【摘要】基于高頻數(shù)據(jù)的金融分析與建模研究目前已成為金融工程研究領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)。在金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率的刻畫上，金融高頻波動(dòng)率有著低頻波動(dòng)率無法比擬的信息優(yōu)勢，能夠較為準(zhǔn)確地刻畫金融市場波動(dòng)率的相關(guān)特征，并對(duì)金融市場波動(dòng)率的變化做出較為精確的預(yù)測。本文選擇基于高頻數(shù)據(jù)的滬深300指數(shù)為樣本，通過構(gòu)建已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和已實(shí)現(xiàn)極差的長記憶性模型去研究高頻數(shù)據(jù)建模預(yù)測中的方法，以對(duì)比研究的形式分析了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和已實(shí)現(xiàn)極差在波動(dòng)率預(yù)測中的能力大小，為高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率預(yù)測研究提供了參考和借鑒。

【關(guān)鍵詞】高頻數(shù)據(jù) 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率 已實(shí)現(xiàn)極差 波動(dòng)率預(yù)測

一、引言

隨著科技進(jìn)步尤其是電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)高頻數(shù)據(jù)的記錄、收集、存儲(chǔ)和操作的時(shí)間和金錢成本都大大下降，20實(shí)際90年代以來，高頻數(shù)據(jù)的分析與建模得到了迅速的發(fā)展，并廣泛運(yùn)用與金融市場微觀結(jié)構(gòu)理論的實(shí)證研究中。高頻數(shù)據(jù)能精確到交易日日內(nèi)分時(shí)收盤價(jià)，充分保證重要的市場信息不被丟失，使得基于高頻數(shù)據(jù)估計(jì)的波動(dòng)率包含更加豐富的波動(dòng)信息。高頻波動(dòng)率與低頻波動(dòng)率的特點(diǎn)不同，呈現(xiàn)出時(shí)間序列的負(fù)相關(guān)性、周期性U型日歷效應(yīng)和長記憶性等，而現(xiàn)有的基于低頻數(shù)據(jù)的ARCH類或SV類模型并不能很好的描述這些統(tǒng)計(jì)特征。對(duì)高頻波動(dòng)率的研究已經(jīng)成為計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。深入研究日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)波動(dòng)率的性質(zhì)，選擇合適的波動(dòng)率預(yù)測模型和金融資產(chǎn)收益率分布來度量中國股票市場的風(fēng)險(xiǎn)，分析市場微觀結(jié)構(gòu)對(duì)高頻波動(dòng)率的影響，從而為金融機(jī)構(gòu)和監(jiān)管當(dāng)局的風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)控提供一種有效的理論方法參考和政策建議具有重大意義。

本文通過選取滬深300指數(shù)5分鐘交易數(shù)據(jù)，通過構(gòu)建目前廣泛用于高頻數(shù)據(jù)分析的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和已實(shí)現(xiàn)極差兩個(gè)序列，通過R/S法計(jì)算Hurst指數(shù)，確定兩個(gè)序列的長記憶性，進(jìn)而對(duì)兩者構(gòu)建了長記憶性的ARFIMA模型，并用這一模型進(jìn)行了波動(dòng)率估計(jì)，再采用均方根誤差和絕對(duì)平均誤差兩個(gè)指標(biāo)對(duì)兩個(gè)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行了評(píng)價(jià)。

二、文獻(xiàn)綜述

Engle（2000）為超高頻數(shù)據(jù)或交易的建模應(yīng)用提供了新的思路。通過選取的52144條IBM股票的交易數(shù)據(jù)去為交易的時(shí)機(jī)建模并測量分析它對(duì)價(jià)格波動(dòng)的影響，將ACD模型引入去估計(jì)到達(dá)比率的相關(guān)點(diǎn)過程，同時(shí)采用了半?yún)?shù)法去估計(jì)調(diào)和均數(shù)。實(shí)證結(jié)果說明對(duì)于更長的持續(xù)期和更長的預(yù)期持續(xù)期，其波動(dòng)會(huì)相應(yīng)的更小。Andersen（2001）等采用道瓊斯工業(yè)指數(shù)中獲取的日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)對(duì)從已實(shí)現(xiàn)日股票收益波動(dòng)率和相關(guān)系數(shù)進(jìn)行研究，他們發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)方差和協(xié)方差的非條件分布是高度右偏，然而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)卻近似于高斯分布，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與相關(guān)系數(shù)表現(xiàn)出了較強(qiáng)的短暫相關(guān)性，即所謂的長記憶性。Andersen（2003）等構(gòu)建了一個(gè)集高頻日內(nèi)數(shù)據(jù)測量、建模和每日預(yù)測和低頻收益波動(dòng)與收益分布的體系，大部分有關(guān)金融資產(chǎn)收益波動(dòng)率、相關(guān)性和分布的建模與預(yù)測是基于多元ARCH或者隨機(jī)波動(dòng)率模型的潛在限制性和復(fù)雜的參數(shù)，相比之下，使用由高頻日內(nèi)收益所計(jì)算得出的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率使得建模與預(yù)測允許采用傳統(tǒng)時(shí)間序列方法。在構(gòu)造連續(xù)時(shí)間無套利價(jià)格理論與二次方差理論的基礎(chǔ)上，他們提出了已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率與條件協(xié)方差矩陣的關(guān)系。通過德國馬克兌美元和日元兌美元的10年以上的匯率數(shù)據(jù)的實(shí)證分析，他們發(fā)現(xiàn)簡單的長記憶高斯向量回歸對(duì)數(shù)日已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率在預(yù)測上的表現(xiàn)優(yōu)于許多ARCH類模型與更復(fù)雜的高頻數(shù)據(jù)模型。近年來，許多學(xué)者開拓了新的研究高頻數(shù)據(jù)的思路，成果也不斷涌現(xiàn)。唐勇和張世英（2006）通過選取深圳成指的高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，通過對(duì)比已實(shí)現(xiàn)極差與已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率這兩個(gè)波動(dòng)估計(jì)量，證明了實(shí)現(xiàn)極差在波動(dòng)估計(jì)上優(yōu)于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率。此外，在高頻數(shù)據(jù)的“日歷效應(yīng)”問題上，提出了加權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差，并與實(shí)現(xiàn)極差作比較，證實(shí)了加權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差在估計(jì)波動(dòng)方面更為優(yōu)秀，為在高頻數(shù)據(jù)中將極差應(yīng)用于估計(jì)波動(dòng)率拓展了一個(gè)新的思路。Sun（2009）等采用ARMA（1，1）-GARCH（1，1）模型這一參數(shù)模型，選取了德國DAX指數(shù)的高頻數(shù)據(jù)并融入于列維過程去計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，并將運(yùn)用這一方法計(jì)算所得的VaR和標(biāo)準(zhǔn)的非參數(shù)法計(jì)算所得的VaR進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果顯示這一參數(shù)法獲得了更好的結(jié)果。Lu（2010）等分析了當(dāng)2005年7月21日人民幣再調(diào)整時(shí)相關(guān)貨幣兌美元的1分鐘高頻數(shù)據(jù)的變動(dòng)，數(shù)據(jù)分析顯示人民幣再調(diào)整時(shí)匯率數(shù)據(jù)中存在一個(gè)大的跳躍，在這一跳躍之后，匯率的收益率存在著大的波動(dòng)率，此外，外匯數(shù)據(jù)中一些大的跳躍伴隨著這一跳躍發(fā)生。Thanos和Owain（2010）提出了一種處理超高頻金融市場數(shù)據(jù)中樣本外預(yù)測的多維算法。在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析中，對(duì)金融時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征采用穩(wěn)健的平均絕對(duì)偏差法去分析，并提出將價(jià)位，價(jià)格波動(dòng)和收益分布同時(shí)考慮進(jìn)市場微觀結(jié)構(gòu)算法的原理中。唐勇和劉微（2013）推導(dǎo)出了已實(shí)現(xiàn)極差多冪次變差族中最優(yōu)的波動(dòng)估計(jì)量，根據(jù)無偏性和有效性原則作了相應(yīng)的加權(quán)處理，得出了加權(quán)估計(jì)量，將這些估計(jì)量與已實(shí)現(xiàn)GARCH相結(jié)合，并對(duì)此模型進(jìn)行了拓展。通過實(shí)證分析說明已實(shí)現(xiàn)極差四冪次變差是已實(shí)現(xiàn)極差多冪次變差族中最優(yōu)的波動(dòng)估計(jì)量，加權(quán)已實(shí)現(xiàn)極差四冪次變差能消除高頻數(shù)據(jù)中的日內(nèi)效應(yīng)。雷井生和林莎（2013）改進(jìn)了統(tǒng)計(jì)套利策略，設(shè)計(jì)了一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)套利策略并進(jìn)行了實(shí)證分析，在新的策略下，運(yùn)用不同頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行套利統(tǒng)計(jì)，分析并得出了新的策略在套利統(tǒng)計(jì)上具有良好的績效，并且樣本內(nèi)的盈利對(duì)于樣本外的盈利預(yù)測性明顯增強(qiáng)。隨著對(duì)金融高頻數(shù)據(jù)研究的發(fā)展，由于高頻數(shù)據(jù)本身所具有的特性如日歷效應(yīng)等，以及使得GARCH模型很難用于高頻數(shù)據(jù)的分析，不同的學(xué)者提出與發(fā)展了新的適用于高頻數(shù)據(jù)研究的成果，其中比較突出的成果要屬已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和已實(shí)現(xiàn)極差這兩個(gè)被廣泛用于高頻數(shù)據(jù)分析的研究成果。

三、方法簡述

已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率（Realized volatility，簡記為RV）由于其計(jì)算簡便，無需進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì)（model-free），有助于研究多變量時(shí)間序列的波動(dòng)特征。同已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV一樣，已實(shí)現(xiàn)極差波動(dòng)（Realized Range volatility，簡記為RRV）也是具有無需模型（model free）和計(jì)算簡便的波動(dòng)率估計(jì)量，Parkinson（1980）提出了構(gòu)造極差的表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上Christensen（2005）提出了已實(shí)現(xiàn)極差波動(dòng)。不同學(xué)者和研究人員經(jīng)過理論和實(shí)證上的對(duì)比，認(rèn)為已實(shí)現(xiàn)極差是比已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率更為有效的波動(dòng)率估計(jì)量。下面分別對(duì)兩者進(jìn)行定義。

令Pclose（t，i）為日內(nèi)觀測的收盤價(jià)，R（t，i）=In（Pclose（t，i）-Pclose（t，i-1））

Ht，i=■lnp■，L■=■lnp■，

Sp■=H■-L■（t=1，2，，，T，i=1，2，，，N，j=1，2，，，N）

上式中，T為研究天數(shù)，N為在[t-1，t]內(nèi)等時(shí)間間隔的觀測次數(shù)，Δ=■，為將[t-1，t]等分為N個(gè)時(shí)間段的某個(gè)小時(shí)間段的時(shí)間間隔，N取整數(shù)

則已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率定義為：RV=■R2（t，i），為日內(nèi)對(duì)數(shù)收益率平方和的累加。

已實(shí)現(xiàn)極差定義為：RRVt=■■Sptj2，為日內(nèi)最高價(jià)和最低價(jià)對(duì)數(shù)平方和的累加。

判定波動(dòng)率序列是否具有長記憶性的方法主要有時(shí)域和頻域兩個(gè)兩個(gè)方法，本文選擇時(shí)域角度，以重標(biāo)極差法（R/S）計(jì)算的Hurst指數(shù)來度量波動(dòng)率序列的長記憶性。當(dāng)H≤0.5時(shí)，序列{Xt}呈現(xiàn)短記憶性；當(dāng)H>0.5時(shí)，序列{Xt}呈現(xiàn)長記憶性。

針對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)序列{Xt}所具有的長記憶性，本文采用分整自回歸移動(dòng)平均模型（Autoregressive fractionally moving average model，簡稱為ARFIMA（p，d，q）模型）對(duì)已實(shí)現(xiàn)類波動(dòng)率序列進(jìn)行建模分析。

ARFIMA（p，d，q）模型的具體形式為：φ（L）（1-L）d（Xt-μ）= θ（L）εt

其中，μ為序列{Xt}的均值，εt～i.i.d（0，σ2s），φ（L）為P階平穩(wěn)回歸算子，θ（L）為q階可逆移動(dòng)平均算子，它們的根都在單位圓外。d為分?jǐn)?shù)維滯后階數(shù)，反映的是序列{Xt}的長記憶性。ARFIMA（p，d，q）的特征主要在于用p+q個(gè)參數(shù)來刻畫序列{Xt}的短記憶特性，用參數(shù)d來刻畫{Xt}的長記憶特征。

對(duì)于ARFIMA（p，d，q）模型的參數(shù)估計(jì)，可以采用兩步參數(shù)法：

首先估計(jì)ARFIMA（p，d，q）模型中的分?jǐn)?shù)維滯后階數(shù)d，并對(duì)原序列取分?jǐn)?shù)維差分，得到新的可用于估計(jì)的時(shí)間序列。d確定好以后，ARFIMA模型可以當(dāng)作ARMA模型進(jìn)行估計(jì)，確定剩下的參數(shù)p和q。

由于參數(shù)d和Hurst指數(shù)滿足：d=H-0.5，因此可以通過R/S法計(jì)算所得的Hurst指數(shù)確定參數(shù)d，再將模型當(dāng)作ARMA模型，進(jìn)行剩下的參數(shù)估計(jì)。

四、實(shí)證過程

本文選擇滬深300指數(shù)作為研究樣本，樣本選取的區(qū)間為2011年4月1日至2014年3月5日，選取的高頻數(shù)據(jù)頻率為5分鐘的高頻數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于Wind資訊金融終端，在計(jì)算得到的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV和已實(shí)現(xiàn)極差RRV后，開始進(jìn)行實(shí)證分析。實(shí)證部分主要用matlab軟件進(jìn)行。下表為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RRV和已實(shí)現(xiàn)極差的描述性統(tǒng)計(jì)：

描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果

從上表可以看出，無論是已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV還是已實(shí)現(xiàn)極差RRV，都呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征，相應(yīng)的JB統(tǒng)計(jì)量和括號(hào)內(nèi)的P值都表明上述序列不服從正態(tài)分布，且根據(jù)偏度和峰度值來看，都呈現(xiàn)出右偏厚尾的特性。下面對(duì)兩個(gè)序列進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果如下：

單位根檢驗(yàn)結(jié)果

從上表的結(jié)果來看，RV和RRV兩個(gè)序列檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量在99%的置信水平上都拒絕了原假設(shè)，其P值都是足夠小的值，因此RV序列和RV序列都通過了檢驗(yàn)，這兩個(gè)序列都是平穩(wěn)的。下面對(duì)兩個(gè)序列進(jìn)行長記憶性檢驗(yàn)，結(jié)果如下

RV和RRV的長記憶性檢驗(yàn)

從上表可以看出，RV和RRV的Hurst指數(shù)0.5

RV序列的估計(jì)過程中，通過AIC和SC準(zhǔn)則確定的（p，q）為（1，1），則所得到的RV-ARFIMA（1，0.264，1）的具體形式為：

（1-0.064L）（1-L）0.264（RV-μ）=（1-0.95L）εt

（1.466） （-66.643）

RRV序列通過AIC和SC準(zhǔn)則確定模型的（p，q）選擇為（1，2），則得到的RRV-ARFIMA（1，0.467，2）的具體形式為：

（1-0.62L）（1-L）0.467（RRV-μ）=（1-1.362L+0.4L2）εt

（7.689） （-12.71609）（5.1173）

括號(hào)內(nèi)為相應(yīng)參數(shù)的t統(tǒng)計(jì)量。

在構(gòu)建完所有的模型后，我們對(duì)各模型進(jìn)行波動(dòng)率預(yù)測能力上的比較，比較的標(biāo)準(zhǔn)選擇均方根誤差（RMSE）和絕對(duì)平均誤差（MAE）兩個(gè)指標(biāo)：

RMSE=■■（MV-FV）■■

MAE=■■（MV-FV）■

其中，MV表示實(shí)際的波動(dòng)率，F(xiàn)V表示模型預(yù)測的波動(dòng)率。設(shè)定預(yù)測期為100，就可以得到向前預(yù)測100期的預(yù)測值，再采用上述兩個(gè)方法對(duì)波動(dòng)率預(yù)測的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，兩個(gè)模型預(yù)測的評(píng)價(jià)結(jié)果如下：

波動(dòng)率預(yù)測評(píng)價(jià)

對(duì)比RRV和RV序列構(gòu)建的ARFIMA模型在波動(dòng)率預(yù)測上的結(jié)果，我們可以發(fā)現(xiàn)無論從均方根誤差還是絕對(duì)平均誤差的角度，RRV序列的預(yù)測誤差都小于RV序列的預(yù)測誤差，這也從實(shí)證上印證了本文在理論上分析RV和RRV在波動(dòng)率估計(jì)上的優(yōu)劣區(qū)別。

五、結(jié)論

本文通過選取滬深300指數(shù)的高頻交易數(shù)據(jù)，分別構(gòu)建了目前高頻數(shù)據(jù)研究中流行的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和已實(shí)現(xiàn)極差兩個(gè)方法變量，并對(duì)兩個(gè)序列采用R/S法計(jì)算了序列的Hurst，結(jié)果表明兩個(gè)序列都呈現(xiàn)長記憶性。在隨后構(gòu)建長記憶性模型并進(jìn)行波動(dòng)率估計(jì)的對(duì)比研究中，通過RMSE和MAE兩個(gè)指標(biāo)的判定，表明已實(shí)現(xiàn)極差是優(yōu)于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的波動(dòng)率估計(jì)量，這主要是因?yàn)橐褜?shí)現(xiàn)極差是基于日內(nèi)價(jià)格的最高價(jià)和最低價(jià)而構(gòu)建的，包含的市場信息較多，而已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率是基于日內(nèi)收盤價(jià)而構(gòu)建的波動(dòng)率估計(jì)量，會(huì)在一定程度上遺漏市場信息。

從本文的研究可以發(fā)現(xiàn)，金融市場的交易連續(xù)不斷，其日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)包含的信息也有一定的差別，除了考慮收盤價(jià)這一要素外，日內(nèi)觀測到的最高價(jià)、最低價(jià)、成交量等因素也要納入對(duì)金融市場的分析中，這樣可以獲得比單獨(dú)采用收盤價(jià)這一因素進(jìn)行波動(dòng)率研究更準(zhǔn)確的研究結(jié)果。

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作者簡介：陳杰（1990-），男，漢族，浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院研究生，研究方向：金融工程。