唐澤生

聯(lián)想是一種思維活動(dòng)，其特點(diǎn)是從某一事物想到與之有一定聯(lián)系的另一事物.解數(shù)學(xué)題的聯(lián)想應(yīng)是根據(jù)題意想到相關(guān)的公式、定理、性質(zhì)及例題，從而使問(wèn)題得到順利的解決.在聯(lián)想中提高解題能力重點(diǎn)在于點(diǎn)撥，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到所學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，使學(xué)生學(xué)有收獲.在教學(xué)中，我設(shè)計(jì)了下面一道題，讓學(xué)生思考：

1.已知a41+a42+…+a4n=1，b41+b42+…+b4n=1.

求證：a21b21+a22b22+…+a2nb2n≤1.

2.已知a，b，c∈R+，求證：

①a6+2b6+3c6≥6ab2c3；

②5a7+2b7≥7a5b2.

要求：（1）據(jù)題意，你聯(lián)想到什么知識(shí)點(diǎn)，做后有何感悟？

（2）能否推廣？若能，寫(xiě)出推廣的式子.

分析第一題，由題目的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到知識(shí)點(diǎn)ab≤a2+b22a2b2≤a4+b42也成立，則a21b21≤a41+b412，a22b22≤a42+b422，∴a2nb2n≤a4n+b4n2 a21b21+a22b22+…+a2nb2n≤a41+a42+…+a4n+b41+b42+…+b4n2=1.

推廣若an1+an2+…+ann=1，bn1+bn2+…+bnn=1，且a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R+，則有（a1b1）n2+（a2b2）n2+…+（anbn）n2≤1.

分析第二題，①②都要這樣的特點(diǎn)，左邊各項(xiàng)系數(shù)之和與右邊項(xiàng)系數(shù)相等，聯(lián)想到知識(shí)點(diǎn)，設(shè)a1，a2，…，an∈R+，則a1+a2+…+an≥nna1an…an.因此，可作下列的變式：a6+2b6+3c6=a6+b6+b6+c6+c6+c6≥66a6b12c18=6ab2c3，故a6+2b6+3c6≥6ab2c3.同理可證，5a7+2b7≥7a5b2.

推廣1在a1+a2+…+an≥nna1a2…an中，若令a1+a2+…+ap1=an，ap1+1+ap1+2+…+ap1+p2=bn，ap1+p2+1+ap1+p2+2+…+ap1+p2+p3=cn，其中p1+p2+p3=n，則有p1an+p2bn+p3cn=（an+an+…+an）p1個(gè)+bn+bn+…+bnp2個(gè)+cn+cn+…+cnp3個(gè)≥p1+p2+p3p1+p2+p3anp1·bnp2·cnp3=nap1bp2cp3，等號(hào)成立a=b=c.

推廣2設(shè)a，b∈R+，m，n∈N*且m

應(yīng)用上面的兩個(gè)推廣，還可以證明下列兩個(gè)較難的不等式.

已知a，b，c∈R+，n∈N*，求證：

（1）a6+b6+c6≥ab2c3+a2b3c+a3bc2；

（2）ln（n+2）-ln（n+1）ln（n+1）-lnn>nn+1.

分析（1）根據(jù)p1an+p2bn+p3cn≥nap1bp2cp3，可得

a6+2b6+3c6≥6ab2c3

2a6+3b6+c6≥6a2b3c

3a6+b6+2c6≥6a3bc2

6（a6+b6+c6）≥6（ab2c3+a2b3c+a3bc2）

a6+b6+c6≥ab2c3+a2b3c+a3bc2.

分析（2）求證不等式可轉(zhuǎn)化為

lnn+2n+1lnn+1n>nn+1

（n+1）ln1+1n+1>nln1+1n

1+1n+1n+1>1+1nn.（3）

故要證（2），只f需證（3）即可.

∵1+1n+1≠1+1n，可令a=1+1n+1，b=1+1n.

又由man+（n-m）bn≥nambn-m，令m=1，可得

an+（n-1）bn≥nabn-1an+1+nbn+1≥（n+1）abn.

1+1n+1n+1+n1+1nn+1≥

（n+1）1+1n+11+1nn

1+1n+1n+1+n1+1n1+1nn>

（n+2）1+1nn

1+1n+1n+1>1+1nn

（n+1）ln1+1n+1>nln1+1n

lnn+2n+1lnn+1n>nn+1

ln（n+2）-ln（n+1）ln（n+1）-lnn>nn+1.