付淑娟 李杰

摘 要：洛爾中值定理是數(shù)學(xué)分析中一個基本定理，洛爾中值定理及其推廣形式在數(shù)學(xué)分析中應(yīng)用十分廣泛。本文將展示洛爾中值定理的各種推廣形式及其在數(shù)學(xué)分析中的靈活應(yīng)用，并清晰指出各種推廣形式之間的蘊涵關(guān)系及發(fā)展關(guān)系。

關(guān)鍵字： 洛爾中值定理 應(yīng)用

中圖分類號：G434 文獻標識碼：A 文章編號：1674-3520（2014）-01-0049-02

洛爾定理：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則， 使。

一、洛爾定理在無窮區(qū)間上的推廣

若在處處可導(dǎo)，且， 則，使

證明：（i） 若a， b均為有限值，構(gòu)造函數(shù)

則在上連續(xù)，在 上可導(dǎo)，且則，有

（ii） 若我們試圖通過一個變換將無窮區(qū)間變換為有限區(qū)間。

設(shè)，，使 則條件變?yōu)?/p>

研究函數(shù)

二、洛爾中值定理在函數(shù)的推廣

如果給函數(shù)本身加強條件，則有洛爾定理在函數(shù)意義上的推廣，即所謂的拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒展式。

拉格朗日中值定理：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則存在，使得。

當時即洛爾定理。

柯西中值定理：若和在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)。

且則存在，使 。

當時，此定理即為拉格朗日中值定理。

泰勒展式：若在的某鄰域內(nèi)有直到階的導(dǎo)數(shù)，且存在，則

（于與之間）稱為拉格朗日余項。

泰勒展式是拉格朗日中值定理的推廣。

應(yīng)用舉例：設(shè)在上可微，<0，<0，≤。

試證：在內(nèi)有相異兩個根。

證明：∵≤，在上不恒單調(diào)減??；

∵<0，在的右鄰域單調(diào)減?。?/p>

∵連續(xù)，使=。

由拉格朗日中值定理，

-==0，<<。

由此，=0，為的一個根。

又：<0，在的左鄰域單調(diào)減小，

∵連續(xù)，在上不恒單調(diào)減小，使，

由拉格朗日中值定理，

==0，<<，

∴=0，為的另一個根。

又例：設(shè)在二次可微且有界，證明：使。

證明：（i） 若≡0，則=，則，恒有點存在。

（ii）0，不失一般性，設(shè)>0，是任一點。

斷定，不可能嚴格單調(diào)。

否則，設(shè)嚴格單調(diào)，因此有>0或者<0。

由泰勒展式：

（于與之間）。

當>0 ，取>則>+，；當<0，取<

則<+，。

這兩種情況均與在上的有界性矛盾，

∴不可能嚴格單調(diào)。

∴，使=，由洛爾定理，，有。

一般情況下，洛爾定理通常用于求方程或解的存在性；拉格朗日中值定理用于證明含有函數(shù)改變量的問題及某些不等式的證明，在證明函數(shù)的二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)時，通常用泰勒展式。我們說，中值定理溝通了函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，一般遇到用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)性態(tài)的問題，都要想到中值定理。

三、洛爾定理推廣到多元函數(shù)情形

設(shè)點集：

定理：設(shè)→滿足以下條件

（i）在上連續(xù)， （ii）在內(nèi)可微，

（iii）存在非零向量使有

·=0，（·為內(nèi)積）則一點使（這里為矩陣）即

與向量組正交。

參考文獻：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.《數(shù)學(xué)分析》（上）高等教育出版社.2003

[2]張志軍編著.《數(shù)學(xué)分析中的一些新思想與新方法》蘭州大學(xué)出版社.1997