●于海姝 蔡吉花 王宇

基于馬爾科夫鏈的玉米期貨價格預測模型

●于海姝 蔡吉花 王宇

利用馬爾科夫鏈具有隨機性、無后效性及不過分依賴歷史數(shù)據(jù)的特點，對具有馬爾科夫性的期貨價格、期貨價格的狀態(tài)區(qū)間以及它的成交量進行分析，建立期貨價格的馬爾科夫鏈模型，以求能對期貨價格的未來走勢進行一定的預測。通過研究2013年1月18日-2013年11月19日共201個交易日的玉米交易價格數(shù)據(jù)，將相鄰交易日的差值的大小分為五個狀態(tài)，建立一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，對其進行馬爾科夫預測，對于未來交易日的交易價格的可能走勢進行分析,得到的預測結(jié)果與實際走勢相符。同時,該方法也預測出了在穩(wěn)定狀態(tài)下的交易價格的漲跌情況,獲得了較好的效果。

期貨價格 馬爾科夫鏈 平穩(wěn)分布

隨著期貨市場交易機制的不斷完善,期貨市場的價格發(fā)現(xiàn)功能越來越強大,正確認識期貨價格的發(fā)現(xiàn)功能有助于證券市場投資者和交易者進行準確的預測與判斷。通過分析價格運動趨勢,投資者可以預測其未來的可能走勢。由于馬爾可夫過程有一個最重要的特點：該過程將來的狀態(tài)跟過去的狀態(tài)無關(guān),只由該過程現(xiàn)在的狀態(tài)決定，因此馬爾科夫鏈模型只需考慮事件本身歷史狀況的演變特點,通過計算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率從而預測內(nèi)部狀態(tài)的變化情況,故馬爾科夫鏈模型在預測中具有廣泛的實用性。

一、理論知識

若隨機過程{xn,n∈T}對于任意的非負整數(shù)n∈T和任意的io，i1，…，in∈I其條件概率滿足P{xn+1=in+1｜x0=i0，x1=i1，…，xn=in}=P{xn+1=in+1｜xn=in}，則稱{xn, n∈T}為馬爾科夫鏈。記為Pij。轉(zhuǎn)移概率Pij所組成的矩陣稱為系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，記作：

設(shè)馬爾科夫鏈{xn,n≥0}的狀態(tài)空間為I，若對一切I，存在不依賴于i的常數(shù)Pj使得，則稱此馬爾科夫鏈具有遍歷性。遍歷性說明不論系統(tǒng)自哪一個狀態(tài)出發(fā)，當轉(zhuǎn)移次數(shù)n充分大時，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率近似于某個常數(shù)。

稱概率分布{πj,j∈I}為馬爾科夫鏈的平穩(wěn)分布，它滿足：

二、問題提出與解決

2013年1月18日-2013年11月19日共201個交易日的玉米交易價格數(shù)據(jù)如下：

1907,1897,1886,1887,1864,1856,1845,1849,1832,1836,1827,1819,1850,1829,1831,1 831,1831,1834,1835,1835,1845,1860,1857,1858,1855,1865,1861,1861,1851,1850,1 858,1856,1857,1860,1865,1882,1885,1888,1882,1895,1897,1896,1888,1895,1898,1907,1901,1894,1891,1891,1893,1894,1873,1875,1876,1887,1891,1892,1896,1900,1905,1909,1906,1912,1906,1912,1901,1892,1895,1893,1908,1914,1924,1943,1932,1943,1940,1939,1932,1951,1959,1956,1957,1948,1937,1937,1934,1915,1912,1913,1884,1870,1871,1856,1858,1865,1849,1858,1853,1839,1865,1864,1860,1869,1884,1863,1853,1858,1866,1878,1877,1882,1888,1892,1912,1925,1908,1897,1897,1925,1923,1932,1925,1925,1930,1937,1929,1936,1933,1930,1961,1954,1969,1960,1971,1970,1963,1958,1963,1972,1995,1999,1984,1980,1985,1967,1963,1968,1980,1980,1966,1968,1955,1963,1978,1984,1985,1969,1974,1967,1962,1974,1971,1990,2035,2014,2013,2007,1989,1993,2001,2083,2048,2052,2050,2056,2062,2065,2080,2112,2112,2145,2117,2095,2115,2104,2126,2118,2112,2113,2135,2131,2149,2140,2134,2090,2120,2104,2086,2105,2102。

將201個交易日的收盤價格分為大幅下跌，正常下跌，小幅振蕩，正常上漲，大幅上漲五種狀態(tài)進行分析預測。取x1=大幅下跌，x2=正常下跌，x3=持平，x4=正常上漲，x5=大幅上漲，則狀態(tài)空間為:I（x1，x2，x3，x4，x5）。

狀態(tài)概率是各種狀態(tài)出現(xiàn)的可能性的大小，用狀態(tài)向量π（i）=（P1，P1，…，Pn）表示，i=1,2，…，n，Pj為xj的概率，j=1, 2，…，n。

上面共201個交易日，利用前一個交易日與后一個交易日的價格作差，可以得出如下數(shù)據(jù)：

-10,-11,1,-23,-8,-11,4,-17,4,-9,-8,31,-21,2,0,0,3,1,0,10,15,-3,1,-3,10,-4,0,-10,-1,8,-2,1,3,5,17,3,3,-6,13,2,-1,-8,7,3,9,-6,-7,-3,0,2,1,-21,2,1,11,4,1,4,4,5,4,-3,6,-6,6,-11,-9,3,-2,15,6,10,19,-11,11,-3,-1,-7,19,8,-3,1,-9,-11,0,-3,-19,-3,1,-29,-14,1,-15,2,7,-16,9,-5,-14,26,-1,-4,9,15,-21,-10,5,8,12,-1,5,6,4,20,13,-17,-11,0,28,-2,9,-7,0,5,7,-8,7,-3,-3,31,-7,15,-9,11,-1,-7,-5,5,9,23,4,-15,-4,5,-18,-4,5,12,0,-14,2,-13,8,15,6,1,-16,5,-7,-5,12,-3,19,45,-21,-1,-6,-18,4,8,82,-35,4,-2,6,6,3,15,32,0,33,-28,-22,20,-11, 22,-8,-6,1,22,-4,18,-9,-6,-44,30,-16,-18,19,-3。

可以看出差值的最大值為82,最小值為-44。規(guī)定：當Xn∈[-44,-5]時出現(xiàn)狀態(tài)1，即大幅下跌；當Xn∈[-5,-1]時出現(xiàn)狀態(tài)2，即正常下跌；當Xn∈[-1,1]時出現(xiàn)狀態(tài)3，即持平；當Xn∈[1,5]時出現(xiàn)狀態(tài)4，即正常上漲；當Xn∈[5,82]時出現(xiàn)狀態(tài)5，即大幅上漲。其中大幅下跌的次數(shù)為60次，正常下跌的次數(shù)為27次，持平的次數(shù)為22次，正常上漲的次數(shù)為32次，大幅上漲的次數(shù)為59次。

通過上面各個狀態(tài)中的頻數(shù)可以得到各個狀態(tài)概率分別為：

從而得到狀態(tài)向量π（0）=（0.3000 0.1350 0.1100 0.1600 0.2950）稱為初始狀態(tài)向量。同時還可以得出狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣：

由狀態(tài)1轉(zhuǎn)移為狀態(tài)1的次數(shù)是19，故轉(zhuǎn)移概率P11=0.3115；由狀態(tài)1轉(zhuǎn)移為狀態(tài)2的次數(shù)為5，故轉(zhuǎn)移概率P12=0. 0820;由狀態(tài)2轉(zhuǎn)移為狀態(tài)1的次數(shù)為5，故轉(zhuǎn)移概率P21=0.1923;由狀態(tài)2轉(zhuǎn)移為狀態(tài)2的次數(shù)為3，故轉(zhuǎn)移概率P22=0.1154;同理各個狀態(tài)的轉(zhuǎn)移情況和轉(zhuǎn)移概率都可以得出，轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

矩陣P中每一橫行為某一狀態(tài)下各種情況轉(zhuǎn)移的概率。

P為一步概率轉(zhuǎn)移矩陣。由模型可知，第K期的狀態(tài)概率取決于初始狀態(tài)概率和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的k次方。顯然，若已知初始狀態(tài)概率向量π（0）及轉(zhuǎn)移矩陣P，則可求出預測對象在任何一個時期處于任何一個狀態(tài)的概率。不同時期的狀態(tài)概率由狀態(tài)向量π（i）表示，這里π（i）=π（i-1）P，（i=1,2，…，n），由于第201日處于正常下跌狀態(tài)，由馬氏性和無后效性，所以可以認為初始狀態(tài)向量π（0）=（0 1 0 0 0）。

利用初始向量和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來預測以后各個收盤日價格狀態(tài)概率，第202日收盤價狀態(tài)概率向量:

第203日收盤價狀態(tài)概率向量:

同理可以得到收盤價格的變化趨勢：隨著交易日的增加，即足夠大時，只要狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不變（即穩(wěn)定條件）,則狀態(tài)概率趨向于一個和初始狀態(tài)無關(guān)的值（0.2995 0.1352 0.1106 0.1593 0.2954），并穩(wěn)定下來。即該股最終以45.47%左右的可能性處于上升狀態(tài)，以11.06%的把握處于持平狀態(tài)，以43.47%左右的把握處于下降狀態(tài)，預測的結(jié)果與實際情況基本相符。

通過轉(zhuǎn)移概率矩陣P可以知道P中的所有元素都大于0，由遍歷性的定義可以知道，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P中，有n使得Pn中的所有元素都大于0，所以則稱一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P具有遍歷性。

由π=（x1x2x3x4x5）=（0.2995 0.1352 0.1106 0.1593 0.2954），可得各個狀態(tài)的平均返回時間為：

三、結(jié)論

本文對已知數(shù)據(jù)進行了處理并假設(shè)了幾個狀態(tài)利用馬爾科夫鏈模型求出了個狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移頻數(shù)及轉(zhuǎn)移概率，利用馬爾科夫鏈所具有的無后效性對未來交易日的價格進行了預測。雖然本文研究取得了一定的成果，但也存在不足之處。首先，它是建立在一定的假設(shè)條件之上，而實際市場中這些條件很難滿足，其市商品價格是受市場上的多種因素影響的結(jié)果。比如說市場上多空雙方的力量比較,宏觀經(jīng)濟政策,行業(yè)景氣度以及投資者的心理因素等。其次，文中的實例分析的數(shù)據(jù)區(qū)間的選擇會很大的影響轉(zhuǎn)移概率矩陣。該方法對于短期交易日的預測可能存在一些偏差，但是對于長期預測還是比較精準的。

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（作者單位：黑龍江科技大學理學院 黑龍江哈爾濱 150022）

（責編：賈偉）（責編：呂尚）

F830.91

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1004-4914(2014)07-074-02

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