王福政

處處留心皆學(xué)問，生活中處處有數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問題的“葵花寶典”.在學(xué)習(xí)“二次根式”這一章時，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，是解決“二次根式”問題最給力的“靈丹炒藥”.本文通過實(shí)例著重介紹“二次根式”一章所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，希望能對同學(xué)們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有所幫助.

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想是將數(shù)與形結(jié)合來進(jìn)行分析、研究解決問題的一種思想方法.解決“二次根式”數(shù)形結(jié)合問題的方法一般是將“形”的直觀結(jié)合“數(shù)”的細(xì)微，有助于找到解題思路，達(dá)到事半功倍的作用.

例1已知實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示.

試化簡：a2+b2-（a-1）2+（b-1）2+（a-b）2.

解析觀察數(shù)軸可知：a>b，0

∴a-b>0，a-1<0，b-1<0.

∴原式=|a|+|b|-|a-1|+|b-1|+|a-b|

=a-b-＼[-（a-1）＼]-（b-1）+（a-b）

=a-b+a-1-b+1+a-b

=3a-3b.

點(diǎn)評本例先由數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷出a，b的符號，再確定被開方數(shù)中的底數(shù)的值的符號，最后運(yùn)用a2=|a|進(jìn)行化簡.

二、轉(zhuǎn)化思想

把復(fù)雜的變?yōu)楹唵蔚?，把陌生的變?yōu)槭煜さ?，把未知的知識變?yōu)橐阎闹R，把此知識點(diǎn)變?yōu)楸酥R點(diǎn)，把綜合的變?yōu)閱我坏?，是?shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn).

例2函數(shù)y=1x-1的自變量的取值范圍是.

解析要確定函數(shù)自變量的取值范圍，必須使x的取值范圍滿足如下兩個條件：①二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；②分式中分母不能為零.

于是有：x≥0，x-1≠0，∴x≥0且x≠1.

點(diǎn)評把確定函數(shù)自變量的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問題，而本例確定不等式的根據(jù)為：①二次根式中被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；②分式中分母不能為0，從而實(shí)現(xiàn)此知識點(diǎn)的有效轉(zhuǎn)化.

三、整體思想

整體思想是指從題目的整體性質(zhì)出發(fā)，著重對題目的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)題目的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的方法把所研究對象的具有共同特征的一部分（或全部）看成是一個整體，把握它們之間的聯(lián)系，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理.

例3已知：x-1x=2，求x2+1x2+14的值.

解析將已知條件兩邊同時平方得：x+1x-2=4，

∴x+1x=6，再視x+1x為一整體，并用含x+1x的代數(shù)式表示x2+1x2，

于是有：x2+1x2+14=x+1x2+12=62+12=48=43.

點(diǎn)評解本例時，先要將注意力和出發(fā)點(diǎn)放在問題整體結(jié)構(gòu)上，從而觸及問題的本質(zhì)，即把x+1[]x視為一個整體，從而避開煩鎖的計算，使問題得以簡潔快速的解決.

四、換元思想

運(yùn)用數(shù)學(xué)元素的等量代換原理，把某一部分看成一個整體并用一個新字母代替來解題的方法稱為換元法.換元法的本質(zhì)是引進(jìn)一個變量，對原來給定的關(guān)系進(jìn)行分解或組合，達(dá)到把繁、難的計算簡化的目的，從而溝通已知與未知，簡化代數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，實(shí)現(xiàn)化繁為簡的目標(biāo).