張春幸 劉菊花

摘 要：分析了影響銑刀桿設(shè)計(jì)的強(qiáng)度、剛度等諸多因素，建立了優(yōu)化選取銑刀桿結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用MATLAB語言對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

關(guān)鍵字：銑刀桿；MATLAB 優(yōu)化設(shè)計(jì)

在切削加工過程中，優(yōu)化選擇切削參數(shù)的問題已成為現(xiàn)代化機(jī)械制造業(yè)中極為重要的經(jīng)濟(jì)問題之一，而傳統(tǒng)的依靠經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和查閱手冊(cè)獲取的切削參數(shù)，其生產(chǎn)效率低且加工成本偏高。因此，以提高切削加工效率、降低加工成本、獲得高質(zhì)量產(chǎn)品為目的而進(jìn)行的切削參數(shù)優(yōu)化的研究，對(duì)提高經(jīng)濟(jì)效益具有重要意義。銑削加工是機(jī)械加工中一種重要的、常見的方法之一。銑削加工的精度高，其加工的質(zhì)量、安全性及可靠性與諸多因素有關(guān)，其中，銑刀桿的設(shè)計(jì)質(zhì)量就是一個(gè)重要因素。工廠里的經(jīng)驗(yàn)法，雖然基本上滿足設(shè)計(jì)要求，但卻不是最優(yōu)、最理想的設(shè)計(jì)。隨著現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的普及和發(fā)展，以及在計(jì)算機(jī)條件下數(shù)值計(jì)算方法的成熟，為銑刀桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了條件。本文通過一個(gè)銑刀桿結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例，來說明工程銑刀桿結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本方法，建立優(yōu)化選取銑刀桿結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用當(dāng)今流行的科學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算語言MATLAB對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。

1．問題的提出

普通銑刀桿自由端有集中載荷，即切削阻力P= 1000N，扭矩M=100N*m。懸臂伸出不小于100mm，刀桿直徑不大于50mm，己知使用的材料的許用彎曲應(yīng)力120N/mm2，許用扭轉(zhuǎn)剪切應(yīng)力80N/mm2，許用撓度[f]=0.1mm，彈性模量E=200000N/mm2，要求設(shè)計(jì)的銑刀桿用料最省，試確定銑刀桿的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

2．優(yōu)化模型的建立

2.1模型的基本假設(shè)及約定

銑刀桿種類繁多，但刀桿主要的設(shè)計(jì)參數(shù)應(yīng)為刀桿的桿長(zhǎng)L(mm)和刀桿的直徑D(mm)，其他的輔助參數(shù)可由已得的L、D及使用的銑刀等條件查相關(guān)手冊(cè)得到。設(shè)計(jì)變量，寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式：

2.2模型的建立

2.2.1確定目標(biāo)函數(shù)

一般的刀桿設(shè)計(jì)都是在滿足強(qiáng)度、剛度等的條件下，以求用料最省，即體積最小。所以，此處選刀桿體積最小為目標(biāo)函數(shù)：

2.2.2確定約束條件

（1）一般來講，為保證工件與銑刀的相對(duì)位置，刀桿的長(zhǎng)度應(yīng)大于等于某個(gè)極限值 （mm），而刀桿直徑應(yīng)小于等于某個(gè)極限值 （mm）：

（2）刀桿在承受彎曲和扭轉(zhuǎn)時(shí)應(yīng)具有一定的強(qiáng)度，才能保證加工的安全性，彎曲應(yīng)力應(yīng)不大于材料許用應(yīng)力，剪切應(yīng)力不大于材料剪切應(yīng)力：

（3）銑刀桿的剛度影響被加工工件表面質(zhì)量等，所以，為了保證加工質(zhì)量，刀桿在承受載荷時(shí)發(fā)生的撓度f應(yīng)不大于許用撓度[f]：

其中 為不同的物理模型中的最大彎曲應(yīng)力與L，D的函數(shù)， 為不同的物理模型中的最大剪切應(yīng)力與L，D的函數(shù)， 為不同的物理模型中的最大撓度與L，D的函數(shù)。

2.2.3進(jìn)行模型的抽象化處理

將上一步得到的目標(biāo)函數(shù)以及約束條件進(jìn)行整理，令X 為二元矩陣，令D=x1，L=x2,可得優(yōu)化選取銑刀桿結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)學(xué)模型為：

注：對(duì)于不同的銑削形式，有不同的刀桿，也就對(duì)應(yīng)不同的力學(xué)模型，但總可以用以上模型描述。

3．基于MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行模型求解

根據(jù)上面建立的數(shù)學(xué)模型對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)例進(jìn)行處理可得：

首先建立目標(biāo)函數(shù)“fun.m”文件，以下是 fun 函數(shù)的語句：

%目標(biāo)函數(shù)

function f=fun(x)

f=(pi*x(2)*x(1)*x(1)/4)

注：因MATLAB中不能識(shí)別下標(biāo)值，故上述語句中的x（1）、x（2）即x1、x2分別代表刀桿直徑，刀桿長(zhǎng)度。

接下來建立約束條件“mycon.m”文件，以下是“mycon.m”文件里包含的語句：

function[c,ceq]=mycon(x)

c(1)=[100000*x(2)-12*x(1)^3];

c(2)=[50000-8*x(1)^3];

c(3)=[34*x(2)^3-10*x(1)^4];

ceq=[];

注：上述語句中的c 矩陣為求解模型中的非線性約束。

最后建立求解文件“jie.m”（也可以不用建立求解文件，直接在MATLAB 的 command 窗口輸入以下語句即可），以下是 jie.m 中的語句：

x0=[50,100];

options=optimset('Largescale','on','TolCon',1e-8,'TolX',1e-8);

lb=[0,0];

A=[1,0;0,-1;-1,0];

b=[50;-100;-18.42];

Aeq=[];

beq=[];

[x,fval]=fmincon (@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,[],@mycon,options)

注：因?yàn)榈稐U直徑，刀桿長(zhǎng)度不能為負(fù)值，因此 x1、x2（亦即語句中的 x（1）、x（2））的下限值向量 lb=［0，0，0］；矩陣A、b 為不等式線性約束 g1、g2的系數(shù)矩陣，矩陣 Aeq、beq 為等式線性約束的系數(shù)矩陣。通過以上的求解得x1= 42.9408mm，x2= 100.000mm，V= 1.4482e+005mm3。

表1 優(yōu)化值與經(jīng)驗(yàn)值對(duì)比結(jié)果

比較項(xiàng)目 D L 目標(biāo)函數(shù) 性能約束

/mm /mm V(mm3)

經(jīng)驗(yàn)值 45 120 1.9085e+005 11.6872 -74.5130 0.0433

優(yōu)化值 42.9408 100 1.4482e+005 0.0000 -73.2314 -0.0058

4．結(jié)論

比較優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的結(jié)果，可以看出42.9408和100這兩個(gè)數(shù)值已經(jīng)能滿足設(shè)計(jì)要求，所以沒有必要再進(jìn)行放大了。傳統(tǒng)設(shè)計(jì)法因?yàn)榉糯蠖鴮?dǎo)致了材料的浪費(fèi)，而利用本文所述的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法則可以很好地在經(jīng)濟(jì)性和安全性中求得一個(gè)最優(yōu)解。應(yīng)用 MATLAB優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，設(shè)計(jì)者只需要通過一次計(jì)算，便可得到可靠的設(shè)計(jì)結(jié)果，因此避免了傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法因設(shè)計(jì)者經(jīng)驗(yàn)不足而造成的過度放大，提高了效率，縮短了設(shè)計(jì)周期。設(shè)計(jì)實(shí)例的正確性和合理性充分說明該模型的正確性，而本文運(yùn)用MATLAB優(yōu)化工具的求解方法亦不失為一種既簡(jiǎn)單又科學(xué)的方法。所以，本文建立的數(shù)學(xué)模型和解決方法是實(shí)用的。

5.參考文獻(xiàn)

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