柳維芳

（廈門大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，福建廈門361005）

一、研究背景

2002年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)授予了預(yù)期理論的創(chuàng)始人之一Kahneman先生，其與Tversky提出的預(yù)期理論開(kāi)辟了行為金融研究的先河。然而預(yù)期理論雖已獲得了學(xué)術(shù)界的充分肯定，但其理論本身仍然存在著一些瑕疵。其中最受質(zhì)疑的就是在期望效用理論中滿足一階隨機(jī)占優(yōu)關(guān)系的兩個(gè)分布在預(yù)期理論中并不一定仍然滿足一階隨機(jī)占優(yōu)。基于預(yù)期理論存在的不足，學(xué)者們?cè)诤罄m(xù)研究中提出各種模型對(duì)預(yù)期理論進(jìn)行修正。如Tversky和Kahneman（1992）的累積預(yù)期理論（Cumulative prospect theory），很好地解決了原始的預(yù)期理論無(wú)法解釋一階隨機(jī)占優(yōu)的缺陷,并將預(yù)期理論擴(kuò)展到具有連續(xù)分布的賭局。隨后，Schmidt et al.（2008）在預(yù)期理論框架下，借鑒Sugden（2003）參考點(diǎn)依賴的主觀期望效用理論，構(gòu)造了不確定參考點(diǎn)的預(yù)期理論，并將之稱為第三代預(yù)期理論。

經(jīng)過(guò)大量的信息學(xué)及問(wèn)卷調(diào)查，學(xué)界發(fā)現(xiàn)預(yù)期理論的價(jià)值函數(shù)存在許多與人們的真實(shí)行為相悖的現(xiàn)象。例如在預(yù)期理論提出人們?cè)诿媾R損失時(shí)存在損失厭惡的特征，在面臨損失時(shí)投資者往往會(huì)存在賭一把的心理，因此在損失區(qū)間投資者的價(jià)值函數(shù)是凸函數(shù)?；诖思僭O(shè)，在預(yù)期理論框架下，投資者的邊際效用在個(gè)人財(cái)富值為0附近會(huì)隨著個(gè)人財(cái)富的減少而下降，該特征與大量的行為研究及投資者的真實(shí)感受存在著較大的偏差。Gomes（2005）指出由于極端的損失可能會(huì)導(dǎo)致投資者面臨破產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，在財(cái)富的損失足夠大為避免破產(chǎn)等極端事件的發(fā)生投資者并不會(huì)表現(xiàn)得過(guò)于偏好風(fēng)險(xiǎn)，基于此點(diǎn)假設(shè)Gomes（2005）對(duì)預(yù)期理論的價(jià)值函數(shù)進(jìn)行了修改，提出了雙拐點(diǎn)價(jià)值函數(shù)。Gomes（2005）的基本思想實(shí)際上與我國(guó)諺語(yǔ)中所提到的留得青山在，不怕沒(méi)柴燒相近。江一濤（2010）采用問(wèn)卷調(diào)查的方式對(duì)Gomes（2005）提出的價(jià)值函數(shù)進(jìn)行論證，作者首先提出1992年Kahneman和Tversky在論證預(yù)期理論合理性的調(diào)查問(wèn)卷中所投資者可能面臨的最大損失只有400美元，最大損失水平僅僅是被調(diào)查者個(gè)人財(cái)富水平的一個(gè)較小的部分。作者設(shè)計(jì)了新的調(diào)查問(wèn)卷用于進(jìn)一步分析投資者在面臨過(guò)度損失時(shí)的行為特征，問(wèn)卷調(diào)查的結(jié)論為Gomes（2005）提出的雙拐點(diǎn)價(jià)值函數(shù)提供了實(shí)證方面的證據(jù)，在此基礎(chǔ)上作者提出了新一代的預(yù)期理論—雙拐點(diǎn)預(yù)期理論（Modify prospect theory以下簡(jiǎn)稱MPT）。

為了將傳統(tǒng)金融學(xué)中的分析方法推廣到行為金融學(xué)研究中，本文以隨機(jī)占優(yōu)（Stochastic Dominance）準(zhǔn)則為出發(fā)點(diǎn)展開(kāi)論述，隨機(jī)占優(yōu)理論最早是由Hadar和Russell（1969）提出的，隨后Hanoch和Levy等人對(duì)該理論進(jìn)行了梳理和總結(jié)，隨機(jī)占優(yōu)理論是以期望效用理論為基礎(chǔ)的經(jīng)濟(jì)學(xué)框架建立起來(lái)的，用于研究具有相似價(jià)值函數(shù)特征的投資者的決策行為的分析方法，由于該方法適用于群體投資行為的分析而被廣泛應(yīng)用于投資者資產(chǎn)選擇問(wèn)題，風(fēng)險(xiǎn)管理問(wèn)題的研究。盡管行為金融學(xué)能更好的描述人們的決策行為，但其理論架構(gòu)能存在缺陷，理論本身尚未建立起完整的理論體系，在分析方法上存在許多主觀的成分，仍有許多無(wú)法用模型進(jìn)行量化的地方。在Kahenman和Tversky之后，許多行為金融學(xué)的支持者開(kāi)始致力于行為金融框架下分析方法和資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題的研究，其中具有代表意義的是Levy和Wiener（1998）提出的預(yù)期理論框架下的隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則-PSD（Prospect stochastic dominance）準(zhǔn)則，該理論的重要性在于其提出了行為金融框架下群體行為的分析方法，為進(jìn)一步研究投資者組合選擇問(wèn)題提供了更為科學(xué)的分析工具。在Levy和Wiener（1998）工作的基礎(chǔ)上，Haim Levy和Moshe Levy（2004）研究了預(yù)期理論框架下投資者的資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題，通過(guò)比較作者發(fā)現(xiàn)在預(yù)期前景理論框架下投資者的有效前沿為Markowize（1952）提出的均值方差有效前沿的子集。該結(jié)論的提出為傳統(tǒng)金融學(xué)和行為金融學(xué)之間的聯(lián)系搭起了橋梁，為均值方差理論的合理性提供了行為金融方面的證據(jù)。

本文立足于雙拐點(diǎn)預(yù)期理論的研究框架，提出了基于雙拐點(diǎn)預(yù)期理論的隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則，進(jìn)一步，推廣了該隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則用資產(chǎn)收益率的分布函數(shù)表示的等價(jià)形式。在此基礎(chǔ)上，我們運(yùn)用新的隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則對(duì)資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題進(jìn)行了研究，并比較了該準(zhǔn)則下的有效組合與均值方差有效組合。本文得到了如下兩個(gè)結(jié)論：（1）如果投資者在決策時(shí)不對(duì)收益率的概率分布進(jìn)行變換，雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則下的投資者組合有效前沿等同于均值方差有效前沿；（2）如果投資者在決策時(shí)不對(duì)收益率的概率分布進(jìn)行變換，雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則下的投資者組合有效前沿是均值方差組合的子集。這兩個(gè)結(jié)論說(shuō)明，盡管均值方差理論產(chǎn)生于傳統(tǒng)金融學(xué)框架，但該理論在行為金融學(xué)框架下依然能延續(xù)原有的合理性。

二、雙拐點(diǎn)預(yù)期理論與隨機(jī)占優(yōu)

（一）雙拐點(diǎn)預(yù)期理論①江一濤：《預(yù)期理論的修正及投資者行為研究》，廈門大學(xué)博士學(xué)位論文，2011年。

江一濤（2010）提出了雙拐點(diǎn)預(yù)期理論，在該理論中投資者的價(jià)值函數(shù)具體表現(xiàn)形式如下：

X為投資者的初始稟賦的大小，Z為判斷投資損益的平衡點(diǎn)，用于區(qū)分是否投資產(chǎn)生了極端損失的參考點(diǎn)，即當(dāng)W0≤W＜Z表示投資產(chǎn)生了相對(duì)較小的損失，當(dāng)W＜W0表示投資產(chǎn)生的損失較大。顯然在W0附近投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度發(fā)生了變化，在該參考點(diǎn)左邊投資者是風(fēng)險(xiǎn)偏好的，在該參考點(diǎn)右邊投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的。雙拐點(diǎn)預(yù)期理論對(duì)預(yù)期理論的修正使之更加符合人們的直觀感受。從雙拐點(diǎn)預(yù)期理論的價(jià)值函數(shù)來(lái)看，它比預(yù)期理論更適合于描述公司管理人員作出并購(gòu)重組、重大項(xiàng)目投資等重大決策時(shí)的行為。因?yàn)橐坏Q策失誤往往給公司帶來(lái)巨額虧損，這是管理人員所不想見(jiàn)到的，因此，當(dāng)面臨可能帶來(lái)的巨額虧損時(shí)管理人員往往會(huì)表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡的特性。

（二）隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則（stochastic dom inance）②柳維芳、張順明、李江峰：《修正前景理論與均值方差分析》，Proceedings of 2011 International Conference on Management Science and Engineering，2011年第3期。

隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則是用于判斷具有相同特征的價(jià)值函數(shù)的投資者一致行為的決策的準(zhǔn)則，如，一階隨機(jī)占優(yōu)便是用來(lái)表示具有單調(diào)遞增價(jià)值函數(shù)的投資者在判斷任意兩項(xiàng)投資時(shí)的一致準(zhǔn)則，對(duì)于任意兩個(gè)投資組合，其累積分布函數(shù)用F和G表示，函數(shù)集合U1為所有滿足非飽和性的價(jià)值函數(shù)組成的集合（即集合中的任意函數(shù)滿足單調(diào)遞增的性質(zhì)），如果U1中的任意一個(gè)價(jià)值函數(shù)u（.），都有EF（u）≥EG（u），則稱F一階隨機(jī)占優(yōu)于G，一般表示為F·1G。通過(guò)以上的定義我們可以看出如果F·1G，所有具有單調(diào)遞增的價(jià)值函數(shù)的投資者都會(huì)一致偏好于組合F。Fishburn（1964）同時(shí)還給出了一階隨機(jī)占優(yōu)的等價(jià)形式F·1G，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的x，E（x）≤G（x），且存在某個(gè)x使上述不等式嚴(yán)格成立。類似的Hadar和Russell（1969）在非減的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的價(jià)值函數(shù)集合上定義了二階隨機(jī)占優(yōu)的概念，并同時(shí)給出了二階隨機(jī)占用收益率的分布函數(shù)表示的等價(jià)形式。Levy和Wiener（1998）將隨機(jī)占優(yōu)方法引入行為金融領(lǐng)域，提出了滿足預(yù)期理論價(jià)值函數(shù)特征的新型隨機(jī)占優(yōu)方法，并命名為預(yù)期隨機(jī)占優(yōu)理論（Prospect Stochastic Dominance），作者同時(shí)給出了預(yù)期隨機(jī)占優(yōu)用分布函數(shù)表示的等價(jià)形式。對(duì)于以上各類隨機(jī)占優(yōu)的定義及等價(jià)形式的證明可以參見(jiàn)Fishburn（1964），Hadar和Russell（1969），Levy和Wiener（1998）。

三、雙拐點(diǎn)預(yù)期理論下的隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則（TPSD）

根據(jù)傳統(tǒng)隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則的定義方法，不同的隨機(jī)占優(yōu)代表著具有不同函數(shù)特征的價(jià)值函數(shù)組成的集合上的一致選擇行為。因此，本文也將沿用傳統(tǒng)隨機(jī)占優(yōu)的思想來(lái)進(jìn)行隨機(jī)占優(yōu)的定義。

假設(shè)函數(shù)集合UMP由所有滿足如下兩個(gè)條件的函數(shù)組合：（1）對(duì)任意的Z≠0，有U'（Z）>0；（2）當(dāng)Z>0時(shí)，U''（Z）≤0，當(dāng)x0≤Z<0時(shí)，U''（Z）≥0，當(dāng)Z

由上可知，UMP是由雙拐點(diǎn)預(yù)期理論框架下的雙拐點(diǎn)價(jià)值函數(shù)組成的集合，具有UMP中價(jià)值函數(shù)的投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度分別在收益損失基準(zhǔn)點(diǎn)0及極端損失基準(zhǔn)點(diǎn)x0處發(fā)生改變。通過(guò)研究具有雙拐點(diǎn)價(jià)值函數(shù)的投資者的選擇行為，我們就可以定義雙拐點(diǎn)預(yù)期理論下的隨機(jī)占優(yōu)準(zhǔn)則。

定義一：分別用X和Y表示兩個(gè)投資組合，這兩個(gè)組合的收益率的分布函數(shù)分別用F（.）和G（.）表示。如果對(duì)于所有價(jià)值函數(shù)u∈UMP，即任意具有雙拐點(diǎn)特征價(jià)值函數(shù)的投資者有E[u（X）]≥E[u（Y）]，則稱投資X在雙拐點(diǎn)預(yù)期理論準(zhǔn)則下隨機(jī)占優(yōu)于Y，用符號(hào)表示為Y或者F（.）

定義一給出了雙拐點(diǎn)預(yù)期理論的基本定義，為了給出更為直觀的定義，有必要推廣用分布函數(shù)表示的雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)。

本處的證明可借鑒隨機(jī)占優(yōu)的經(jīng)典證明方法，受篇幅限制本文不進(jìn)行詳細(xì)論述。

定理一將雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)歸納為比較投資組合間分布函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，從定理一也可以看出雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)只需投資者的價(jià)值函數(shù)具有雙拐點(diǎn)函數(shù)的特征，與投資者價(jià)值函數(shù)的具體函數(shù)形式無(wú)關(guān)。

預(yù)期理論除了提出S形價(jià)值函數(shù)的概念，其與期望效用理論的另一個(gè)區(qū)別是提出了概率扭曲的概念。預(yù)期理論認(rèn)為投資者在作出決策時(shí)會(huì)對(duì)客觀概率進(jìn)行主觀扭曲，而不會(huì)直接使用客觀概率進(jìn)行評(píng)估。定理一只考慮了無(wú)概率扭曲情況下投資者的TPSD準(zhǔn)則，定理二將會(huì)推廣存在概率扭曲的TPSD準(zhǔn)則。

定理二：用T（.）表示投資者的主觀概率權(quán)重函數(shù)，用X和Y表示兩個(gè)投資組合，這兩個(gè)組合的收益率的分布函數(shù)分別用F（.）和G（.）表示，X當(dāng)且僅當(dāng)如下兩個(gè)條件成立：（1）對(duì)任意x1≤x0，有[T（G（t））-T（F（t））]dt≥0；（2）對(duì)任意x0≤x2≤0≤x3，有[T（G（t））-T（F（t））]dt≥0。

四、雙拐點(diǎn)預(yù)期理論下的資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題

自Markowize（1952）提出均值方差理論后，資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題便成為金融研究的核心領(lǐng)域，本節(jié)將在雙拐點(diǎn)預(yù)期理論框架下展開(kāi)資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題的討論，運(yùn)用上一節(jié)提到的雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)的思想來(lái)研究投資者的有效組合，將該有效前沿與均值方差有效前沿進(jìn)行比較。依賴于如下三個(gè)基本假設(shè)：（1）經(jīng)濟(jì)中資產(chǎn)收益率的分布函數(shù)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布；（2）市場(chǎng)滿足完美市場(chǎng)的所有特征；（3）市場(chǎng)中任意資產(chǎn)都是線性無(wú)關(guān)的。

定義（雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)有效）：對(duì)于組合X，如果任何一個(gè)具有雙拐點(diǎn)價(jià)值函數(shù)的投資者都無(wú)法找到組合Y，使X成立，則稱X為雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)有效。

定理三：當(dāng)任意兩個(gè)投資組合X和Y的收益率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，且兩者的收益率的方差相同，那么當(dāng)且僅當(dāng)μX≥μY，即在這種情況下一階隨機(jī)占優(yōu)等價(jià)于均值方差準(zhǔn)則。

定理五：如果投資者的主觀概率扭曲函數(shù)T（.）是非減的，那么當(dāng)且僅當(dāng)T（F）利用以上三個(gè)引理，我們來(lái)討論雙拐點(diǎn)預(yù)期理論下的投資者有效組合構(gòu)建問(wèn)題。

定理六：在本節(jié)的三個(gè)基礎(chǔ)假設(shè)下，在不考慮投資者對(duì)資產(chǎn)收益率的客觀概率分布進(jìn)行扭曲時(shí)，雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)有效前沿與均值方差有效組合完全一致。

證明：（1）我們只需要證明，如果一個(gè)投資組合不在均值方差有效前沿上（見(jiàn)圖1），那么該組合也是無(wú)效的雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)組合。如圖1，顯然任何一個(gè)非均值方差有效組合（如組合F'），在均值方差有效前沿上都可以找到一個(gè)與其方差相同但期望收益更大的投資組合F，根據(jù)引理1易得進(jìn)一步由引理2，如果F一階隨機(jī)占優(yōu)于F'，則F必雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)于F'，故組合F'是不在雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)有效前沿上。（2）下一步證明均值方差有效前沿內(nèi)的組合（如圖1中的組合G和組合F），相互之間不存在雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)的關(guān)系，即G與F不成立。其一，如果假設(shè)F由定理一，則必有[G（t）-F（t）]dt≤0成立，通過(guò)分布積分便可得組合F的期望收益小于組合G的期望收益，但由圖1可知組合F的期望收益是大于組合G的期望收益，所以F的假設(shè)不成立；其二，假設(shè)G，由圖1有μF≥μG，σF≥σG，所以根據(jù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的特征，如圖2所示分布函數(shù)G必然從下往上穿過(guò)分布函數(shù)F。因此對(duì)任意的x滿足x≤x0，均無(wú)法保證[F（t）-G（t）]dt≥0，成立，故G的假設(shè)不成立。因此，雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)的有效組合也是均值方差組合。

圖1 有效前沿

以上定理的結(jié)論說(shuō)明均值方差準(zhǔn)則與雙拐點(diǎn)占優(yōu)準(zhǔn)則盡管理論框架存在巨大分歧，但是兩者在進(jìn)行投資決策時(shí)卻產(chǎn)生了完全一致的選擇結(jié)果。這一結(jié)論與Levy（2004）研究的預(yù)期隨機(jī)占優(yōu)與均值方差準(zhǔn)則的關(guān)系時(shí)的結(jié)論不同，Levy（2004）證明了在與本文相同的三個(gè)基礎(chǔ)假設(shè)條件下，預(yù)期隨機(jī)占優(yōu)有效組合是均值方差有效組合的子集。Levy的結(jié)論說(shuō)明使用預(yù)期理論進(jìn)行決策的投資者所選擇的有效組合集小于傳統(tǒng)金融學(xué)得到的有效組合集合。而本文的結(jié)論補(bǔ)齊了Levy（2004）的有效前沿，認(rèn)為盡管傳統(tǒng)金融學(xué)與行為金融學(xué)存在眾多的分歧，但在有效組合構(gòu)造上卻依然一致。

定理七：如果投資者對(duì)收益的概率分布進(jìn)行主觀調(diào)整，假設(shè)概率扭曲函數(shù)T（.）是單調(diào)非減函數(shù)，那么雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)有效組合集是均值方差有效前沿的子集。

證明：與定理一的證明相似，只須證明均值方差有效前沿下方的任意組合（見(jiàn)圖2）都不是雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)有效的，之前已經(jīng)證明（圖1）中的因?yàn)榕で瘮?shù)T（.）是單調(diào)遞增的，由引理3可知，進(jìn)一步根據(jù)引理2可得T（F）·TPSDT（F'）。所以均值方差有效前沿下方的任意組合都不是雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)有效的，從而雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)有效前沿組合必定在均值有效前沿組合內(nèi)部。

五、結(jié)論

實(shí)證調(diào)查發(fā)現(xiàn)雙拐點(diǎn)預(yù)期理論相比預(yù)期理論更加符合人們的真實(shí)心理感受，因此本文基于雙拐點(diǎn)預(yù)期理論展開(kāi)研究，首先將隨機(jī)占優(yōu)的思想引入行為金融學(xué)的研究，給出了雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)的定義，并使用收益率的分布函數(shù)給出了判斷雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)的方法。運(yùn)用雙拐點(diǎn)隨機(jī)占優(yōu)方法，本文比較了雙拐點(diǎn)預(yù)期理論與傳統(tǒng)金融理論在資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題上的異同。從資產(chǎn)組合選擇問(wèn)題上，雙拐點(diǎn)預(yù)期理論保持了與均值方差理論的一致性，這一結(jié)論也說(shuō)明為何在行為金融盛行的時(shí)代，均值方差理論等傳統(tǒng)金融學(xué)研究結(jié)論依然受到學(xué)術(shù)界和業(yè)界的青睞。本文的結(jié)論也說(shuō)明即使行為金融學(xué)與傳統(tǒng)金融學(xué)在基礎(chǔ)框架及研究方法上存在著很大的分歧，但兩者卻非完全對(duì)立。

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