程曉花

安徽省中考數(shù)學(xué)試卷，歷來(lái)都注重對(duì)相似形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用能力的考查，筆者查閱了2005～2013年安徽省中考數(shù)學(xué)試卷，就相似三角形考題作如下統(tǒng)計(jì)：

從上表可以看出，近9年中，相似三角形是年年必考，在連續(xù)性考查的同時(shí)，考點(diǎn)內(nèi)容又相對(duì)穩(wěn)定. 如作圖考查了3次，判定考查了4次，性質(zhì)則是每年必考，同時(shí)注重學(xué)科內(nèi)知識(shí)的綜合. 尤其值得一提的是，9年中有6次出現(xiàn)了對(duì)相似基本圖形的考查. 這些信息給我們的中考復(fù)習(xí)帶來(lái)有效的指導(dǎo). 筆者不避粗陋，來(lái)談?wù)勏嗨迫切蔚膹?fù)習(xí)，與同仁分享，也請(qǐng)大家指正.

一、注重知識(shí)的重組優(yōu)化

片段一 下列命題中哪些是正確的，哪些是錯(cuò)誤的？請(qǐng)說(shuō)明理由.

（1）所有的直角三角形都相似；

（2）所有的等腰三角形都相似；

（3）所有的等腰直角三角形都相似；

（4）所有的等邊三角形都相似；

（5）有一個(gè)角是100°的兩個(gè)等腰三角形相似；

（6）有一個(gè)角是70°的兩個(gè)等腰三角形相似.

判斷一系列特殊的三角形間是否具備相似性，復(fù)習(xí)了相似三角形的判定定理，在學(xué)生說(shuō)理中，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的辨析與鞏固，開拓了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，獲得知識(shí)的重新構(gòu)建.

鞏固提升：如圖1～6，請(qǐng)寫出相似的三角形，并證明.

從說(shuō)理到證明，訓(xùn)練學(xué)生口頭表達(dá)及書寫能力，并提高學(xué)生圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、文字語(yǔ)言等的靈活應(yīng)用. 圖1和圖4都是平行條件下相似三角形的A型和X型. 當(dāng)兩個(gè)三角形存在公共角時(shí)，若公共角的對(duì)邊不平行，如果滿足另一組角對(duì)應(yīng)相等或是公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，也就是圖2，3，5，就是仿A型，其中圖3的三個(gè)直角三角形都相似，又稱為母子型. 若上述公共角為對(duì)頂角，則是仿X型，如圖6.

二、注重基本圖形的應(yīng)用

片段二 新基本圖形：M型

我們要從復(fù)雜圖形中分離出基本數(shù)學(xué)模型，這樣對(duì)解決問題有化繁為簡(jiǎn)的效果.

（2004年安徽，19）如圖7，已知△ABC，△DEF均為正三角形，D，E分別在AB，BC上.請(qǐng)找出一個(gè)與△DBE相似的三角形，并證明.

證明 △DBE∽△ECH. 理由如下：

法一 ∵△DBE與△ECH中，

∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°，

∴∠BDE + ∠BED = 120°，

∠BED + ∠CEH = 120°，

∴ ∠BDE = ∠CEH.

∴ △DBE ∽ △ECH.

法二 ∵△DBE與△ECH中，

∴∠B = ∠C = ∠DEF = 60°，

又∵ ∠CEH + ∠DEF = ∠BDE + ∠B，

∴ ∠BDE = ∠CEH，∴ △DBE ∽ △ECH.

解法一用到了三角形內(nèi)角和定理與平角的定義，解法二則用到了三角形外角和定理的推論，即三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，由此可看出，本題中的60°并沒有起到實(shí)質(zhì)性的作用，只要∠B = ∠C = ∠DEF，就必有△DBE∽△ECH，同理我們還能得到△DBE∽△GAD. 不難發(fā)現(xiàn)∠B，∠C，∠EDF這三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上，把具備這種條件的圖形稱為“一線三等角”型基本圖形.

為了和前面的A型、X型等基本圖形敘述上的一致，并且便于學(xué)生直觀形象記憶，筆者習(xí)慣上把它稱為M型（折線段BDEFC就像大寫字母M）.

（2009年安徽，22）如圖8，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，∠DME = ∠A = ∠B = α，且DM交AC于F，ME交BC于G.

（1）寫出圖中三對(duì)相似三角形，并證明其中的一對(duì)；

當(dāng)年的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是寫出兩對(duì)相似的三角形即可，其中△AFM∽△BMG是M型，是學(xué)生不容易找出來(lái)的. 若是熟悉了M型，問題也就迎刃而解了.

三、注重對(duì)“翻新題”的試題研究

中考一直強(qiáng)調(diào)對(duì)創(chuàng)新意識(shí)和自主探究能力的考查，中考命題從2004年起經(jīng)歷了起步期、發(fā)展期，近年來(lái)考題已趨于穩(wěn)定，有很多中考題都是以往中考題的“翻新題”. 如2003年和2011年的第10題，都是動(dòng)點(diǎn)問題，都是利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例這一性質(zhì)定理得到的分段函數(shù)關(guān)系式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和分類討論思想. 八年后，題目重現(xiàn)，只是條件中的平行四邊形改成菱形，更為特殊了，是一道翻新題.

四、注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

片段三 如圖9，在Rt△ABC中，∠C = 90°，點(diǎn)D在AC上，已知AB = 5，AC = 3，AD = 1.

（1）在AB上取一點(diǎn)E，使△AED與原三角形相似；

（2）在三角形邊上取一點(diǎn)，使△AED與原三角形相似.

此題通過作平行線構(gòu)造相似三角形的A型來(lái)研究，使學(xué)生加深對(duì)判定定理的理解及應(yīng)用，同時(shí)考慮到結(jié)論的不唯一性，培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想. 2013年第23題也用到同種方法.

上述四點(diǎn)是通過對(duì)近年來(lái)中考真題分析得出的，以真題促教學(xué)，借此來(lái)提高復(fù)習(xí)效率.