柳維芳

（廈門大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，福建廈門361005）

一、研究背景

2002年諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎授予了預(yù)期理論的創(chuàng)始人之一Kahneman先生，其與Tversky提出的預(yù)期理論開辟了行為金融研究的先河。然而預(yù)期理論雖已獲得了學(xué)術(shù)界的充分肯定，但其理論本身仍然存在著一些瑕疵。其中最受質(zhì)疑的就是在期望效用理論中滿足一階隨機占優(yōu)關(guān)系的兩個分布在預(yù)期理論中并不一定仍然滿足一階隨機占優(yōu)?；陬A(yù)期理論存在的不足，學(xué)者們在后續(xù)研究中提出各種模型對預(yù)期理論進行修正。如Tversky和Kahneman（1992）的累積預(yù)期理論（Cumulative prospect theory），很好地解決了原始的預(yù)期理論無法解釋一階隨機占優(yōu)的缺陷,并將預(yù)期理論擴展到具有連續(xù)分布的賭局。隨后，Schmidt et al.（2008）在預(yù)期理論框架下，借鑒Sugden（2003）參考點依賴的主觀期望效用理論，構(gòu)造了不確定參考點的預(yù)期理論，并將之稱為第三代預(yù)期理論。

經(jīng)過大量的信息學(xué)及問卷調(diào)查，學(xué)界發(fā)現(xiàn)預(yù)期理論的價值函數(shù)存在許多與人們的真實行為相悖的現(xiàn)象。例如在預(yù)期理論提出人們在面臨損失時存在損失厭惡的特征，在面臨損失時投資者往往會存在賭一把的心理，因此在損失區(qū)間投資者的價值函數(shù)是凸函數(shù)?；诖思僭O(shè)，在預(yù)期理論框架下，投資者的邊際效用在個人財富值為0附近會隨著個人財富的減少而下降，該特征與大量的行為研究及投資者的真實感受存在著較大的偏差。Gomes（2005）指出由于極端的損失可能會導(dǎo)致投資者面臨破產(chǎn)的風(fēng)險，在財富的損失足夠大為避免破產(chǎn)等極端事件的發(fā)生投資者并不會表現(xiàn)得過于偏好風(fēng)險，基于此點假設(shè)Gomes（2005）對預(yù)期理論的價值函數(shù)進行了修改，提出了雙拐點價值函數(shù)。Gomes（2005）的基本思想實際上與我國諺語中所提到的留得青山在，不怕沒柴燒相近。江一濤（2010）采用問卷調(diào)查的方式對Gomes（2005）提出的價值函數(shù)進行論證，作者首先提出1992年Kahneman和Tversky在論證預(yù)期理論合理性的調(diào)查問卷中所投資者可能面臨的最大損失只有400美元，最大損失水平僅僅是被調(diào)查者個人財富水平的一個較小的部分。作者設(shè)計了新的調(diào)查問卷用于進一步分析投資者在面臨過度損失時的行為特征，問卷調(diào)查的結(jié)論為Gomes（2005）提出的雙拐點價值函數(shù)提供了實證方面的證據(jù)，在此基礎(chǔ)上作者提出了新一代的預(yù)期理論—雙拐點預(yù)期理論（Modify prospect theory以下簡稱MPT）。

為了將傳統(tǒng)金融學(xué)中的分析方法推廣到行為金融學(xué)研究中，本文以隨機占優(yōu)（Stochastic Dominance）準(zhǔn)則為出發(fā)點展開論述，隨機占優(yōu)理論最早是由Hadar和Russell（1969）提出的，隨后Hanoch和Levy等人對該理論進行了梳理和總結(jié)，隨機占優(yōu)理論是以期望效用理論為基礎(chǔ)的經(jīng)濟學(xué)框架建立起來的，用于研究具有相似價值函數(shù)特征的投資者的決策行為的分析方法，由于該方法適用于群體投資行為的分析而被廣泛應(yīng)用于投資者資產(chǎn)選擇問題，風(fēng)險管理問題的研究。盡管行為金融學(xué)能更好的描述人們的決策行為，但其理論架構(gòu)能存在缺陷，理論本身尚未建立起完整的理論體系，在分析方法上存在許多主觀的成分，仍有許多無法用模型進行量化的地方。在Kahenman和Tversky之后，許多行為金融學(xué)的支持者開始致力于行為金融框架下分析方法和資產(chǎn)組合選擇問題的研究，其中具有代表意義的是Levy和Wiener（1998）提出的預(yù)期理論框架下的隨機占優(yōu)準(zhǔn)則-PSD（Prospect stochastic dominance）準(zhǔn)則，該理論的重要性在于其提出了行為金融框架下群體行為的分析方法，為進一步研究投資者組合選擇問題提供了更為科學(xué)的分析工具。在Levy和Wiener（1998）工作的基礎(chǔ)上，Haim Levy和Moshe Levy（2004）研究了預(yù)期理論框架下投資者的資產(chǎn)組合選擇問題，通過比較作者發(fā)現(xiàn)在預(yù)期前景理論框架下投資者的有效前沿為Markowize（1952）提出的均值方差有效前沿的子集。該結(jié)論的提出為傳統(tǒng)金融學(xué)和行為金融學(xué)之間的聯(lián)系搭起了橋梁，為均值方差理論的合理性提供了行為金融方面的證據(jù)。

本文立足于雙拐點預(yù)期理論的研究框架，提出了基于雙拐點預(yù)期理論的隨機占優(yōu)準(zhǔn)則，進一步，推廣了該隨機占優(yōu)準(zhǔn)則用資產(chǎn)收益率的分布函數(shù)表示的等價形式。在此基礎(chǔ)上，我們運用新的隨機占優(yōu)準(zhǔn)則對資產(chǎn)組合選擇問題進行了研究，并比較了該準(zhǔn)則下的有效組合與均值方差有效組合。本文得到了如下兩個結(jié)論：（1）如果投資者在決策時不對收益率的概率分布進行變換，雙拐點隨機占優(yōu)準(zhǔn)則下的投資者組合有效前沿等同于均值方差有效前沿；（2）如果投資者在決策時不對收益率的概率分布進行變換，雙拐點隨機占優(yōu)準(zhǔn)則下的投資者組合有效前沿是均值方差組合的子集。這兩個結(jié)論說明，盡管均值方差理論產(chǎn)生于傳統(tǒng)金融學(xué)框架，但該理論在行為金融學(xué)框架下依然能延續(xù)原有的合理性。

二、雙拐點預(yù)期理論與隨機占優(yōu)

（一）雙拐點預(yù)期理論①江一濤：《預(yù)期理論的修正及投資者行為研究》，廈門大學(xué)博士學(xué)位論文，2011年。

江一濤（2010）提出了雙拐點預(yù)期理論，在該理論中投資者的價值函數(shù)具體表現(xiàn)形式如下：

X為投資者的初始稟賦的大小，Z為判斷投資損益的平衡點，用于區(qū)分是否投資產(chǎn)生了極端損失的參考點，即當(dāng)W0≤W＜Z表示投資產(chǎn)生了相對較小的損失，當(dāng)W＜W0表示投資產(chǎn)生的損失較大。顯然在W0附近投資者的風(fēng)險態(tài)度發(fā)生了變化，在該參考點左邊投資者是風(fēng)險偏好的，在該參考點右邊投資者是風(fēng)險厭惡的。雙拐點預(yù)期理論對預(yù)期理論的修正使之更加符合人們的直觀感受。從雙拐點預(yù)期理論的價值函數(shù)來看，它比預(yù)期理論更適合于描述公司管理人員作出并購重組、重大項目投資等重大決策時的行為。因為一旦決策失誤往往給公司帶來巨額虧損，這是管理人員所不想見到的，因此，當(dāng)面臨可能帶來的巨額虧損時管理人員往往會表現(xiàn)出風(fēng)險厭惡的特性。

（二）隨機占優(yōu)準(zhǔn)則（stochastic dom inance）②柳維芳、張順明、李江峰：《修正前景理論與均值方差分析》，Proceedings of 2011 International Conference on Management Science and Engineering，2011年第3期。

隨機占優(yōu)準(zhǔn)則是用于判斷具有相同特征的價值函數(shù)的投資者一致行為的決策的準(zhǔn)則，如，一階隨機占優(yōu)便是用來表示具有單調(diào)遞增價值函數(shù)的投資者在判斷任意兩項投資時的一致準(zhǔn)則，對于任意兩個投資組合，其累積分布函數(shù)用F和G表示，函數(shù)集合U1為所有滿足非飽和性的價值函數(shù)組成的集合（即集合中的任意函數(shù)滿足單調(diào)遞增的性質(zhì)），如果U1中的任意一個價值函數(shù)u（.），都有EF（u）≥EG（u），則稱F一階隨機占優(yōu)于G，一般表示為F·1G。通過以上的定義我們可以看出如果F·1G，所有具有單調(diào)遞增的價值函數(shù)的投資者都會一致偏好于組合F。Fishburn（1964）同時還給出了一階隨機占優(yōu)的等價形式F·1G，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的x，E（x）≤G（x），且存在某個x使上述不等式嚴(yán)格成立。類似的Hadar和Russell（1969）在非減的風(fēng)險厭惡的價值函數(shù)集合上定義了二階隨機占優(yōu)的概念，并同時給出了二階隨機占用收益率的分布函數(shù)表示的等價形式。Levy和Wiener（1998）將隨機占優(yōu)方法引入行為金融領(lǐng)域，提出了滿足預(yù)期理論價值函數(shù)特征的新型隨機占優(yōu)方法，并命名為預(yù)期隨機占優(yōu)理論（Prospect Stochastic Dominance），作者同時給出了預(yù)期隨機占優(yōu)用分布函數(shù)表示的等價形式。對于以上各類隨機占優(yōu)的定義及等價形式的證明可以參見Fishburn（1964），Hadar和Russell（1969），Levy和Wiener（1998）。

三、雙拐點預(yù)期理論下的隨機占優(yōu)準(zhǔn)則（TPSD）

根據(jù)傳統(tǒng)隨機占優(yōu)準(zhǔn)則的定義方法，不同的隨機占優(yōu)代表著具有不同函數(shù)特征的價值函數(shù)組成的集合上的一致選擇行為。因此，本文也將沿用傳統(tǒng)隨機占優(yōu)的思想來進行隨機占優(yōu)的定義。

假設(shè)函數(shù)集合UMP由所有滿足如下兩個條件的函數(shù)組合：（1）對任意的Z≠0，有U'（Z）>0；（2）當(dāng)Z>0時，U''（Z）≤0，當(dāng)x0≤Z<0時，U''（Z）≥0，當(dāng)Z

由上可知，UMP是由雙拐點預(yù)期理論框架下的雙拐點價值函數(shù)組成的集合，具有UMP中價值函數(shù)的投資者的風(fēng)險態(tài)度分別在收益損失基準(zhǔn)點0及極端損失基準(zhǔn)點x0處發(fā)生改變。通過研究具有雙拐點價值函數(shù)的投資者的選擇行為，我們就可以定義雙拐點預(yù)期理論下的隨機占優(yōu)準(zhǔn)則。

定義一：分別用X和Y表示兩個投資組合，這兩個組合的收益率的分布函數(shù)分別用F（.）和G（.）表示。如果對于所有價值函數(shù)u∈UMP，即任意具有雙拐點特征價值函數(shù)的投資者有E[u（X）]≥E[u（Y）]，則稱投資X在雙拐點預(yù)期理論準(zhǔn)則下隨機占優(yōu)于Y，用符號表示為Y或者F（.）

定義一給出了雙拐點預(yù)期理論的基本定義，為了給出更為直觀的定義，有必要推廣用分布函數(shù)表示的雙拐點隨機占優(yōu)。

本處的證明可借鑒隨機占優(yōu)的經(jīng)典證明方法，受篇幅限制本文不進行詳細(xì)論述。

定理一將雙拐點隨機占優(yōu)歸納為比較投資組合間分布函數(shù)的兩個性質(zhì)，從定理一也可以看出雙拐點隨機占優(yōu)只需投資者的價值函數(shù)具有雙拐點函數(shù)的特征，與投資者價值函數(shù)的具體函數(shù)形式無關(guān)。

預(yù)期理論除了提出S形價值函數(shù)的概念，其與期望效用理論的另一個區(qū)別是提出了概率扭曲的概念。預(yù)期理論認(rèn)為投資者在作出決策時會對客觀概率進行主觀扭曲，而不會直接使用客觀概率進行評估。定理一只考慮了無概率扭曲情況下投資者的TPSD準(zhǔn)則，定理二將會推廣存在概率扭曲的TPSD準(zhǔn)則。

定理二：用T（.）表示投資者的主觀概率權(quán)重函數(shù)，用X和Y表示兩個投資組合，這兩個組合的收益率的分布函數(shù)分別用F（.）和G（.）表示，X當(dāng)且僅當(dāng)如下兩個條件成立：（1）對任意x1≤x0，有[T（G（t））-T（F（t））]dt≥0；（2）對任意x0≤x2≤0≤x3，有[T（G（t））-T（F（t））]dt≥0。

四、雙拐點預(yù)期理論下的資產(chǎn)組合選擇問題

自Markowize（1952）提出均值方差理論后，資產(chǎn)組合選擇問題便成為金融研究的核心領(lǐng)域，本節(jié)將在雙拐點預(yù)期理論框架下展開資產(chǎn)組合選擇問題的討論，運用上一節(jié)提到的雙拐點隨機占優(yōu)的思想來研究投資者的有效組合，將該有效前沿與均值方差有效前沿進行比較。依賴于如下三個基本假設(shè)：（1）經(jīng)濟中資產(chǎn)收益率的分布函數(shù)為對數(shù)正態(tài)分布；（2）市場滿足完美市場的所有特征；（3）市場中任意資產(chǎn)都是線性無關(guān)的。

定義（雙拐點隨機占優(yōu)有效）：對于組合X，如果任何一個具有雙拐點價值函數(shù)的投資者都無法找到組合Y，使X成立，則稱X為雙拐點隨機占優(yōu)有效。

定理三：當(dāng)任意兩個投資組合X和Y的收益率服從對數(shù)正態(tài)分布，且兩者的收益率的方差相同，那么當(dāng)且僅當(dāng)μX≥μY，即在這種情況下一階隨機占優(yōu)等價于均值方差準(zhǔn)則。

定理五：如果投資者的主觀概率扭曲函數(shù)T（.）是非減的，那么當(dāng)且僅當(dāng)T（F）利用以上三個引理，我們來討論雙拐點預(yù)期理論下的投資者有效組合構(gòu)建問題。

定理六：在本節(jié)的三個基礎(chǔ)假設(shè)下，在不考慮投資者對資產(chǎn)收益率的客觀概率分布進行扭曲時，雙拐點隨機占優(yōu)有效前沿與均值方差有效組合完全一致。

證明：（1）我們只需要證明，如果一個投資組合不在均值方差有效前沿上（見圖1），那么該組合也是無效的雙拐點隨機占優(yōu)組合。如圖1，顯然任何一個非均值方差有效組合（如組合F'），在均值方差有效前沿上都可以找到一個與其方差相同但期望收益更大的投資組合F，根據(jù)引理1易得進一步由引理2，如果F一階隨機占優(yōu)于F'，則F必雙拐點隨機占優(yōu)于F'，故組合F'是不在雙拐點隨機占優(yōu)有效前沿上。（2）下一步證明均值方差有效前沿內(nèi)的組合（如圖1中的組合G和組合F），相互之間不存在雙拐點隨機占優(yōu)的關(guān)系，即G與F不成立。其一，如果假設(shè)F由定理一，則必有[G（t）-F（t）]dt≤0成立，通過分布積分便可得組合F的期望收益小于組合G的期望收益，但由圖1可知組合F的期望收益是大于組合G的期望收益，所以F的假設(shè)不成立；其二，假設(shè)G，由圖1有μF≥μG，σF≥σG，所以根據(jù)對數(shù)正態(tài)分布函數(shù)的特征，如圖2所示分布函數(shù)G必然從下往上穿過分布函數(shù)F。因此對任意的x滿足x≤x0，均無法保證[F（t）-G（t）]dt≥0，成立，故G的假設(shè)不成立。因此，雙拐點隨機占優(yōu)的有效組合也是均值方差組合。

圖1 有效前沿

以上定理的結(jié)論說明均值方差準(zhǔn)則與雙拐點占優(yōu)準(zhǔn)則盡管理論框架存在巨大分歧，但是兩者在進行投資決策時卻產(chǎn)生了完全一致的選擇結(jié)果。這一結(jié)論與Levy（2004）研究的預(yù)期隨機占優(yōu)與均值方差準(zhǔn)則的關(guān)系時的結(jié)論不同，Levy（2004）證明了在與本文相同的三個基礎(chǔ)假設(shè)條件下，預(yù)期隨機占優(yōu)有效組合是均值方差有效組合的子集。Levy的結(jié)論說明使用預(yù)期理論進行決策的投資者所選擇的有效組合集小于傳統(tǒng)金融學(xué)得到的有效組合集合。而本文的結(jié)論補齊了Levy（2004）的有效前沿，認(rèn)為盡管傳統(tǒng)金融學(xué)與行為金融學(xué)存在眾多的分歧，但在有效組合構(gòu)造上卻依然一致。

定理七：如果投資者對收益的概率分布進行主觀調(diào)整，假設(shè)概率扭曲函數(shù)T（.）是單調(diào)非減函數(shù)，那么雙拐點隨機占優(yōu)有效組合集是均值方差有效前沿的子集。

證明：與定理一的證明相似，只須證明均值方差有效前沿下方的任意組合（見圖2）都不是雙拐點隨機占優(yōu)有效的，之前已經(jīng)證明（圖1）中的因為扭曲函數(shù)T（.）是單調(diào)遞增的，由引理3可知，進一步根據(jù)引理2可得T（F）·TPSDT（F'）。所以均值方差有效前沿下方的任意組合都不是雙拐點隨機占優(yōu)有效的，從而雙拐點隨機占優(yōu)有效前沿組合必定在均值有效前沿組合內(nèi)部。

五、結(jié)論

實證調(diào)查發(fā)現(xiàn)雙拐點預(yù)期理論相比預(yù)期理論更加符合人們的真實心理感受，因此本文基于雙拐點預(yù)期理論展開研究，首先將隨機占優(yōu)的思想引入行為金融學(xué)的研究，給出了雙拐點隨機占優(yōu)的定義，并使用收益率的分布函數(shù)給出了判斷雙拐點隨機占優(yōu)的方法。運用雙拐點隨機占優(yōu)方法，本文比較了雙拐點預(yù)期理論與傳統(tǒng)金融理論在資產(chǎn)組合選擇問題上的異同。從資產(chǎn)組合選擇問題上，雙拐點預(yù)期理論保持了與均值方差理論的一致性，這一結(jié)論也說明為何在行為金融盛行的時代，均值方差理論等傳統(tǒng)金融學(xué)研究結(jié)論依然受到學(xué)術(shù)界和業(yè)界的青睞。本文的結(jié)論也說明即使行為金融學(xué)與傳統(tǒng)金融學(xué)在基礎(chǔ)框架及研究方法上存在著很大的分歧，但兩者卻非完全對立。

[1]Amos Tversky，Daniel Kahneman.Advances in prospect theory：Cumulative representation of uncertainty[J].Journal of Risk and Uncertainty，1992（5）：297-323.

[2]Arjan Berkelaar，Roy Kouwenberg，and Thierry Post，Optimal portfolio choice under loss aversion[J].Review of Economics and Statistics，2004，86（4）：973-987.

[3]Edwards K.D.Prospect Theory：A Literature Review[J].International Review of Financial Analysis，1996（5）：18-38.

[4]張曉，樊治平.一種基于隨機占優(yōu)準(zhǔn)則的多指標(biāo)多標(biāo)度大群體決策方法[J].系統(tǒng)工程，2010（2）.

[5]Francisco J.Gomes，Portfolio choice and trading volume with lossaverse investors[J].Journal of Business，2005，78（2）：675-706.

[6]李昊.基于概率權(quán)重函數(shù)和隨機占優(yōu)準(zhǔn)則的開放式基金評級[J].中國管理科學(xué)，2013（1）.

[7]Haim Levy，Moshe Levy.Prospect theory and mean-variance analysis[J].Review of Financial Studies，2004，17（4）：1015-1041.

[8]Harry Markowitz.The utility of wealth[J].The Journal of Political Economy，1952，60（2）：151-158.

[9]李琦.資產(chǎn)配置在我國基金投資中的應(yīng)用研究[D].東北財經(jīng)大學(xué)碩士學(xué)位論文，2007.