李玉龍

【摘要】絢麗的微積分思想已經(jīng)是當(dāng)代數(shù)學(xué)的基石.但是在傳統(tǒng)的教學(xué)中，只有在大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中才真正系統(tǒng)地學(xué)習(xí)微積分的思想精髓.與此同時(shí)，在中學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中力圖避免微積分的復(fù)雜討論，中學(xué)代數(shù)和幾何更加突出直觀、公理化.然而解析幾何與微積分之間關(guān)系是密不可分的，不論在本科教學(xué)中還是在中學(xué)教學(xué)中都不應(yīng)該孤立地看待.

【關(guān)鍵詞】微積分；平面幾何；面積；平行線

本文主要結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何的教學(xué)和本科的微積分教學(xué)，力圖闡釋微積分思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的可行性.

一、中學(xué)教材幾何教學(xué)中避而不談的“盲點(diǎn)”

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)固然不一樣，為了適應(yīng)中學(xué)生的學(xué)習(xí)，往往帶有直觀、形象地教學(xué).但從而也出現(xiàn)了一些“顯然”的盲點(diǎn).分述如下：

（1）在初中數(shù)學(xué)教材中，以無限不循環(huán)小數(shù)的形式定義無理數(shù)，從而將數(shù)系擴(kuò)充為實(shí)數(shù).但是實(shí)數(shù)是什么？擴(kuò)充后的完備性意義在哪里？沒有說明，而且沒有直觀的解釋.再者，中學(xué)教材只是引進(jìn)實(shí)數(shù)概念，除此之外再?zèng)]有研究數(shù)系的任何性質(zhì)，儼然有嚴(yán)重“短缺”.

（2）中學(xué)數(shù)學(xué)中有兩個(gè)支撐整個(gè)中學(xué)幾何的基本概念：面積和對(duì)應(yīng)邊成比例.讓我們看一下：

①面積作為不加定義的概念無疑是非常自然方便的，也符合數(shù)學(xué)的本質(zhì).比如，我們把邊長為單位1的正方形A所圍成的“東西”叫作面積，量記為“1”.這樣的話任何一個(gè)邊長為有理數(shù)p/q的正方形B都可以跟A比較.因?yàn)锳里可以形象地看成由q2個(gè)邊長為1/q的小正方形C組成的，而B是由p2個(gè)C組成的，因此B的面積通過比較應(yīng)該是A的（p/q）2倍.但是，這種看法不能直接適用無理數(shù)，如果邊長是無理數(shù)呢？那將無法通過有限個(gè)分割來比較！但是中學(xué)的整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中仍然不加解釋地把邊長為任意實(shí)數(shù)t的正方形面積定義為t2正確的理解應(yīng)該用有理數(shù)的逼近，也正是微分，見下面第三點(diǎn).

②對(duì)應(yīng)邊成比例，也是非常自然直觀的定義，完整敘述為：任意兩條直線l1，l2與三條平行線相交，分別對(duì)應(yīng)被截得長度為l11，l21與l12，l22，則有：l11∶l21=l12∶l22.原因是很顯然的，當(dāng)l11，l21，l12，l22皆為有理數(shù)時(shí)，兩直線可以看作被一組等距的虛擬的加細(xì)的平行線平均分割成相同的份數(shù)，對(duì)應(yīng)的份數(shù)之比當(dāng)然相同.然而，如果l11，l21，l12，l22不全為有理數(shù)呢？那將無法自然地把對(duì)應(yīng)邊成比例看成顯然的定義，因?yàn)椴荒芗蛹?xì)分割成有限份！但整個(gè)中學(xué)教學(xué)中顯然把實(shí)數(shù)都納入定義內(nèi)?。ㄕ_的思想方法也應(yīng)是有理數(shù)的逼近，即微分）

③中學(xué)數(shù)學(xué)中混淆著兩種語言.考慮單位圓周，我們自然地把圓周平均分成360份，每一份叫一度.若角α對(duì)應(yīng)扇形的面積為A，則中學(xué)數(shù)學(xué)里自然地認(rèn)為任何角xα對(duì)應(yīng)扇形的面積為A的x倍，這在平面圖形上看幾乎是顯然的.注意這是幾何層面的語言，我們自然地認(rèn)為面積隨角度的增加“均勻”地遞增.但是我們還有一種“熟悉”的代數(shù)方式表示：S=∫x01-x2dx，然而這個(gè)時(shí)候，對(duì)應(yīng)的面積是關(guān)于x的函數(shù)，任給一個(gè)x值，都對(duì)應(yīng)一個(gè)面積值，因此面積隨x增加的速度（也即是關(guān)于x的導(dǎo)數(shù)）是客觀存在的，不以人的意志轉(zhuǎn)移，那么，這時(shí)候也許有學(xué)生問，事實(shí)上表達(dá)式代表的面積也是隨著x的增加而均勻增加的嗎？也就是它是否和我們先天假設(shè)的幾何直觀運(yùn)動(dòng)變化一致？從而我們可以把幾何圖形就等價(jià)地看成這個(gè)表達(dá)式從而加以研究.中學(xué)中我們對(duì)此本質(zhì)混淆的概念也“閉口不談”.（事實(shí)上這可以用積分的思想來完美地解釋）

二、大學(xué)微積分思想的“滯后性”

雖然微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的入門與基礎(chǔ)，也是非常重要的思想，但直到大學(xué)階段才系統(tǒng)教授微積分，未免姍姍來遲.這可以通過以下說明：①通過上述分析中學(xué)階段遇到了實(shí)質(zhì)上微積分的很多實(shí)質(zhì)性的問題，足以有理由在中學(xué)階段就需滲透微積分的知識(shí).②大學(xué)教授微積分的出發(fā)點(diǎn)也是從最基本的實(shí)數(shù)的理論出發(fā)，實(shí)數(shù)的完備性和中學(xué)階段講授的實(shí)數(shù)思想出發(fā)點(diǎn)完全一樣，所以無須非得等到完全度過中學(xué)階段才真正開始講授，從這個(gè)意義上講未免遲了點(diǎn).③如果在中學(xué)階段的教學(xué)中適當(dāng)滲透微積分的知識(shí)，不僅能解決中學(xué)階段遇到的問題，而且對(duì)大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)有著促進(jìn)作用.事實(shí)上，上面一中遇到的問題，在中學(xué)階段是可以很好地解決的，下面會(huì)論證這至少在一定程度上是可行的.

三、方法解決的可行性

中學(xué)中遇到的上述問題是可以用微積分的思想很好地解決的.從有理數(shù)過渡到實(shí)數(shù)可以用逼近的方法，完全可以被中學(xué)生的思維接受，從而給中學(xué)教學(xué)提供了可行性.現(xiàn)在給出命題的論證，分述如下：

①任何邊長為實(shí)數(shù)a的正方形A的面積為S=a2.