此類行程問(wèn)題看，函數(shù)思想和方程思想是一致的，它們都是以實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系為切入點(diǎn)。而從難易程度上來(lái)說(shuō)，方程思想更有利于學(xué)生接受。

在初中數(shù)學(xué)問(wèn)題中，還有很多可以采用方程思想與函數(shù)思想互換方式解決的題型，我們只是希望通過(guò)本文的分析對(duì)轉(zhuǎn)化思想起到拋磚引玉的作用。希望在以后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，能恰當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化思維解決復(fù)雜問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

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〔責(zé)任編輯：林勁〕