一、 定義與命題

1. 定義

對(duì)名稱或術(shù)語(yǔ)的含義進(jìn)行描述或做出規(guī)定，就是給出它們的定義.

【明晰】①必須嚴(yán)密，通常定義中有“是”“叫”“稱為”等判斷詞，不能使用“一些”“大概”“差不多”等含糊不清的詞語(yǔ)；②一般不用否定判斷.

如：“兩點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離”就屬于下定義.

2. 命題

（1） 對(duì)某一件事情做出判斷的句子叫做命題.

【明晰】判斷是否是命題要注意兩點(diǎn)：①是否是完整的句子；②是否做出肯定或否定的判斷. 一般說(shuō)來(lái)命題是帶有肯定或否定語(yǔ)氣的完整的陳述語(yǔ)句，疑問(wèn)句、感嘆句、祈使句等都不是命題.

如：“連接A、B兩點(diǎn).”“對(duì)角線相等嗎？”就不是命題. “在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”就是命題.

（2） 在數(shù)學(xué)中命題一般由條件和結(jié)論兩部分組成.

【明晰】①有些命題呈現(xiàn)出“如果……那么……”的形式，此時(shí)“如果”后面的語(yǔ)句就是條件，“那么”后面的語(yǔ)句就是結(jié)論.

如命題：“如果a-b>0，那么a>b. ”條件是a-b>0，結(jié)論是a>b.

②有些命題則需要改寫成“如果……那么……”的形式后才能寫出條件和結(jié)論.

如命題：“鄰補(bǔ)角互補(bǔ)”. 先改寫為“如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)”，然后可寫出條件“兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角”，結(jié)論為“這兩個(gè)角互補(bǔ)”.

（3） 命題有真、假之分：如果條件成立，那么結(jié)論成立，這樣的命題叫真命題；如果條件成立，結(jié)論不一定成立，這樣的命題叫做假命題.

【明晰】辨別一個(gè)命題真假的方法：①實(shí)際生活問(wèn)題，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)；②數(shù)學(xué)中判定一個(gè)命題是真命題，要經(jīng)過(guò)推理；③要判斷一個(gè)命題是假命題，只需要一個(gè)反例即可.

如：判斷下列命題的真、假.

二、 證明

1. 事件的判斷

觀察、操作、實(shí)驗(yàn)是人們認(rèn)識(shí)事物的重要手段，通過(guò)觀察、操作、實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論常常是正確的，但是僅憑觀察、操作、實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論有時(shí)是不深入的、不全面的，甚至是錯(cuò)誤的.

【明晰】①觀察是對(duì)客觀事物所進(jìn)行的一種查看體驗(yàn)活動(dòng)，簡(jiǎn)單講就是用眼睛采訪；②操作是指人用手活動(dòng)的一種行為，也是一種技能；③實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的基本方法之一，根據(jù)科學(xué)研究的目的，盡可能地排除外界的影響，突出主要因素并利用一些專門的儀器設(shè)備，人為地變革、控制或模擬研究對(duì)象，使某一些事物（或過(guò)程）發(fā)生或再現(xiàn)，從而去認(rèn)識(shí)自然現(xiàn)象、自然性質(zhì)、自然規(guī)律. “紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行.” 檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的常用方法有如下三種：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證、舉出反例、推理等.

如：圖1中的四邊形受同心圓的影響，容易把四邊形的邊看成是彎曲的，所以認(rèn)為它不是正方形，但是可以借助于三角板等工具實(shí)際測(cè)量比較發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)正方形.

再如：用一根比地球赤道長(zhǎng)1 m的鐵絲將赤道圍起來(lái)，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙有多大？能放進(jìn)一顆紅棗嗎？能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎？

【解析】設(shè)赤道周長(zhǎng)為C，則鐵絲與赤道之間的間隙為-=≈0.16（m）. 這樣的間隙既能放進(jìn)一顆紅棗，也能放進(jìn)一個(gè)拳頭.

2. 證明與定理

（1） 根據(jù)已知的真命題，確定某個(gè)命題真實(shí)性的過(guò)程叫做證明.

【明晰】①證明是說(shuō)明真命題的說(shuō)理過(guò)程，證明過(guò)程必須做到言必有據(jù). 證明過(guò)程通常包含幾個(gè)推理過(guò)程，每個(gè)推理應(yīng)包括因、果和由因得果的依據(jù). 其中，“因”是已知事項(xiàng)；“果”是推得的結(jié)論；“由因得果的依據(jù)”是基本事實(shí)、定義、已學(xué)過(guò)的定理以及等式性質(zhì)、不等式性質(zhì)等. ②證明過(guò)程的基本結(jié)構(gòu)是：“∵……（ ），∴……（ ）. ”其中“∵”后面寫推理的因，“∴”后面寫推理的果，“（ ）”里面寫出條件的由來(lái)或由因到果的依據(jù)理由. 由此可見，每一步推理應(yīng)包括“因”“果”“理由”三部分，而且因果關(guān)系必須合理. 證明過(guò)程就是由這一步步“推理”構(gòu)成的. ③推理的表述形式有三種：一因一果型；一因多果型；多因一果型. 特別是多因一果型，必須要多“因”齊全才能得出“果”. 證明就是找“果”“因”之間的“邏輯鏈”，一要言必有據(jù)，二要書寫規(guī)范.

（2） 經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理.

【明晰】定理一定是真命題，但真命題不一定都是定理. 定理是在研究中覺(jué)得比較重要和常用的結(jié)果，授予它定理的地位. 一般來(lái)說(shuō)課本上以黑體字形式出現(xiàn)的文字表述都是定理.

3. 證明與圖形有關(guān)的命題的一般步驟

（1） 根據(jù)題意，畫出圖形；

（2） 根據(jù)命題的條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；

（3） 寫出證明過(guò)程.

【明晰】①畫出與命題有關(guān)的圖形時(shí)，把求證的內(nèi)容在圖上標(biāo)上符號(hào). 還要根據(jù)證明的需要，在圖上標(biāo)出必要的字母或符號(hào)，以便于敘述或推理過(guò)程的表述. ②已知部分是已知事項(xiàng)，即把命題的題設(shè)轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)語(yǔ)言寫在已知中；求證部分是論證的事項(xiàng)，即把命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言寫在求證中.

4. 定理的推論

由一個(gè)定理直接推出的正確結(jié)論，叫做這個(gè)定理的推論.

【明晰】定理的推論和定理一樣可以作為進(jìn)一步證明的依據(jù).

如：三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

它為證明一角等于兩角的和提供了重要依據(jù).

5. 證明思路的分析方法

為了尋找正確的證題方法或途徑，我們可以先設(shè)想它的結(jié)論是正確的，然后追究它成立的原因，再就這些原因分別研究，看它們的成立又各需具備什么條件，如此逐步往上逆求，直至達(dá)到已知的事實(shí)，這樣一種思維方法就叫做逆向分析，可簡(jiǎn)單地概括為“執(zhí)果索因”，即“拿著結(jié)果去尋找原因”.

若要證明命題：“若A成立，則D成立. ”用逆向分析思考時(shí)，其思路可如圖3所示：（從下往上看）從結(jié)論開始，即從D開始往上尋求其成立的條件，假設(shè)C、C1、C2都能使D成立，再尋求有什么條件能使C、C1、C2成立，設(shè)B、B1能使C成立，B2能使C1成立，B3、B4能使C2成立，這一切原因，固然都可使D成立，但究竟哪個(gè)是題設(shè)A的結(jié)果呢？檢查之后，設(shè)發(fā)現(xiàn)B是，這樣就由未知的D上溯到已知的A，因而就獲得了證明的思路：D←C←B←A，即D可由C得出，C又可由B得出，B又可由已知的A得出，至此命題得證.

證明一個(gè)命題的正確時(shí)，我們先從已知的條件出發(fā)，通過(guò)一系列已確立的命題（如定義、定理等），逐步向前推演，最后推得要證明的結(jié)果，這種思維方法叫做順向綜合，可簡(jiǎn)單地概括為：“由因?qū)Ч?，即“由原因去推?dǎo)結(jié)果”.

用順向綜合思考上述命題時(shí)，其思路可由圖4所示：從已知條件開始，故從A開始推演，尋找可以到達(dá)D的思路，但由A所得的結(jié)果往往不止一個(gè)，可能有好多個(gè). 設(shè)B、B1、B2都是A的結(jié)果，同樣由B、B1、B2又可得好多結(jié)果，設(shè)由B可得C、C1，B1可得C2，B2可得C3、C4，在這些C中，只要有一個(gè)能得出D即可，思考至此便可得到：A→B→C→D這個(gè)證明思路了. 若C中還沒(méi)有一個(gè)能得出D的，可如上一樣，再往下尋求，直至能推理得出D為止.

兩者的優(yōu)缺點(diǎn)是：在思考上逆向分析優(yōu)于順向綜合，在表達(dá)上逆向分析不如順向綜合；逆向分析利于思考，順向綜合宜于表述，在解決問(wèn)題中，最好合并使用；對(duì)于一個(gè)新問(wèn)題，一般先用逆向分析尋求解決，然后用順向綜合有條理地表述出來(lái).

有道是：由因?qū)Ч芯C合，執(zhí)果索因是分析，綜合分析齊出場(chǎng)，兩頭湊法最受益.

三、 互逆命題

1. 互逆命題

在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題. 其中一個(gè)命題是另一個(gè)命題的逆命題.

【明晰】①互逆命題不是指一個(gè)命題，而是指兩個(gè)命題之間的一種關(guān)系，它和互為倒數(shù)、互為相反數(shù)、互為余角、互為補(bǔ)角這些含義類似；②原命題與逆命題是相對(duì)的，互逆命題是指兩個(gè)命題之間的某種關(guān)系，這種關(guān)系體現(xiàn)在條件與結(jié)論的相互交換上；③每個(gè)命題都可以將它的條件和結(jié)論互換得到它的逆命題，因而每個(gè)命題都有逆命題；④每個(gè)命題都有逆命題，但原命題正確，它的逆命題卻不一定正確，原命題錯(cuò)誤，逆命題不一定錯(cuò)誤.

如：請(qǐng)寫出“等腰三角形兩腰上的高相等”的逆命題.

【解析】把一個(gè)命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題. 命題的條件是“一個(gè)三角形是等腰三角形”，結(jié)論是“兩腰上的高相等”. 將條件和結(jié)論互換時(shí)，需注意腰是等腰三角形特有的，應(yīng)將“兩腰上的高相等”換為“兩邊上的高相等”. 將條件和結(jié)論互換得逆命題為：如果一個(gè)三角形兩邊上的高相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形.

2. 舉反例

舉出一個(gè)符合命題的條件，但命題結(jié)論不成立的例子來(lái)說(shuō)明命題是假命題的例子叫做反例

【明晰】反例的列舉必須符合條件，舉反例時(shí)，可以用文字語(yǔ)言來(lái)表述，也可以用數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明，還可以用圖形來(lái)表示.

如命題“任何角都小于其補(bǔ)角”的反例是“令∠A=130°，則∠A的補(bǔ)角∠B為50°，而∠A>∠B”.

3. 互逆命題的真假性

有些互逆命題均為真命題，如“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”和“有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形”；有些互逆命題一真一假，如“如果a>1，那么a2>1”和“如果a2>1，那么a>1”； 有些互逆命題均為假命題，如“銳角與鈍角互為補(bǔ)角”.

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市江南中學(xué)）