【摘要】本文利用構(gòu)造可抹二次等冪和數(shù)組的方法，由可重復(fù)使用的“基本數(shù)組”，構(gòu)造出4組可抹二次等冪和數(shù)組，在此基礎(chǔ)上根據(jù)五次等冪和定理，快速構(gòu)造出五次等冪和“金蟬脫殼”數(shù)組，即可抹五次等冪和數(shù)組，并簡(jiǎn)單介紹了可抹等冪和在代數(shù)恒等式、行列式恒等式上的應(yīng)用，在構(gòu)造三角形數(shù)、復(fù)數(shù)、四元數(shù)等冪和上的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】金蟬脫殼；可抹五次等冪和數(shù)組；基本數(shù)組；五次等冪和定理

為探求等冪和問(wèn)題，需引入一個(gè)簡(jiǎn)化記號(hào).凡是ak1+ak2+…+aks=bk1+bk2+…+bks （k=1，2，…，n），都簡(jiǎn)記為（a1，a2，…，as）n=（b1，b2，…，bs）n，并稱為s階n次等冪和.

例如，124689k+692814k+849162k+986421k+418296k+261948k=216498k+

481926k+968241k+894612k+629184k+142869k（k=1，2，3，4，5），就可簡(jiǎn)記成 （124689，

692814，849162，986421，418296，261948）5=（216498，481926，968241，894612，629184，142869）5（1）

為研究可抹等冪和問(wèn)題，需引入等冪和的一個(gè)性質(zhì)：如果（a1，a2，…，as）n= （b1，b2，…，bs）n，那么（a1+m，a2+m，…，as+m）n= （b1+m，b2+m，…，bs+m）n.

等冪和（1）看似尋常，卻有著“金蟬脫殼，至死不變”的性質(zhì)：將等冪和（1）中每個(gè)數(shù)自左至右逐次抹去一位、兩位、三位，直至剩下個(gè)位數(shù)，每組數(shù)之和、平方和、…、五次方之和總是保持彼此相等，即（24689，92814，49162，86421，18296，61948）5=（16498，81926，682

41，94612，29184，42869）5；（4689，2814，9162，6421，8296，1948）5=（6498，1926，8241，4612，9184，

2869）5；（689，814，162，421，296，948）5=（498，926，241，612，184，869）5；（89，14，62，21，96，48）5=（98，26，41，12，84，69）5 （2）；（9，4，2，1，6，8）5=（8，6，1，2，4，9）5.

不僅如此，將等冪和（1）中每個(gè)數(shù)自右至左逐次抹去一位、兩位、三位，直至剩下個(gè)位數(shù)，每組數(shù)之和、平方和、…、五次方之和總是保持彼此相等，即（12468，69281，84916，

98642，41829，26194）5=（21649，48192，96824，89461，62918，14286）5；（1246，6928，8491，9864，4182，2619）5=（2164，4819，9682，8946，6291，1428）5；（124，692，849，986，418，261）5=（216，481，968，894，629，142）5； （12，69，84，98，41，26）5=（21，48，96，89，62，14）5；（1，6，8，9，4，2）5=（2，4，9，8，6，1）5.

有趣的是，把上面所有等冪和數(shù)組括號(hào)中的數(shù)n都換成第n號(hào)“三角形數(shù)”Tn（或正方形數(shù)或五角形數(shù)或多角形數(shù)，詳見(jiàn)文獻(xiàn)＼[1＼]），Tn=n（n+1）[]2，如把89換成三角形數(shù)T89，并把等冪和次數(shù)5換成2，就可得到“三角形數(shù)”（或正方形數(shù)或五角形數(shù)或多角形數(shù)）二次等冪和.如由等冪和數(shù)組（2）得：（T89，T14，T62，T21，T96，T48）2=（T98，T26，T41，T12，T84，T69）2，即（4005，105，1953，231，4656，1176）2=（4851，351，861，78，3570，2415）2，其和為12126，平方和為42979932.當(dāng)然，把等冪和數(shù)組（2）化簡(jiǎn)，即括號(hào)中每個(gè)數(shù)都減去11后，得到相應(yīng)的“三角形數(shù)”二次等冪和也是成立的.

不妨把具有“金蟬脫殼”性質(zhì)的五次等冪和數(shù)組，稱為五次等冪和“金蟬脫殼”數(shù)組，

簡(jiǎn)稱為可抹五次等冪和數(shù)組.那么，如何構(gòu)造可抹五次等冪和數(shù)組呢？下面，我們先來(lái)研究4組可抹二次等冪和數(shù)組的求法.

一、巧造4組可抹二次等冪和數(shù)組

首先，引入文獻(xiàn)＼[2＼]中的引理（本文稱它為引理1）：

引理1如果a+b+c =3t[]2，那么（a，b，c）2= （t-a，t-b，t-c）2；其逆命題也成立.

引理1的意義在于可用來(lái)構(gòu)造二次等冪和數(shù)組.如取a=1，b=69，c=134，由a+b+c =3t[]2，得t=136，所以，（1，69，134）2=（136-1，136-69，136-134）2，即（1，69，134）2=（135，67，2）2.又如由引理1可構(gòu)造出毎個(gè)數(shù)都是1位數(shù)組成的二次等冪和數(shù)組：取a+b+c =15時(shí)，由

a+b+c =3t[]2，得t=10.當(dāng)a=1，b=6，c=8時(shí)，得（G）（1，6，8）2=（10-1，10-6，10-8）2，即（1，6，

8）2=（9，4，2）2（3）；同理，（2，6，7）2=（8，4，3）2；（H）（9，3，3）2=（1，7，7）2；（I）（6，6，3）2=（4，4，7）2；（J）（2，5，8）2=（8，5，2）2等；再根據(jù)等冪和性質(zhì)，把等冪和數(shù)組（3）括號(hào)中的每個(gè)數(shù)都減去1，或根據(jù)引理1得：（0，5，7）2=（8，3，1）2，…

其次，利用毎個(gè)數(shù)都是1位數(shù)組成的二次等冪和數(shù)組（對(duì)應(yīng)數(shù)要放在對(duì)應(yīng)位置上），構(gòu)

造可抹二次等冪和數(shù)組.在“可抹二次等冪和探究”（詳見(jiàn)文獻(xiàn)＼[2＼]）一文中，介紹了用最簡(jiǎn)單的二次等冪和數(shù)組構(gòu)造可抹二次等冪和數(shù)組的簡(jiǎn)單方法，介紹了構(gòu)造數(shù)論中著名的“等冪和問(wèn)題”的可抹二次等冪和數(shù)組：（123789，561945，642864）2=（761943，323787，242868）2的方法.根據(jù)此方法順次疊加等冪和數(shù)組（G），（H），（J），（I），（J），（H）與（G），得可抹二次等冪和數(shù)組：（1926291，6356536，8383838）2=（9184819，4754574，2727272）2.

最后，利用構(gòu)造可抹二次等冪和數(shù)組的方法，構(gòu)造出4組可抹二次等冪和數(shù)組（簡(jiǎn)稱數(shù)

組1）.下面給出6個(gè)4組可抹二次等冪和數(shù)組（簡(jiǎn)稱“基本數(shù)組”）：（A）（1，6，8）2=（9，4，2）2

=（2，4，9）2=（8，6，1）2；（B）（2，9，4）2=（8，1，6）2=（1，8，6）2=（9，2，4）2；（C）（6，8，1）2=（4，2，9）2=（4，9，2）2=（6，1，8）2；（D）（9，4，2）2=（1，6，8）2=（8，6，1）2=（2，4，9）2；（E）（8，1，6）2=（2，9，4）2=

（9，2，4）2=（1，8，6）2；（F）（4，2，9）2=（6，8，1）2=（6，1，8）2=（4，9，2）2.順次疊加等冪和數(shù)組（A）與（B），得數(shù)組1：（12，69，84）2=（98，41，26）2=（21，48，96）2=（89，62，14）2；順次疊加等冪和數(shù)

組（A），（B）與（C）（簡(jiǎn)稱ABC法，以下同），得數(shù)組1：（126，698，841）2=（984，412，269）2=

（214，489，962）2=（896，621，148）2；由AFA法，得數(shù)組1：（141，626，898）2=（969，484，212）2

=（262，414，989）2=（848，696，121）2； 由ABFCED法，得數(shù)組1： （124689，692814，849162）2

=（986421，418296，261948）2=（216498，481926，968241）2=（894612，629184，142869）2 （4）.

可見(jiàn)，由n個(gè)可重復(fù)使用的“基本數(shù)組”，可構(gòu)造出每個(gè)數(shù)都是n位數(shù)組成的數(shù)組1.

那么還有其他“基本數(shù)組”嗎？有.由前面給出的6個(gè)“基本數(shù)組”，根據(jù)等冪和性質(zhì)，

括號(hào)中的每個(gè)數(shù)都減去1，又可得到6個(gè)“基本數(shù)組”：（A1）（0，5，7）2=（8，3，1）2=（1，3，8）2=（7，5，0）2；（B1）（1，8，3）2=（7，0，5）2=（0，7，5）2=（8，1，3）2；（C1）（5，7，0）2=（3，1，8）2=

（3，8，1）2=（5，0，7）2；（D1）（8，3，1）2=（0，5，7）2=（7，5，0）2=（1，3，8）2；（E1）（7，0，5）2=（1，8，3）2=（8，1，3）2=（0，7，5）2；（F1）（3，1，8）2=（5，7，0）2=（5，0，7）2=（3，8，1）2.

類似地，綜合應(yīng)用12個(gè)“基本數(shù)組”，可構(gòu)造出更奇特的數(shù)組1.如由B1A1FDE1CC1EF1B法，得（1049765832，8524087119，3792510684）2=（7861143258，0386821971，5118398406）2=（0168843951，7316198208，5881321476）2=（8742065139，1594710882，3029587614）2.（5）

由于“基本數(shù)組”是由等冪和：（1，6，8）2=（9，4，2）2或由這個(gè)等冪和括號(hào)中的每個(gè)數(shù)都減去1，得到的等冪和：（0，5，7）2=（8，3，1）2構(gòu)成的.不妨，把構(gòu)造數(shù)組1的方法，稱為等冪和（1，6，8）2=（9，4，2）2構(gòu)造法（簡(jiǎn)稱為“168”構(gòu)造法）.那么，由“168”法構(gòu)造的數(shù)組1，能否構(gòu)造出可抹五次等冪和數(shù)組（簡(jiǎn)稱數(shù)組2，以下同）呢？下面，再來(lái)研究數(shù)組2的求法.

二、速求可抹五次等冪和數(shù)組

為構(gòu)造數(shù)組2，我們先來(lái)證明兩個(gè)引理.

引理2如果A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+（A2+B2）2，那么A41+B41+（A1+B1）4=

A42+B42+（A2+B2）4.

證明由已知條件得A21+A1B1+B21=A22+A2B2+B22，因?yàn)锳41+B41+（A1+B1）4=2（A41

+2A31B1+3A21B21+2A1B31+B41）=2（A21+A1B1+B21）2，同理，A42+B42+（A2+B2）4=2（A22+

A2B2+B22）2，所以，原等式成立.

引理3如果A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+（A2+B2）2，那么（A1，B1，-A1-B1，

-A1，-B1，A1+B1）5=（A2，B2，-A2-B2，-A2，-B2，A2+B2）5（6）；其逆命題也成立.

證明（1）因?yàn)锳21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+（A2+B2）2，所以，A41+B41+（A1+B1）4

=A42+B42+（A2+B2）4，所以，Ak1+Bk1+（-A1-B1）k+（-A1）k+（-B1）k+（A1+B1）k=Ak2+

Bk2+（-A2-B2）k+（-A2）k+（-B2）k+（A2+B2）k （k=2，4），又因?yàn)锳k1+Bk1+（-A1-B1）k+（-A1）k+（-B1）k+（A1+B1）k=Ak2+Bk2+（-A2-B2）k+（-A2）k+（-B2）k+（A2+B2）k=0 （k=1，3，5），所以，等冪和（6）成立.

（2）由等冪和（6）得：A21+B21+（-A1-B1）2+（-A1）2+（-B1）2+（A1+B1）2=A22+B22+

（-A2-B2）2+（-A2）2+（-B2）2+（A2+B2）2，所以，A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+

（A2+B2）2.

引理3的意義在于用來(lái)構(gòu)造五次等冪和，又在于用來(lái)快速檢驗(yàn)一個(gè)已知六階五次等冪和的正確性.

為構(gòu)造數(shù)組2，我們?cè)賮?lái)證明一個(gè)定理.

五次等冪和定理如果（a1，b1，c1）2=（t-a1，t-b1，t-c1）2=（a2，b2，c2）2=（t-a2，t-b2，t-c2）2，那么（a1，b1，c1，t-a1，t-b1，t-c1）5=（a2，b2，c2，t-a2，

t-b2，t-c2）5.（7）

證明因?yàn)椋╝1，b1，c1）2=（t-a1，t-b1，t-c1）2，由引理1得a1+b1+c1=3t[]2，所

以a1+b1=3t[]2-c1.設(shè)A1=a1-t[]2，B1=b1-t[]2，則A1+B1=a1+b1-t=3t[]2-c1-t

=t[]2-c1，所以A21+B21+（A1+B1）2=A21+B21+（-A1-B1）2=a1-t[]22+b1-t[]22+

c1-t[]22.再設(shè)A2=a2-t[]2，B2=b2-t[]2，同理可得：A22+B22+（A2+B2）2=a2-t[]22+b2-t[]22+c2-t[]22.根據(jù)等冪和的性質(zhì)，由（a1，b1，c1）2=（a2，b2，

c2）2得： a1-t[]2，b1-t[]2，c1-t[]22=a2-t[]2，b2-t[]2，c2-t[]22，所以a1-t[]22+b1-t[]22+c1-t[]22=a2-t[]22+b2-t[]22+c2-t[]22，即A21+B21+（A1+B1）2=A22+B22+（A2+B2）2，所以由引理3，得（A1，B1，-A1-B1，-A1，

-B1，A1+B1）5=（A2，B2，-A2-B2，-A2，-B2，A2+B2）5，即（a1-t[]2，b1-t[]2，c1-t[]2，t[]2-a1，t[]2-b1，t[]2-c1）5=（a2-t[]2，b2-t[]2，c2-t[]2，t[]2-a2，t[]2-b2，t[]2-c2）5，這個(gè)等冪和括號(hào)中的每個(gè)數(shù)都加上t[]2，即得等冪和（7），于是定理得證.

定理的意義在于用來(lái)構(gòu)造不可抹五次等冪和.如由（1668，6881，8116）2=（9442，4229，

2994）2=（1681，6816，8168）2=（9429，4294，2942）2（其中t=11110，以下t值略），可得五次等冪和：（1668，6881，8116，9442，4229，2994）5=（1681，6816，8168，9429，4294，2942）5.

定理更重要的意義在于用數(shù)組1構(gòu)造數(shù)組2.由數(shù)組1中的等式（4），可得數(shù)組2中的等式（1）； 由數(shù)組1中的等式（5），可得數(shù)組2：（1049765832，8524087119，3792510684，7861143258，

0386821971，5118398406）5=（0168843951，7316198208，5881321476，8742065139，1594710882，

3029587614）5.

類似地，根據(jù)“168”構(gòu)造法可構(gòu)造出無(wú)數(shù)新的數(shù)組2.如選第一個(gè)底數(shù)為1662，可由ACCB法或B1CCB法構(gòu)造.由ACCB法，得數(shù)組1：（1662，6889，8114）2=（9448，4221，

2996）2=（2441，4998，9226）2=（8669，6112，1884）2，再根據(jù)定理得數(shù)組2：（1662，6889，8114，9448，4221，2996）5=（2441，4998，9226，8669，6112，1884）5；同樣，由B1CCB法和定理得數(shù)組2：（1662，8889，3114，7448，0221，5996）5=（0441，7998，5226，8669，1112，3884）5.

前面，我們介紹了“168”構(gòu)造法.那么，有其他構(gòu)造方法嗎？對(duì)比（1，6，8）2=（9，4，2）2

與（2，6，7）2=（8，4，3）2，把“基本數(shù)組”中的等冪和（A），（B），（C），（D），（E），（F）中的1，6，8，9，4，2分別置換成2，6，7，8，4，3，可得6個(gè)新的“基本數(shù)組”，再把這6個(gè)新的“基本數(shù)組”括號(hào)中的每個(gè)數(shù)，根據(jù)等冪和性質(zhì)，分別減去1，或減去2，或加上1，得18個(gè)新的“基本數(shù)組”.由這24個(gè)新的“基本數(shù)組”，仿照“168”構(gòu)造法，可構(gòu)造出無(wú)數(shù)新的數(shù)組1和數(shù)組2.這樣的構(gòu)造方法，稱為等冪和（2，6，7）2=（8，4，3）2構(gòu)造法（簡(jiǎn)稱為“267”構(gòu)造法）.如由“267”構(gòu)造法，可構(gòu)造出數(shù)組1和數(shù)組2：（1049765832，5495274427，65546

29373）2=（7683347256，3237838661，2178483715）2=（2138847751，3287383616，7673438265）2=（6594265337，5445729472，1059674823）2 （8）和（1049765832，5495274427，6554629373，

7683347256，3237838661，2178483715）5=（2138847751，3287383616，7673438265，6594265337，5445729472，1059674823）5 （9）.需要說(shuō)明的是不能將“168”和“267”構(gòu)造法中的“基本數(shù)組”混合搭配來(lái)構(gòu)造，因?yàn)榇藭r(shí)構(gòu)造出來(lái)的不一定是等冪和.

根據(jù)“168”或“267”構(gòu)造法，構(gòu)造出來(lái)的可抹五次等冪和數(shù)組，與完美的可抹二次等冪和數(shù)組一樣，除了具備“金蟬脫殼”性質(zhì)外，還具備以下性質(zhì)： 可逆性、不變性、置換性、

回文性（詳見(jiàn)文獻(xiàn)＼[2＼]）.因此，把數(shù)組1中的等式（8）括號(hào)中每個(gè)數(shù)最后一位的數(shù)字抹去，可以得到3個(gè)新的數(shù)組1：（104，549，655）2=（768，323，217）2=（213，328，767）2=（659，544，

105）2（10），（976，527，462）2=（334，783，848）2=（884，738，343）2=（426，572，967）2 （11），（583，

442，937）2=（725，866，371）2=（775，361，826）2=（533，947，482）2 （12）； 把數(shù)組2中的等式（9）括號(hào)中的最后一位數(shù)字抹去，可以得到3個(gè)新的數(shù)組2：（104，549，655，768，323，217）5=（213，328，767，659，544，105）5 （13），（976，527，462，334，783，848）5=（884，738，

343，426，572，967）5 （14），（583，442，937，725，866，371）5=（775，361，826，533，947，482）5 （15）.

不管是可抹二次等冪和數(shù)組，還是可抹五次等冪和數(shù)組，除了“好玩”具有欣賞性外，能否把這些等冪和推廣應(yīng)用呢？首先，可構(gòu)建代數(shù)恒等式.由（a，b，c）2= （t-a，t-b，t-c）2，

可得ab+bc+ca≡（t-a）（t-b）+（t-b）（t-c）+（t-c）（t-a）.如由數(shù)組1中的等式（10）可得：104×549+549×655+655×104=768×323+323×217+217×768=213×328+328×767+767×213=659×544+544×105+105×659=484811；由（ai，bi，ci）2=（ti-ai，ti-bi，ti-ci）2（i=1，2），可得a1a2+b1b2+c1c2≡（t1-a1）（t2-a2）+（t1-b1）（t2-b2）+（t1-c1）（t2-c2）.由數(shù)組1中的等式（10）和（11）可得：104×976+549×527+655×462=768×334

+323×783+217×848 = 213×884+328×738+767×343= 659×426+544×572+105×967=69343

7.其次，可構(gòu)建行列式恒等式.由（ai，bi，ci）2=（ti-ai，ti-bi，ti-ci）2（i=1，2，3），得

a1b1c1a2b2c2a3b3c3≡t1-a1t1-b1t1-c1t2-a2t2-b2t2-c2t3-a3t3-b3t3-c3和a1b1c1a2b2c2111≡t1-a1t1-b1t1-c1t2-a2t2-b2t2-c2111.

設(shè)M=104k549k655k976k527k462k583k442k937k，N=768k323k217k334k783k848k725k866k371k，G=213k328k767k884k738k343k775k361k826k，H=659k544k105k426k572k967k533k947k482k，當(dāng)k=1時(shí)，根據(jù)數(shù)組1中的等式（10），（11）和（12）可得M=N=G=H=-242759349； 當(dāng)k=1或2時(shí)，根據(jù)數(shù)組2中的等式（13），（14）和（15）可得M+N=G+H=-485518698或-430396 553723 834698，且具有“金蟬脫殼”性質(zhì).又分別把三階行列式M，N，G，H第三行中的底數(shù)都換成1，得到新的行列式，并分別記為M′，N′，G′，H′.當(dāng)k=1時(shí)，根據(jù)數(shù)組1中的等式（10），（11）可得M′=N′=G′=H′=18669；當(dāng)k=1或2時(shí)，根據(jù)數(shù)組2中的等式（13），（14）可得M′+N′=G′+H′=37338或44684 413298.

最后，介紹在構(gòu)建可抹五次“復(fù)數(shù)”等冪和數(shù)組、可抹五次“四元數(shù)”等冪和數(shù)組的應(yīng)用.由數(shù)組2中的等式（14）和（15），可構(gòu)造可抹五次“復(fù)數(shù)”等冪和數(shù)組：（976+583i，527+

442i，462+937i，334+725i，783+866i，848+371i）5=（884+775i，738+361i，343+826i，426+53

3i，572+947i，967+482i）5（其中i為虛數(shù)單位）.把數(shù)組2中的等式（9）括號(hào)中每個(gè)數(shù)最前面的兩位數(shù)字抹去，可以得到4個(gè)新的數(shù)組2：（49，95，54，83，37，78）5=（38，87，73，94，45，59）5，

（76，27，62，34，83，48）5=（84，38，43，26，72，67）5，（58，44，93，72，86，37）5=（77，36，82，53，94，48）5，

（32，27，73，56，61，15）5=（51，16，65，37，72，12）5.由上面4個(gè)數(shù)組2中的等式，可構(gòu)造可抹五次“四元數(shù)”等冪和數(shù)組：（49+76i+58j+32k，95+27i+44j+27k，54+62i+93j+73k，83+34i+72j+

56k，37+83i+86j+61k，78+48i+37j+15k）5=（38+84i+77j+51k，87+38i+36j+16k，73+43i+

82j+65k，94+26i+53j+37k，45+72i+94j+72k，59+67i+48j+23k）5（其中i、j、k為虛數(shù)單位）.

一個(gè)可抹等冪和、一組代數(shù)恒等式、一組行列式恒等式，更顯數(shù)的“和諧”之美，還有三角形數(shù)、復(fù)數(shù)、四元數(shù)等冪和更是錦上添花，更使我們浮想聯(lián)翩，就像一個(gè)“數(shù)學(xué)問(wèn)題”解決了，可能伴隨著一個(gè)新的未解決的“數(shù)學(xué)問(wèn)題”的誕生，簡(jiǎn)直讓您欲罷不能，就像磁鐵一樣，深深地吸引著您，可抹二次幻方問(wèn)題，“孿生”卡普列加數(shù)問(wèn)題（詳見(jiàn)文獻(xiàn)＼[3＼]），如何快速求出m階卡普列加數(shù)問(wèn)題……更激勵(lì)著我們?nèi)ヌ剿?、去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)王國(guó)里新的奧妙.

【參考文獻(xiàn)】

＼[1＼]談祥柏.數(shù)：上帝的寵物＼[M＼].上海：上海教育出版社，1996（1999重?。?28-136，262-274.

＼[2＼]曾俊雄.可抹二次等冪和探究＼[J＼].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（7）：121-122.

＼[3＼]曾俊雄.話說(shuō)卡普列加數(shù)——我的數(shù)學(xué)“神話”＼[J＼].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（11）：126-127，129.