韓志型

（西南科技大學(xué)，四川 綿陽 621010）

材料力學(xué)主要是研究處于平衡狀態(tài)的工程構(gòu)件的內(nèi)力、變形和失效規(guī)律，提出保證桿件具有足夠的強度、剛度和穩(wěn)定性的設(shè)計方法和設(shè)計準(zhǔn)則。構(gòu)件內(nèi)力的計算是分析構(gòu)件強度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎(chǔ)?？梢妰?nèi)力計算在材料力學(xué)課程中占有相等重要的地位。材料力學(xué)中內(nèi)力計算主要是計算桿件的軸力、扭矩、剪力和彎矩，是比較容易掌握的內(nèi)容。但是，本人在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)始終有學(xué)生對內(nèi)力的概念是模糊的，在計算內(nèi)力時總會出現(xiàn)一些問題。最常見的問題是：（1）概念模糊；（2）內(nèi)力計算不正確；（3）不清楚內(nèi)力正負(fù)號的含義。針對這些問題，在講授桿件內(nèi)力這部分內(nèi)容時主要從以下幾個方面進行教學(xué)，效果良好。

1 重點強調(diào)內(nèi)力的概念和特點

內(nèi)力是指由外力作用所引起的物體內(nèi)部的互相作用力。內(nèi)力的特點：（1）內(nèi)力隨外力的變化而變化;（2）內(nèi)力是截面上的內(nèi)力系向截面形心簡化后得到的主矢和主矩；（3）內(nèi)力成對出現(xiàn)，且相互平衡。在教學(xué)過程中，要使學(xué)生理解內(nèi)力的概念，掌握內(nèi)力的要點：（1）內(nèi)力是物體內(nèi)部的相互作用力；（2）內(nèi)力隨外力而變化；（3）內(nèi)力是截面上內(nèi)力系合成的結(jié)果，是一個力或一個力偶；（4）內(nèi)力的正負(fù)號代只反映力的方向，不具代數(shù)大小的含義。

2 內(nèi)力計算的基本方法

截面法是內(nèi)力計算的基本方法，其計算步驟為：

①截開。在所求內(nèi)力的截面處，假想地沿截面將構(gòu)件截成兩部分。

②代替。任取其中一部分作為計算對象，在被截開的截面上用內(nèi)力代表另一部分對該部分的作用力，畫出這部分的受力圖。

③平衡。根據(jù)受力圖建立平衡方程，計算出該截面上的內(nèi)力。

用截面法計算內(nèi)力，無論取哪部分來計算，其結(jié)果都一樣。

在教學(xué)過程中，首先要求學(xué)生必須理解內(nèi)力的含義，掌握內(nèi)力計算的基本方法即截面法，熟練地按照截面法的三步驟計算內(nèi)力。在此基礎(chǔ)上，歸納出計算內(nèi)力的規(guī)律。下面以例說明內(nèi)力計算的教學(xué)方法。

圖1 截面法求指定截面m上的軸力

例：求圖1（a）所示軸向拉壓桿截面m的軸力。

解：按截面法的三步驟計算。

①截開。沿截面m假想將桿件截成左右兩段。

②代替。取右段分析，繪其受力圖如圖1（b）。軸力FN代表左段桿件對右段桿件在m截面上的作用力。

③平衡。根據(jù)受力圖列平衡方程：

FN－P－4P＝0 （1）解得 FN＝P＋4P＝5P

若取左段分析，用FN’代替右段桿件對左段桿件在m截面上的作用力。顯然FN與FN’是一對作用力和反作用力。根據(jù)如圖1（c）所示的左段桿受力圖列平衡方程

FN＇－8P－2P＋5P＝0 （2）解得 FN＇＝5P。

可見，無論取哪一段來計算，均可得出m截面上的軸力為拉力，大小為5P。

對于圖2所示的軸n截面上的扭矩T,用截面法取右段列平衡方程

T＋4Me－Me＝0 （3）得到 T＝－3Me

若取左段列平衡方程

T＋2Me＋Me＝0 （4）得到 T＇＝－3Me

同樣地，無論取哪一段來計算，均可得出相同的計算結(jié)果。因此，在具體計算內(nèi)力時，只需取受力最簡單的一段來計算。

圖2 截面法求指定截面n上的扭矩

3 由截面法引生出內(nèi)力計算的規(guī)則，簡化計算過程

3.1 軸力的計算規(guī)則

用截面法計算時需要畫出受力圖，然后再列出平衡方程，根據(jù)平衡方程求得結(jié)果。這個計算過程相對還是比較繁瑣，那么，能否不用畫受力圖，只需根據(jù)桿件上的外力就可以直接計算出任一截面上的內(nèi)力呢？我們引導(dǎo)學(xué)生對平衡方程進行分析，以期找出計算內(nèi)力的規(guī)律。式（1）表示的平衡方程可寫成：FN＝P＋4P＝ΣPi右＝5P，不難看出 m 截面上的軸力實際上就等于m以右桿件段上各荷載的代數(shù)和。若取左段分析，式（2）表示的平衡方程可寫成 ：FN＇＝2P－5P＋8P＝ΣPi左＝5P，實際上FN＇就等于m以左桿件段上各荷載的代數(shù)和。因此，根據(jù)平衡方程可以總結(jié)出來求軸力的規(guī)律。即任意截面上的軸力FN等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）桿件上外力Pi的代數(shù)和。用公式表示為FN＝ΣPi左或FN＝ΣPi右。

同一個外力對于不同的截面所產(chǎn)生的作用效果可能不同，對某一截面而言是拉力，但對另一截面可能又變成了壓力。因此，在用上式計算軸力時，一些學(xué)生不清楚外力正負(fù)號如何取，容易將外力符號搞錯。對此在教學(xué)時就要強調(diào)軸力正負(fù)號的規(guī)定，軸力為拉力時取正號，為壓力時取負(fù)號，即拉為正壓為負(fù)。外力對計算軸力的截面而言為拉力，那么在該截面上產(chǎn)生的軸力必然也是拉力，這時，外力符號取正號。簡便的判斷外力的正負(fù)號的方法就是：外力的箭頭離開該截面為正，指向該截面為負(fù)。這樣一來，學(xué)生就不會弄錯外力正負(fù)號了。根據(jù)這一計算規(guī)律，無需繪受力圖就可以計算任一截面的軸力。

3.2 扭矩的計算規(guī)則

對于式（3）表示的右段軸的平衡方程可寫成：T＝－4Me＋Me＝ΣMei右＝－3Me。

式（4）表示的左段軸的平衡方程可寫成：T＇＝T＝－2Me－Me＝ΣMei左＝－3Me。

因此，也可以總結(jié)出來與計算軸力類似的計算扭矩的規(guī)律，即任意截面上的扭矩T等于該截面一側(cè) （左側(cè)或右側(cè)）桿件上外力偶矩Mei的代數(shù)和。 用公式表示為T＝ΣMei左或 T＝ΣMei右。

外力偶矩Mei的正負(fù)號：按右手螺旋法則，大拇指尖離開該截面為正，指向該截面為負(fù)。

3.3 剪力、彎矩的計算規(guī)則

同樣地，也可以總結(jié)出來計算梁的內(nèi)力——剪力和彎矩的規(guī)律。即：

（1）任意截面上的剪力FS等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）桿件上在平行于剪力方向上的外力Pi的代數(shù)和。即FS＝ΣPi左或FS＝ΣPi右

外力Pi的正負(fù)號按左段向上右段向下取正號，相反取負(fù)號確定。

（2）任意截面上的彎矩M等于該截面一側(cè)（左側(cè)或右側(cè)）桿件上外力（包括外力偶）對該截面形心之矩的代數(shù)和。即M＝ΣMei左或M＝ΣMei右。

外力矩或外力偶矩正負(fù)符號按左段梁上的外力對截面形心的力矩是順時針轉(zhuǎn)動取正號，逆時針轉(zhuǎn)動取負(fù)號；右段梁上外力對截面形心的力矩是逆時針轉(zhuǎn)動取正號，順時針轉(zhuǎn)動取負(fù)號。即左順右逆為正，反之為負(fù)。根據(jù)彎矩正負(fù)號的規(guī)定，還可以總結(jié)出：對于水平梁凡是向上的外力對任意截面均產(chǎn)生正的彎矩。下面就以圖3（a）所示的梁為例來說明按梁的內(nèi)力計算規(guī)則計算C截面上的剪力和彎矩。

首先計算出梁的支座反力，并將其標(biāo)注于圖中，如圖3（b）所示。

再計算C截面的剪力和彎矩。由于C截面上有集中力偶作用，其彎矩將發(fā)生突變，因此需分別計算無限靠近C截面的左右兩側(cè)截面的剪力和彎矩。

按剪力、彎矩的計算規(guī)律，取C截面以左的梁段計算得：

顯然，取左段和取右段得出的結(jié)果一致。在計算時要觀察梁上的受力情況，再確定取哪一段來計算，可以使計算過程更簡單。

圖3 計算梁的剪力和彎矩

4 結(jié)語

從上面的分析過程可以看出，利用截面法得出的內(nèi)力計算規(guī)則來計算桿件任意截面上的內(nèi)力，非常簡便，不需要畫內(nèi)力圖，只需根據(jù)桿件上的外力就可以快速得出計算結(jié)果。用這種方法計算內(nèi)力，學(xué)生容易掌握，計算速度快且不容易出錯。因此在教學(xué)過程中，著重訓(xùn)練學(xué)生采用這些規(guī)則來計算內(nèi)力，取得了良好的教學(xué)效果。

［1］劉鴻文.材料力學(xué)[M].高等教育出版社，2011，2.

［2］李杰.《材料力學(xué)》內(nèi)力圖教學(xué)的創(chuàng)新實踐[J].邢臺職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2006,2.

［3］李云，孫華東.材料力學(xué)內(nèi)力圖分析教學(xué)方法研究[J].甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2009,11.