梁晶

【摘要】 在小學數(shù)學整數(shù)除法教學中運用數(shù)學模型，有利于幫助學生更好地理解算理，明確算法，促進學生從形象思維到抽象思維的轉變. 在教學過程中，可通過操作具體實物理解除法的意義，運用實物模型明確豎式的含義，創(chuàng)設真實情境引出學生的回憶，以提高模型使用的有效性.

【關鍵詞】 除法教學；模型；真實情境

計算教學是整個小學數(shù)學教學最基本的知識和工具，占據(jù)著小學教材大部分的內容，而除法更是四則運算當中的重點和難點內容. 與加、減、乘三種運算相比較，除法從計算過程、意義理解和運算順序方面都與眾不同. 此外，除法豎式除了包括估算、試商等知識之外，還夾雜著乘法和減法的運算，在四則計算之中形成了一道獨特的風景線.

加、減、乘的過程是顯性的，除法則不同，除法對學生思維的提取和存儲能力的要求很高. 在課堂教學中，我們主要從算理方面給學生講清楚除法知識，特別是重視讓學生在直觀形象中理解算理，讓學生不僅知道計算方法，而且知道駕馭方法的原理. 讓學生根據(jù)自己的興趣選擇不同的數(shù)學模型，在老師的引導下整體觀察，體會不同模型所說明的運算道理是一樣的，讓模型不只是一個操作的工具，而是架起學生思維與算理的橋梁，讓學生在充分體驗中逐步完成“動作思維——形象思維——抽象思維”的發(fā)展過程.

一、小學數(shù)學整數(shù)除法教學使用模型的緣起

通過對北師大版數(shù)學教材的系統(tǒng)梳理，我們發(fā)現(xiàn)除法教學被安排在三個年級進行開展，在每個階段中都或多或少地運用了模型幫助學生理解知識的難點，讓學生真正地知道“為什么這么算”的道理，但是在教材中有一個十分奇特的現(xiàn)象，在整數(shù)除法的教學中模型運用雖然十分廣泛，但整數(shù)除法的最后一節(jié)北師大版、京版和人教版教材都不約而同地舍棄了模型的運用，而改用一些具有邏輯推理性的文字加以說明，對于四年級的學生來說，他們不借助模型的幫助也能很好地理解知識的要點嗎？

在我們平時的教學中，總是有學生出現(xiàn)這樣的錯誤，154 ÷ 22 = 77，這種錯誤看似只是學生一時的馬虎，可是現(xiàn)在想一想，學生之所以出現(xiàn)這樣的問題原因出在哪里？我們在今后的教學中怎樣才能夠減少和避免這種情況的出現(xiàn)呢？我對這樣的問題進行了三個年級的學生調研.

1. 二年級：請你提出有關除法的問題，并列式解決問題

結果全班31名同學都能提出“均分”的問題，僅有4人能提出“包含”的問題，學生可以在實物的幫助下進行均分的操作活動，在學生的頭腦中已經(jīng)有了充足的活動經(jīng)驗，說明具體的操作活動有助于學生理解方法的意義，但學生對于除法意義的理解是片面的，不夠明確，僅僅停留在平均分的類型上.

2. 三年級：28 ÷ 2 = ？你能用多少種方法來驗證你的結果

結果全班34人中有14人知道或開始運用除法豎式來解決問題，然而在運用豎式進行計算的學生中只有7%的學生明白豎式每一步的含義. 試想如果在教學中給學生充足的時間進行模型的操作，并讓學生溝通不同數(shù)學模型的算理，讓數(shù)學模型不只是一個操作的工具，而是架起學生思維與算理的橋梁，毋庸置疑，教學效果一定會事半功倍！

3. 四年級：試一試，154 ÷ 22 = ？

全班34人中錯誤的有13人，然后將除法算式賦予一個分物品的具體情境，結果13個人中有8名學生發(fā)現(xiàn)自己的答案出錯. 通過個別訪談了解到，給學生一個具體情境之后，學生對于除法豎式各部分的理解是十分有益處的，學生會調動原有的與之類似的活動經(jīng)驗參與思維，重現(xiàn)模型使用的過程.

通過對三個年級的調研，我們清楚地看出每個年級對于學生模型的要求是不一樣的，二年級學生對于除法還是十分陌生，他們需要大量的實物并通過操作活動參與思維過程，積累活動經(jīng)驗，在這樣一個過程中逐漸明確除法就是從一個大數(shù)中多次減去一個相同數(shù)的本質意義.三年級學生需要大量的模型參與教學，突破商的位置的難點，清楚豎式每一步的具體含義. 四年級除法教學更多的是運用抽象的邏輯思維進行參與，在具體情境的刺激下，調動原有的活動經(jīng)驗明確除法中商的位置，對整數(shù)除法的意義有更深的理解. 除數(shù)是兩位數(shù)的除法是除法知識的關鍵點. 除數(shù)是一位數(shù)的除法和生活中的分一分聯(lián)系還十分緊密，在教材中也安排了大量的模型幫助學生理解，豎式的每一步也和分的過程息息相關，而除數(shù)是兩位數(shù)的除法在教材上開始脫離模型的幫助，逐漸轉移到邏輯推理上來，學生難免會不理解. 基于以上的考慮，我們在各個年級對除法教學進行實踐研究.

二、如何在小學數(shù)學整數(shù)除法教學中運用模型

1. 操作具體實物，理解除法的意義

對于數(shù)學的理解，特別是比較難的知識的突破，操作活動起著不可替代的作用.心理學家皮亞杰認為：“思維從動作開始，切斷了與活動之間的聯(lián)系，思維就不能發(fā)展. ”動手操作活動是一種特殊的認知活動，這種方式打破了傳統(tǒng)的口說耳聽的教學方式，讓多種感官參與整個教學過程，在輕松愉悅的氣氛中學會數(shù)學知識，將數(shù)學生活化，生活數(shù)學化. 例如我們在講“分一分”時，給學生提供了大量的實物讓學生來分，其中有棋子、紐扣、瓜子等，學生不斷操作和不同分配方法的理解交流，不僅讓學生感受到數(shù)學就在自己身邊，更重要的是豐富了學生的活動經(jīng)驗，使其理解除法的兩層含義，明確除法連減的本質.

2. 運用實物模型，明確豎式的含義

數(shù)學教學應該是一個充滿挑戰(zhàn)性、不斷創(chuàng)新、具有無限魅力的過程，學生要在不斷實踐、獨立思考的過程中解決心中的疑惑，在這時數(shù)學模型的運用就可以幫助我們的課堂更加符合實際的要求. 例如我們講三年級“分桃子”一課時，“分桃子”的情景不僅不能調動學生學習的興趣，而且學生不容易操作，因此我們將此情境改成為貧困山區(qū)小學捐贈鉛筆——“大家知道嗎？在我們身邊還有很多小朋友連這樣的小鉛筆頭都用不上！我班的學生都不忍將小鉛筆頭丟棄，盡量延長它們的生命，這是他們一個月省下來的48支鉛筆，我準備將這些鉛筆放在幾個盒子里寄給貧困山區(qū)的小朋友們，你們準備將這48支鉛筆平均放到幾個盒子里呢？”將先解決分2個盒子再解決分3個盒子的兩個小問題變成怎樣將48支鉛筆平均放入一些盒子中，通過一個大的問題引入，讓學生能夠提出48除以2、48除以3等一系列的問題，通過讓學生利用小棒、方格紙等數(shù)學模型來實際操作一下，逐漸清晰商的位置，明白兩、三位數(shù)除以一位數(shù)豎式分層書寫的原因.

3. 創(chuàng)設真實情境，引出學生的回憶

新課程標準提出：學生的數(shù)學學習內容應當是現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數(shù)學活動. 因此要求我們每個教師要將數(shù)學知識依托一個真實可信的情境，帶領學生參與實踐，調動學生的活動經(jīng)驗，讓間接經(jīng)驗的學習有直接的生活經(jīng)驗作支撐，從而使學生更容易理解、掌握數(shù)學知識和技能，促進學生對知識的主動建構. 例如在講四年級“參觀苗圃”時，我們結合學生參加秋游活動的實際，并且利用教材原有的主體圖，將兩個四舍五入問題同時呈現(xiàn)，調動學生原有的活動儲備，逐漸明確怎樣試商這樣一個不好理解的問題.

三、對數(shù)學模型教學的反思

通過對教材的梳理、文獻的查閱、學生的調研以及課堂教學的實施，我們發(fā)現(xiàn)適時地賦予教學內容具體的情境，特別是除法的教學，對于幫助學生理解算理、清除知識難點具有很大的幫助. 在中年級的除法教學中已經(jīng)從使用大量的模型幫助學生理解算理，明確算法，發(fā)展到脫離模型的幫助，逐漸轉移到邏輯推理上來，在這樣一個過渡的過程中，有些學生不能完全拋開模型的幫助，我們可以在課上適時地給學生出示一些模型，引起學生對于這些內容的回憶，幫助學生建立起算理與算法的聯(lián)系.

除法教學一定要依托在一個具體的情景下，在學生擁有豐富的活動經(jīng)驗的基礎上展開，但是在教學中怎樣能夠將數(shù)學知識真正變成生活的一部分，讓學生感受到真真正正的數(shù)學呢？這是我們要不斷研究的新問題.