呂家權(quán)

摘要：運用ARIMA模型對我國1949—2009年的人口總數(shù)進(jìn)行了分析與預(yù)測，得出AR IMA（2，2，1）模型可以對我國的人口總數(shù)作短期預(yù)測的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：AR IMA模型；人口總數(shù)；時間序列分析；預(yù)測

1.問題的提出

中國是世界上人口最多的國家，人口過多一直是阻礙我國經(jīng)濟發(fā)展的重要因素，2011年第六次全國人口普查主要數(shù)據(jù)顯示，全國總?cè)丝诩s為13.7億。與2000年第五次全國人口普查相比，10年間增加7390萬人，增長了5.82%，年平均增長率為0.57%。數(shù)據(jù)表明，雖然這一段時間我國人口增長處于低生育水平階段，但人口總數(shù)仍居高不下。

2、ARIMA模型介紹

如果時間序列yt，能通過d次差分后變成平穩(wěn)序列，即yt～I(xiàn)（d），則

ut=Δd yt=（1-Φ（L））dyt

ut為平穩(wěn)序列，即ut～I(xiàn)0），于是可建立AR IMA（p，q）模型：

ut=c+φ₁ut-1+φ2ut-2+…+φput-p+εt+θ₁εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q

經(jīng)d階差分后的AR IMA（p，q）模型稱為AR IMA（p，d，q）模型，其中p為自回歸階數(shù)，q為移動平均階數(shù)，εt為一個白噪聲序列。

1.建立ARIMA模型的步驟一般如下：

一，平穩(wěn)性檢驗。二，模型初步識別。三，估計模型參數(shù)。四，模型的診斷分析。

2.模型預(yù)測

一、將模型參數(shù)估計出來后寫出一般方程式，代入解釋變量求出被解釋變量的估計值；二、將估計值與實際值比較，算出平均誤差（不超過5%）。

3.實證分析

（一）數(shù)據(jù)的選取

本文的數(shù)據(jù)為1949-2009年中國的人口總數(shù)，記為P.

（1）平穩(wěn)性檢驗

作出人口的變化趨勢圖，如下圖1。圖像明顯有向右上方傾斜的趨勢，且上升趨勢和幅度不一致，說明此序列有增長的趨勢，并且存在異方差；對數(shù)據(jù)做ADF檢驗，t值為-1.146，絕對值都小于1%、5%、10%顯著性水平下的臨界值絕對值，所以不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該時間序列是非平穩(wěn)時間序列。

（2）對非平穩(wěn)的時間序列p進(jìn)行平穩(wěn)化處理

對序列進(jìn)行二階差分，t值為-7.26，絕對值大于三個臨界值，拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該時間序列經(jīng)過二階差分后滿足平穩(wěn)性通過了檢驗，說明人口序列P為二階單整序列，即D2（p）～I(xiàn)（2）。

（3）ARIMA模型的擬合

我們可以確定AR IMA（p，d，q）模型中的d應(yīng)取為2。為了確定模型中的p和q，觀察自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖，看到自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖都是拖尾的，因此建立AR IMA模型。經(jīng)過推算，以A IC和SC準(zhǔn)則選出最優(yōu)模型為AR IMA（2，2，1）.Eviews回歸結(jié)果為：

Δ2（p）=277989.5+1.5Δ2（pt-1）-0.51Δ2（pt-2）+εt+0.35εt-1

（189） （957） （-325） （205）

（4）模型的檢驗和診斷

一、F檢驗：模型的F檢驗值為7572324，對應(yīng)的伴隨概率為0，說明回歸方程整體是顯著的：二、R2檢驗：判定系數(shù)R2=0999，調(diào)整判定系數(shù)2=0999，說明原回歸方程對樣本數(shù)據(jù)擬合得很好。三、t檢驗：假設(shè)顯著性水平為005，查表得t值=068，AR（1）、AR（2）、MA（2）的t統(tǒng)計量都大于068，說明解釋變量的系數(shù)都是顯著的，每個變量都不可省略。

模型中的殘差序列以及Δ2（p）的實際值和擬合值的序列見下圖2：從圖2可以看出，模型的擬合值和實際值相差不多，殘差值很小，基本上消除了線性或者指數(shù)趨勢，較為平穩(wěn)，說明模型通過了適應(yīng)性檢驗。為了進(jìn)一步檢驗該模型的效果，記εt為該模型的殘差序列，對其進(jìn)行單位根檢驗，得到的t值為-5.467，其絕對值都大于三個臨界值的絕對值。因此，殘差序列εt能在1%的顯著性水平下被認(rèn)定位一個白噪聲過程，這說明D2（p）的擬合值是實際值的無偏估計，模型的擬合效果是較好的。

（5） 模型的預(yù)測

用AR IMA（2，2，1）型對我國人口總數(shù)（P）做預(yù)測，利用模型對2007到2010年的數(shù)值行預(yù)測和對照：

由表1可以看出，該模型在短期內(nèi)預(yù)測的比較準(zhǔn)確，平均誤差為2112%，但隨著預(yù)測時間的延長，誤差可能會逐漸增大。

4、結(jié)論

通過以上的分析和預(yù)測，說明ARIMA模型對于非平穩(wěn)時間序列作建模分析，具有較好的預(yù)測效果。本文所建立的AR IMA（2，2，1）模型是較為成功的。另外根據(jù)模型表達(dá)式可知，我國在未來還會有人口的增長，人口基數(shù)勢必會繼續(xù)上升，經(jīng)濟發(fā)展勢必還要受龐大的人口數(shù)量的影響，又會帶來一系列問題。（作者單位：國立華僑大學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

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