鄒建平

要說明一個命題的正確，必須經(jīng)過嚴密的邏輯推理論證，而要否定一個命題，則只需舉出一個符合題設(shè)而與結(jié)論相矛盾的例子就行了.這種與結(jié)論相矛盾的例子叫做反例.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，反例和證明同樣重要.因為反例在辨析錯誤中具有直觀、說服力強等突出特點，所以教學(xué)中注重反例的運用不但可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤和漏洞，而且可以修補相關(guān)知識，學(xué)會多角度考慮問題，從而提高思維的靈活性.其次，教師在教學(xué)時，不但要適當使用反例，更重要的是要善于引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情景.又由于在通常情況下，許多反例的構(gòu)建不是唯一的，這就需要學(xué)生對所學(xué)知識有深刻、透徹的理解，并調(diào)用他們的數(shù)學(xué)功底，充分展開想象，因此，構(gòu)建反例的過程也是學(xué)生發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓(xùn)練過程.教學(xué)實踐證明：恰當運用反例進行教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性、靈活性、發(fā)散性和創(chuàng)新性，深刻理解和掌握所學(xué)的基礎(chǔ)知識，訓(xùn)練正確的解題能力等作用，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性已越來越被人們重視和認可.

一、恰當運用反例，幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念

恰當運用反例，可以進一步使學(xué)生對所學(xué)概念的反思，引起矛盾沖突，促使學(xué)生積極思維，在矛盾沖突中使學(xué)生對所學(xué)概念的認識得以完善，從而達到深刻理解和掌握概念.

二、恰當出示反例，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中的定理或性質(zhì)

學(xué)生在學(xué)習(xí)一個新的定理或性質(zhì)時，往往會忽略定理或性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語，從而造成解題錯誤.為了克服這一現(xiàn)象，恰當引入反例，可以幫助學(xué)生記憶這些關(guān)鍵詞語，從而達到掌握定理和性質(zhì)，并能理解性地加以應(yīng)用.

例如，在教學(xué)三角形全等的識別方法：“有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”時，學(xué)生習(xí)慣性地忽略夾角中的“夾”字，而誤記為“有兩邊和一個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等”.于是教師可以出示如下反例：

如圖，BC=BC′，并且AB=AB，∠A=∠A，但△ABC和△ABC′顯然是不全等的.這樣的反例可以使學(xué)生理解此定理中夾角中的“夾”的深刻含義，達到準確掌握和運用定理的目的.

三、恰當引入反例，幫助學(xué)生牢固、準確掌握公式

四、恰當分析反例，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，糾正錯誤

在教學(xué)實踐中，我發(fā)現(xiàn)恰當運用反例教學(xué)，能有效幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，糾正錯誤.一方面，我讓每個學(xué)生準備一個專門用于訂正練習(xí)中錯誤的筆記本，叫學(xué)生自己分析錯誤原因，寫出正確答案.另一方面，將學(xué)生中帶有共性的容易出錯的問題放在一起討論，使他們發(fā)現(xiàn)問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法.每一次的錯誤分析其實都是一次成功的反例研究，對學(xué)生的進步具有很大的推動作用.

例如，在教學(xué)分式方程的解法時，學(xué)生在去分母時經(jīng)常會漏乘.教學(xué)中可以準備如下的例題：

五、恰當構(gòu)建反例，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性

反例的運用、構(gòu)建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創(chuàng)造性活動，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體.反例往往是伴隨著數(shù)學(xué)教學(xué)中命題的推廣，正面證明失效后產(chǎn)生的，所以反例構(gòu)建不能就事論事，而要把問題的產(chǎn)生過程，如何構(gòu)建出反例的思維過程充分展現(xiàn)給學(xué)生，使反例構(gòu)建與整個推理過程有機結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性.

例如請學(xué)生判斷“一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形”是真命題嗎？

教師在教學(xué)時可以利用嚴格的尺規(guī)作圖進行如下的反例構(gòu)建：

建立△ABC，使得AB=AC，在△ADC外（∠DAC<∠ABC）作△EAC，使AE=BD，CE=AD.從而有△AEC≌△BDA.則得∠D=∠E，AD=CE.但四邊形ADCE不是平行四邊形.

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時地引入一些反例或適當?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認識上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助他們理解數(shù)學(xué)概念、鞏固和掌握定理、公式和法則，糾正一些習(xí)慣性的錯誤，全面正確地培養(yǎng)思維的創(chuàng)新性.