●朱 捷 孫 璐 杜 紅 馮玉鐵

基于市場經(jīng)濟的視角談《高等數(shù)學》課程案例式教學的研究

●朱 捷 孫 璐 杜 紅 馮玉鐵

市場經(jīng)濟人才培養(yǎng)模式下的高等數(shù)學教學應(yīng)體現(xiàn)“貼近實際、面向?qū)I(yè)、為專業(yè)服務(wù)”的思想，注重培養(yǎng)學生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。文章將案例式教學法融入高等數(shù)學課堂教學中，以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣嗎，使學生在應(yīng)用中掌握高等數(shù)學的概念和理論，實現(xiàn)從傳統(tǒng)的“學習數(shù)學”向“學會運用數(shù)學”的觀念轉(zhuǎn)變，切實提高課堂教學質(zhì)量。

高等數(shù)學 案例式教學 教學內(nèi)容 教學方法

高等數(shù)學是應(yīng)用型本科院校各專業(yè)必修的一門主干基礎(chǔ)理論課。作為各專業(yè)的工具學科，肩負著培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)與創(chuàng)造能力、為學生后續(xù)發(fā)展打好基礎(chǔ)的使命。在市場經(jīng)濟培養(yǎng)模式下，數(shù)學素養(yǎng)與創(chuàng)造能力不僅需要通過數(shù)學基礎(chǔ)知識的傳授來培養(yǎng)，更重要的是要引導學生運用所學知識創(chuàng)造性地解決實際問題。

高等數(shù)學以理論的抽象性、推理的嚴密性著稱，學生感到高等數(shù)學非常難學，同時傳統(tǒng)的教學方法很難適應(yīng)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)要求。所以，如何實施高等數(shù)學教學內(nèi)容、教學方法的改革,以體現(xiàn)“貼近實際、面向?qū)I(yè)、為專業(yè)服務(wù)”的思想，突出實用性、專業(yè)性、通俗性，切實提高課堂教學質(zhì)量，是教師都必須認真思考的問題。

案例式教學是理論與實際相結(jié)合的互動式教學方法。它通過模擬真實的事例，在特定的情景中進行體驗、分析和解決。案例式教學通過對具有專業(yè)背景的教學案例進行分析，提煉出相應(yīng)的數(shù)學問題，導入所要介紹的高等數(shù)學的基本概念及理論，運用所介紹的基本概念及理論，分析解決案例。學生能充分領(lǐng)略到高等數(shù)學在實際問題中具有的重要作用，是培養(yǎng)學生獨立思考能力和解決實際問題能力的一種教學方式①。

一、具有專業(yè)背景的案例豐富高等數(shù)學教學內(nèi)容

《高等數(shù)學》課程的案例式教學要以課程體系為基礎(chǔ)，在課程教學內(nèi)容的處理上，淡化復(fù)雜計算、強化基本概念和方法的實際應(yīng)用。本著服務(wù)于專業(yè)課程，按照由淺入深的原則，選編了大量的具有專業(yè)背景及生活實踐背景的教學案例。選編的案例應(yīng)具有以下四個特點：

1.目的明確。案例要符合教學目標和教學內(nèi)容的需要，符合學生的認知水平，有助于學生理解教學內(nèi)容，能夠為學生利用所學知識解決類似問題奠定基礎(chǔ)。

2.趣味性強。要選擇有趣味性、實踐性較強的案例，以激發(fā)學生的學習興趣。讓學生在興趣盎然的氛圍中學習，感受到數(shù)學就在身邊，消除數(shù)學是抽象、枯燥的認識。

3.具有代表性。案例由一個或幾個問題組成，內(nèi)容完整，情節(jié)具體詳細，有一定代表性，最好和學生所學的專業(yè)有關(guān)，這樣的案例使他們更有興趣參與，更有助于對所學內(nèi)容的理解。

4.具有真實性和實用性。學習數(shù)學的目的在于解決實際中的問題，因此案例選擇的真實性和實用性尤為重要。

這樣，將抽象的高等數(shù)學理論與方法融入在案例中，為高等數(shù)學的教與學提供一份完美、充實的實例資料。將專業(yè)課所涉及的數(shù)學問題，作為高等數(shù)學課程概念的引入和方法的應(yīng)用，這樣既增加了學生數(shù)學學習的興趣，又能在應(yīng)用中掌握概念和方法，實現(xiàn)從傳統(tǒng)的“學習數(shù)學”向“學會運用數(shù)學”的觀念轉(zhuǎn)變。如：針對經(jīng)管專業(yè)的學生，通過“貸款”案例分析研究，介紹一階常系數(shù)線性差分方程及其求解方法。針對資環(huán)學院的學生，通過“自然風壓”案例，引出定積分定義。針對電氣學院學生，通過“通信衛(wèi)星覆蓋地球面積”問題的分析、討論，推演出曲面面積的計算公式，并用公式求解“通信衛(wèi)星覆蓋地球面積”。依據(jù)教學目的和教學內(nèi)容的需要以及學生身心發(fā)展的特點，這些典型案例,可將學生引入一個特定的真實情境中,以此提高學生分析和解決實際問題的能力②。

二、案例式教學法在高等數(shù)學課程教學中的應(yīng)用

在高等數(shù)學課程教學的改革上，將傳統(tǒng)的“理論教學”與現(xiàn)代的“案例式教學”相結(jié)合，針對授課對象所學專業(yè)，將數(shù)學知識在專業(yè)及生活中的應(yīng)用作為教與學的中心。

首先，教學案例的選擇。根據(jù)教學內(nèi)容和教學對象的不同，精心設(shè)計案例。案例要貼切、恰當，能全面反映教學內(nèi)容；要生動，具有吸引力；要難易適度，易于被學生理解。

其次，方法得當，準確掌控整個教學過程。案例教學的過程就是利用適時、適度地提問引出案例，組織學生思考，引導學生讀懂案例、理解案例所描述的問題背景和要解決的實際問題，討論并列舉出案例中涉及的一些量用數(shù)學符號表示，找出這些量所表示的數(shù)學符號之間的關(guān)系，總結(jié)提煉出解決案例的數(shù)學模型，再由老師引導并講解高等數(shù)學的基本概念和基本理論，最終教師帶領(lǐng)學生利用所講數(shù)學的思想和方法，求解數(shù)學模型，完成教學案例的全過程。

在教學過程中，學生是學習的主體，教師在教學過程中應(yīng)側(cè)重于引導學生，吸引所有學生參與進來，在回答、講評學生對案例的答復(fù)時，不能輕率地將答案說出。而是要視絕大多數(shù)學員對問題的理解、掌握情況循循誘導，盡量讓學生自己來判斷、評價答案的正確與否，最終順理成章的得出結(jié)果。另外，在提問的過程中，學生有可能會給出一個意想不到的回答，教師又必須對此做出必要的解釋，這就要求教師有解決突發(fā)情況的能力，最好在上課以前預(yù)設(shè)各種可能的答案，并作好回答，以實現(xiàn)對整個教學過程的掌控③。

以下通過一個應(yīng)用案例，說明案例式教學法的實施。

應(yīng)用案例——貸款問題。

現(xiàn)實經(jīng)濟活動中，很多經(jīng)濟變量的取值是以等間隔的時間變化來統(tǒng)計的——即離散變化的，那么如何尋求它們之間的關(guān)系和變化規(guī)律呢？差分方程就是研究離散數(shù)據(jù)的數(shù)學模型的工具。下面針對應(yīng)用型本科院校的經(jīng)濟管理專業(yè)學生，通過貸款模型介紹一階線性差分方程及其求解方法。

中國人的買樓熱情促使了中國樓價的一路飆升，高昂的房價迫使一部分購房者只能以房屋抵押貸款的形式來買房，使自己成為房奴。這個群體不敢娛樂、不敢高消費、害怕失業(yè)、擔心銀行調(diào)息等等。造成這一后果的直接原因就是購房者貸款的月還款額度超出了他們的能力范圍，導致了他們嚴重的負擔，所以在貸款之前一定要計算一下月還款額。只有合理地安排，才能保證正常的生活質(zhì)量。

那么要怎樣計算月還款額呢？你現(xiàn)在只需要打開互聯(lián)網(wǎng)，搜索按揭貸款月供計算器，輸入相關(guān)信息就可以得到相應(yīng)的數(shù)值了。例如，輸入本金400000，貸款年限20，貸款利率為6.39，確定，就會顯示：每月應(yīng)付款2956.45，總還款額709536，總利息309536。那么互聯(lián)網(wǎng)上的這個按揭貸款月供計算器是按照怎樣的原理計算的呢？

分析與假設(shè)：

1.分析：引例屬于月等額還貸款問題。

2.假設(shè)：貸款本金為y0元，貸款年限為N年，相當于12N個月，貸款年利率為r，相當于月利率為r/12，月還款額度為B元，在貸款期限范圍之內(nèi)的第個月尚欠銀行款的數(shù)額為yn元。

3.數(shù)學模型：

觀察一下這個表達式，其中y關(guān)于n的下標之差為1，它們的系數(shù)為1與（1+r/12），若把yn-1項移到等號的一側(cè)，由第一節(jié)課介紹的差分方程的類型，知道它恰是一階常系數(shù)線性差分方程，要想解出關(guān)系式中的B來，必須先求解差分方程。

4.數(shù)學思想：關(guān)于時間n的一階線性常系數(shù)差分方程的求特解問題。

給出一階線性常系數(shù)差分方程的一般形式：

通過迭代法及微分方程求解方法，得到（1）的通解為：

5.求模型的解：

于是，案例中當A0=400000，N=12×20，r=6.39，x=2956.45，總還款額709536，總利息309536。

三、案例式教學應(yīng)注意的事項和解決的辦法

案例教學法激發(fā)了學生的學習興趣,使學生通過對實際問題的分析、研究，準確理解和把握數(shù)學概念的本質(zhì),把抽象的概念、原理具體化。使學生充分認識到數(shù)學知識既來源于實際又是解決實際問題的基本工具,讓學生體會到數(shù)學知識的實用性，可以更好地培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力和解決實際問題的能力。當然，在實施案例教學的過程中也存在一些問題,如在課程中有些知識點由于案例的選編存在困難,或所選案例不夠準確；再有案例往往來自于不同的學科領(lǐng)域，由于學生的知識量有限,在教學時往往需要補充一些相關(guān)知識,會給教學增加一些負擔。為了克服案例教學法存在的不足，教師在教學中不斷更新自身的知識結(jié)構(gòu),在采用案例教學法的同時，不斷豐富教學形式,精心挑選案例，多舉一些簡單、直觀、生活化的例子，盡可能多地了解學生，把握學生的認知水平，加強與專業(yè)課的縱向貫通。只有這樣,才能更好地提高課堂教學質(zhì)量④⑤⑥⑦。

在市場經(jīng)濟中，人才的培養(yǎng)模式成為高校的研究重心。高等數(shù)學課程案例式教學的生動性、具體性的特點和實際功能，已經(jīng)逐步在日常教學中得以顯現(xiàn)，它是針對學生能力的培養(yǎng)方式，為學生步入社會奠定了基礎(chǔ)。

注釋：

①張家軍，靳玉樂.論案例教學的本質(zhì)與特點[J].中國教育學刊，2004（1）：48-50

②朱捷，陳孝國．高等數(shù)學課程優(yōu)化設(shè)計[J]．黑龍江高教研究，2009（4）：138-140

③汪玲.案例教學法在高等數(shù)學教學中的應(yīng)用措施及評價.黑龍江科技信息，2011（25）：243

④葉其孝.把數(shù)學建模的思想和方法融入大學數(shù)學課程要從一年級開始[C].大學數(shù)學課程報告論壇論文集，2009:33

⑤李輝.將數(shù)學建模的思想融入經(jīng)濟數(shù)學教學中的幾個典型案例[C].大學數(shù)學課程報告論壇論文集.2009:316

⑥董毅，程偉.應(yīng)用型人才培養(yǎng)中高等數(shù)學的教學質(zhì)量與教學改革.大學數(shù)學，2011（4）：15-18

⑦周遠清.高等教育面向21世紀教學內(nèi)容與課程體系改革研究系列報告[M].北京：高等教育出版社，2000

（作者單位：黑龍江科技大學理學院 黑龍江哈爾濱 150022；第一作者簡介：朱捷，黑龍江科技大學理學院教授，博士，主要從事數(shù)量遺傳學的教學與研究工作。） （責編：若佳）

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1004-4914（2014）12-254-02

黑龍江省學位與研究生教育教學改革研究項目（JGXM-HLJ-2014114）]