段軼

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，它作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在總體目標(biāo)中提出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)（包括數(shù)學(xué)事實(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）以及基本的數(shù)學(xué)思想和必要的應(yīng)用技能”。

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要組成部分，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的獲得和掌握具有重要的意義。在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)中，我結(jié)合有關(guān)內(nèi)容，向?qū)W生滲透對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化、假設(shè)、代數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法，以幫助學(xué)生獲得充分的可持續(xù)的發(fā)展。

一、對(duì)應(yīng)思想

對(duì)應(yīng)思想在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中體現(xiàn)得尤為明顯。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的對(duì)應(yīng)主要表現(xiàn)為是“量”與“率”的對(duì)應(yīng)和“圖”與“式”的對(duì)應(yīng)等。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，每一個(gè)數(shù)量對(duì)于一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)（單位“1”的量）而言，都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的分率（即相對(duì)數(shù)量），每一個(gè)分率都對(duì)應(yīng)一個(gè)具體的數(shù)量。量率對(duì)應(yīng)，尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，某種程度上就成了解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵。教學(xué)中通常可以通過“一題多問”、“一題多變”等方式，促使學(xué)生尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透對(duì)應(yīng)思想。

1、一題多問

例1：某工程隊(duì)三天修完一條1200米長的路，第一天修了全長的，第二天修了全長的，_____________________？

①第一天修了多少米？

②第二天修了多少米？

③第三天修了多少米？

④第一天比第二天多修了多少米？

⑤前兩天共修了多少米？

⑥后兩天修了多少米？

⑦第三天比第二天多修了多少米？

……

一題多問，是根據(jù)相同的條件解答不同的問題；反過來，也可以根據(jù)不同的條件解答同樣的問題。

2、一題多變

例2：某工程隊(duì)三天修完一條路，第一天修了全長的，第二天修了全長的，_______________________，這條路全長多少米？

①第一天修了400米；

②第二天修了300米；

③第三天修了500米；

④第一天比第二天多修了100米；

⑤前兩天共修了700米；

⑥后兩天修了800米；

⑦第三天比第二天多修了200米；

……

像這樣經(jīng)常的進(jìn)行“一題多問”、“一題多變”的訓(xùn)練，學(xué)生在解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的過程中，積極主動(dòng)地“以量找率”或“以率找量”，以不變（量率對(duì)應(yīng)）應(yīng)萬變，領(lǐng)悟并體味其不變的對(duì)應(yīng)關(guān)系。通過這樣的練習(xí)，便于學(xué)生掌握解題規(guī)律，在實(shí)踐中感悟并逐步形成對(duì)應(yīng)的思想方法。

二、假設(shè)思想

對(duì)于稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，應(yīng)用“假設(shè)法”可以化繁為簡，化難為易，在解決問題的過程中，讓學(xué)生逐步領(lǐng)悟假設(shè)的思想方法。

例3：一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做20天完成，乙獨(dú)做30天完成，兩人合作，甲中途因故請(qǐng)假了5天，前后共用了多少天完成任務(wù)？

分析與解：如果甲不請(qǐng)假，那么同樣的時(shí)間，兩人合作完成的工作總量是（1+ ×5），因此，完成任務(wù)的天數(shù)為：（1+ ×5）÷（ + ）=15（天）。

例4：一根電線第一次截去 少5米，第二次截去 多2米，還剩53米，這根電線原長多少米？

分析與解：假設(shè)第一次多截5米，即正好截去全長的；第二次少截2米，即正好截去全長的；那么剩下的長度為（53-5+2）米，正好是全長的（1- - ）。因此，這根電線原長為（53-5+2）÷（1- - ）=120（米）。

例5：某校有學(xué)生600人，在“冬季三項(xiàng)”鍛煉中，全校有 的女生和 的男生獲得“優(yōu)秀”等級(jí)，獲得“優(yōu)秀”等級(jí)的學(xué)生共有134人，這個(gè)學(xué)校的男、女生各多少人？

分析與解：如果獲得“優(yōu)秀”等級(jí)的男、生人數(shù)，都是各自總?cè)藬?shù)的，則獲得“優(yōu)秀”等級(jí)的男、女生的總?cè)藬?shù)應(yīng)是全?？?cè)藬?shù)的，有（600× ）人，這比實(shí)際獲得“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)少了（134-600× ）人。原因在于，我們把獲得 “優(yōu)秀”等級(jí)的女生人數(shù)少算了（ - ）。因此，這個(gè)學(xué)校的女生人數(shù)是：（134-600× ）÷（ - ）=280（人），男生人數(shù)是：600-（134-600× ）÷（ - ）=320（人）。

三、化歸思想

“化歸”是常用的一種數(shù)學(xué)思想方法，把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)再加減，把分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來計(jì)算，把平行四邊形割拼成長方形計(jì)算其面積……分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的化歸，主要是題型的轉(zhuǎn)化和分率的轉(zhuǎn)化，也即單位“1”的變換和數(shù)量關(guān)系的變換。

1、單位“1”的統(tǒng)一和變換

例6：一本書第一天讀了全書的，第二天讀了余下的，第二天比第一天多讀了30頁，這本書共多少頁？

分析與解：第一天讀了全書的，第二天讀了余下的，即相當(dāng)下全書的（1- ）的，因此，第二天讀的頁數(shù)是全書的（1- ）× 。全書的總頁數(shù)是：30÷[（1- ）× - ]=360（頁）。

例7：一個(gè)車間男職工占總?cè)藬?shù)的，因支援另一車間，調(diào)走男職工33人，這時(shí)男職工占全車間總?cè)藬?shù)的，這個(gè)車間現(xiàn)有女職工多少人？

分析與解：因男職工的調(diào)動(dòng)，使車間的總?cè)藬?shù)與男職工人數(shù)均發(fā)生變化，而女職工人數(shù)不變。因此，可以把女職工人數(shù)作為單位“1”，調(diào)動(dòng)前男職工人數(shù)占女職工人數(shù)的，調(diào)動(dòng)后男職工人數(shù)占女職工人數(shù)的，調(diào)走的男職工33人，相當(dāng)于女職工人數(shù)的（ - ）。女職工人數(shù)為：33÷（ - ）=33× =105（人）。

2、題型的轉(zhuǎn)換

例8：某種商品現(xiàn)價(jià)120元，比原價(jià)降低了，原價(jià)多少元？

分析與解：一般解法：120÷（1- ）=150（元）。

還可以溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，挖掘數(shù)量關(guān)系，變換題型：

（1）根據(jù)“比原價(jià)降低了”，可知原價(jià)平均分成了5份，降低了1份，現(xiàn)價(jià)是（5-1）份，因此，原價(jià)是：120÷（5-1）×5=150（元）。

（2）根據(jù)“比原價(jià)降低了”，可知原價(jià)平均分成了5份，降低了1份，原價(jià)是現(xiàn)價(jià)的，因此轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系，根據(jù)“原價(jià)是現(xiàn)價(jià)的”，可以這樣解答：120× =150（元）。

這里，（1）是在平均分的基礎(chǔ)上，把分?jǐn)?shù)應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為歸一應(yīng)用題；（2）是通過數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換，把分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題。

四、代數(shù)思想

分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題，特別是稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用題，數(shù)量之間的關(guān)系比較復(fù)雜，利用代數(shù)方法，把未知當(dāng)已知，可簡化數(shù)量之間的關(guān)系，常能化難為易。在教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生，自覺利用代數(shù)方法解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，在解決問題的過程中，鞏固代數(shù)方法，體會(huì)、感悟并逐步形成代數(shù)思想。

例9：甲、乙兩班共有學(xué)生90人，甲班人數(shù)的 與乙班人數(shù)的 相等，甲、乙兩班各有學(xué)生多少人？

分析與解：這道題的數(shù)量關(guān)系不十分明了，甲、乙兩班之間及各班與兩班總數(shù)之間的關(guān)系不十分明確，適合于用代數(shù)方法解答。

解：設(shè)甲班有學(xué)生x人，乙班有（90-x）人。

例10：學(xué)校食堂原有一批大米，吃去 后，又買來220千克，這時(shí)庫存大米比原來多了 ，原來庫存大米多少千克？

分析與解：根據(jù)：原有的千克數(shù)-吃去的千克數(shù)+又買來的千克數(shù)=現(xiàn)有的千克數(shù)

解：設(shè)原來庫存大米x千克。

數(shù)學(xué)思想方法作為一種重要的程序性知識(shí)，只有在實(shí)際的操作、運(yùn)用的過程中才能逐步地領(lǐng)悟、把握。因此在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想方法的滲透：一要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問題情境、精心設(shè)計(jì)練習(xí)，進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練。包括進(jìn)行一些聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、改編、根據(jù)關(guān)鍵句畫線段圖、根據(jù)線段圖列式等基本訓(xùn)練。讓學(xué)生在熟練掌握各種解題方法的基礎(chǔ)上，逐步領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。二要注重過程，引導(dǎo)反思。既要注重解題的結(jié)果，更要注重對(duì)解題過程中所使用的方法、策略的回顧與反思，從具體的解決問題的過程中，領(lǐng)悟到其內(nèi)在統(tǒng)攝全局的數(shù)學(xué)思想方法。三要善于總結(jié)，提煉升華。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生，從已有的生活和數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，從眾多不同的具體的解決問題的過程中，發(fā)掘其方法、策略上的共同之處，善于廣泛聯(lián)系，異中求同，感悟其中共同的數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)從具體到一般、從現(xiàn)象到本質(zhì)，從感性到理性的升華。