曾凡光，吳光敏，MAI John D，陳劍鳴*

(1.昆明理工大學(xué)理學(xué)院，昆明650500;2.香港城市大學(xué) 機(jī)械與生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)系，香港)

引 言

作為干涉合成孔徑雷達(dá)、光學(xué)干涉、核磁共振圖像及新興的光學(xué)非接觸3維測(cè)量重建的關(guān)鍵步驟，2維相位解纏得到了迅速的發(fā)展和廣泛的應(yīng)用［1-2］。如果僅僅是將1維相位解纏的簡(jiǎn)單推廣，2維相位解纏往往得不到滿意的結(jié)果，因?yàn)橄辔唤饫p的結(jié)果往往與1維分割的取向、信噪比和2維采樣率有著密切的關(guān)系［3］。在很多情況下，解纏誤差會(huì)沿著水平或垂直的方向傳遞。因此，相位解纏的難點(diǎn)就在于如何能很好地消除誤差對(duì)相位解纏的影響，來(lái)獲取精確的解纏相位［4］。

目前常用相位解纏的方法可以主要?dú)w結(jié)為3類:(1)基于路徑積分的相位解纏［5］;(2)基于最小范數(shù)的相位解纏［6］;(3)基于網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃的相位解纏算法［7］。噪聲或間斷相位在纏繞相位中較為常見(jiàn)，不同的解纏算法對(duì)于噪聲或間斷相位引起的殘差處理也不盡相同，主要包括:(1)找出優(yōu)化的積分路徑，避開(kāi)殘差點(diǎn)造成的誤差傳遞［1］;(2)基于纏繞相位計(jì)算解纏相位的相位梯度估算值，將殘差點(diǎn)造成的誤差進(jìn)行平差處理［6］;(3)對(duì)殘差點(diǎn)不進(jìn)行任何處理，在解纏結(jié)果中予以保留［7］;Goldstein枝切法采用第1種方式處理，找出優(yōu)化的積分路徑［4］，通過(guò)建立合理的枝切線，隔絕噪聲區(qū)，阻止相位殘差點(diǎn)所造成的積分誤差在整幅圖像中的傳遞。

Goldstein枝切法是在殘差點(diǎn)電荷平衡的條件下用枝切線將附近的殘差點(diǎn)連接起來(lái)，或者把極性相反的殘差對(duì)連接在一起，或者將多個(gè)殘差點(diǎn)對(duì)組成的集合用枝切線連接起來(lái)［4］。通常殘差點(diǎn)與圖像邊界的連線也可以使殘差點(diǎn)達(dá)到極性平衡。Goldstein枝切線的連線策略是盡量使得枝切線最短［3］。Goldstein枝切法作為典型的路徑積分法，受間斷相位影響很大［3］。與此同時(shí)，殘差點(diǎn)的分布與枝切線的建立也有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。目前來(lái)看這類文獻(xiàn)較少見(jiàn)到。本文中對(duì)這一問(wèn)題展開(kāi)專門(mén)的探討和研究，通過(guò)模擬間斷相位代替真實(shí)數(shù)據(jù)的相位跳變或缺失等問(wèn)題，通過(guò)3組實(shí)驗(yàn)來(lái)研究不同的相位間斷形式(包括單間斷、雙間斷以及交叉雙間斷相位3種情況)對(duì)于解纏的影響。此外，還研究了枝切線搜索窗口半徑的對(duì)解纏的影響，驗(yàn)證了存在“有效枝切線搜索窗口半徑”的結(jié)論。

1 Goldstein枝切法相位解纏原理

從數(shù)學(xué)角度而言，解纏的目的就是要正確地將相位重建起來(lái)。1維相位解纏以一個(gè)周期內(nèi)數(shù)據(jù)的連續(xù)性為前提條件的，沿著某一個(gè)方向上計(jì)算而進(jìn)行的。通常干涉雷達(dá)圖像數(shù)據(jù)是2維數(shù)據(jù)，通過(guò)兩幅復(fù)數(shù)圖像的配準(zhǔn)計(jì)算出每一像素點(diǎn)上的干涉相位差。2維相位是對(duì)1維相位的擴(kuò)展［8］。

給定一個(gè)2維相位矩陣φi，j，為了對(duì)該相位矩陣進(jìn)行解纏，需要對(duì)每個(gè)點(diǎn)(i，j)加上或減去2π的整數(shù)倍值，從而得到一個(gè)連續(xù)的函數(shù) φi，j，k為整數(shù)矩陣:

圖1a中給出了1維纏繞相位，其中橫坐標(biāo)代表它的像素序列長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)代表的是纏繞相位值，圖1b中是圖1a的解纏結(jié)果值。

圖2a中給出了2維纏繞相位，其中橫和縱坐標(biāo)代表它的像素長(zhǎng)度，豎直z坐標(biāo)代表的是纏繞相位值，圖2b中是圖2a的解纏結(jié)果值。

Fig.1 a—1-D wrapped phase b—1-D unwrapped phase

Fig.2 a—2-D wrapped phase b—2-D unwrapped phase

1.1 殘差點(diǎn)

實(shí)際的干涉相位數(shù)據(jù)由于噪聲和不連續(xù)點(diǎn)的影響，會(huì)出現(xiàn)不同路徑積分的結(jié)果［9-10］。為了描述有旋分量對(duì)相位解纏的影響，引入不連續(xù)點(diǎn)或殘差點(diǎn)的概念。在一幅原始纏繞數(shù)據(jù)中，定義一個(gè)2×2的窗口，以一個(gè)固定的方向，可以是順時(shí)針或者逆時(shí)針?lè)较?，利用下面的式子?jì)算相鄰像素點(diǎn)之間的差值。其中q表示的4條邊的像素差值和，Δ表示2×2窗口內(nèi)的每條邊的像素差值，W表示纏繞操作，φW表示原始纏繞相位矩陣，i和j分別為行和列值。當(dāng)某一邊的差值超過(guò)范圍(－π，π)時(shí)，通過(guò)加減一個(gè)2π來(lái)處理，使得每條邊的差值范圍都保留在2π內(nèi)，最后得到的值再除以2π。

若q=0，則定義窗口內(nèi)最左上角的點(diǎn)(i，j)上的路徑為一致性路徑，否則就是不一致性路徑，且這個(gè)點(diǎn)(i，j)稱為殘差點(diǎn)。若q＞0，表示正殘差點(diǎn);若q＜0，表示負(fù)殘差點(diǎn)。移動(dòng)2×2窗口，直到找出整幅相位圖像的殘差點(diǎn)。

1.2 分支截?cái)嗬碚?/h3>

分支截?cái)嗬碚摰牡湫痛砭褪荊oldstein枝切法，圖3是Goldstein枝切法的流程圖。通過(guò)計(jì)算相位圖像的殘差點(diǎn)，根據(jù)殘差點(diǎn)標(biāo)注的極性建立枝切線隔離區(qū)，最后通過(guò)建立的枝切線，在已知一個(gè)解纏相位點(diǎn)的情況下，標(biāo)注出它的4個(gè)領(lǐng)域像素點(diǎn)［11］。通過(guò)建立的枝切線尋找最優(yōu)積分路徑，避開(kāi)殘差點(diǎn)所引起的誤差傳遞。如果是在枝切線外，則利用已知的解纏相位點(diǎn)進(jìn)行解纏繞，枝切線上的點(diǎn)留到最后進(jìn)行解纏，這種積分方法也俗稱洪水淹沒(méi)法［12］。

Fig.3 Flow chart of the Goldstein branch-cut algorithm

Goldstein枝切法的關(guān)鍵在于建立合理的枝切線，一條好的枝切線可以有效地阻斷相位殘差點(diǎn)所造成的解纏誤差傳遞［4-5］。根據(jù)殘差點(diǎn)的分布通?？梢杂^察判斷枝切線的放置是否有錯(cuò)誤或存在被孤立的區(qū)域，而建立合理的枝切線又與枝切線內(nèi)的搜索半徑窗口有密切的關(guān)系。在枝切線搜索半徑窗口設(shè)置過(guò)小，它不能窮盡搜索到所有的殘差點(diǎn)分布;枝切線搜索半徑窗口設(shè)置過(guò)大，又有可能導(dǎo)致連接到圖像的邊界，造成封閉的“孤島”區(qū)域。

在如圖4a所示的6個(gè)殘差點(diǎn)中，黑色圓點(diǎn)表示負(fù)極性殘差點(diǎn)，白色圓圈表示正極性殘差點(diǎn)。圖4b所示枝切線搜索半徑窗口設(shè)置不合適，使得極性不平衡的殘差點(diǎn)連接到圖像的邊界處，導(dǎo)致錯(cuò)誤的枝切線。當(dāng)建立圖4b中的枝切線時(shí)，在兩條枝切線半徑之間，其殘差點(diǎn)誤差并沒(méi)有完全隔離，當(dāng)解纏穿越兩條枝切線之間，會(huì)導(dǎo)致相位跳躍的情況。圖4c中給出了正確的枝切線連接，這條枝切連線由于涵蓋了圖像中所有殘差點(diǎn)，并且極性達(dá)到了平衡，有效地規(guī)避了殘差點(diǎn)對(duì)解纏的影響。

Fig.4 Branch-cut setting

2 間斷相位與枝切線搜索半徑的關(guān)系

為了對(duì)解纏結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，采用人工模擬的高斯模型作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，將解纏相位與真實(shí)人工相位的差值作為直觀的體現(xiàn)，并引入了反纏繞相位均方差進(jìn)行綜合評(píng)判。

（1）嚴(yán)格區(qū)分煤礦關(guān)閉和企業(yè)破產(chǎn)。煤礦關(guān)閉是行政行為，而企業(yè)破產(chǎn)是法律行為，二者政策大不相同。國(guó)內(nèi)煤礦關(guān)閉和企業(yè)破產(chǎn)之間沒(méi)有嚴(yán)格的區(qū)分，安置措施缺乏針對(duì)性。

反纏繞相位均方差是將相位進(jìn)行反纏繞［13］，把求得反纏繞相位和原始纏繞相位的均方差σ作為解纏精度評(píng)價(jià)的指標(biāo)之一，其中σ為:

式中，φW為原始纏繞相位矩陣，ψW為解纏相位經(jīng)過(guò)再次纏繞計(jì)算得到的相位矩陣;M，N為圖像的行列數(shù)。該指標(biāo)實(shí)質(zhì)是評(píng)價(jià)解纏前后的主相位值的保持性。

2.1 單間斷相位情況

在模擬高斯模型數(shù)據(jù)時(shí)，原始人工圖的大小為512pixel×512pixel。人工切割只有單間斷相位缺陷，并考慮在不同切割高度和切割深度的情況下，枝切線搜索窗口半徑的變化關(guān)系。

在切割高度為50pixel，切割深度為80pixel的情況時(shí)，計(jì)算它的有效枝切線搜索窗口半徑，如圖5所示。圖5a中給出了單間斷相位缺陷的2維顯示，圖5b中給出了單間斷相位缺陷的3維顯示，圖5c中給出了單纏繞相位缺陷的灰度2維顯示。

Fig.5 Gaussian distribution models for the single phase discontinuity

Fig.6 Goldstein branch-cut unwrapped result of the single phase discontinuity

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)枝切線搜索窗口半徑處于65pixel～174pixel之間的任意一處值時(shí)，可以得到精確的解纏結(jié)果。圖6a是殘差點(diǎn)分布圖，圖6b是枝切線連線圖，圖6c是解纏相位的2維顯示圖，圖6d是解纏相位的3維灰度顯示圖，圖6e是反纏繞均方差曲線圖。其中橫坐標(biāo)表示的窗口半徑是枝切連線中尋找殘差點(diǎn)平衡時(shí)的窗口的半徑大小。從以上結(jié)果可以直觀看出，Goldstein枝切法能正確建立枝切線，獲得正確的解纏相位。從解纏相位與真實(shí)相位的差值圖也可以看出，在大部分區(qū)域中的解纏誤差為0。而在圖像的邊緣，由于只存在三領(lǐng)域，故在解纏時(shí)都被賦值為0，不參與解纏過(guò)程。在均方差與枝切線半徑的曲線圖(見(jiàn)圖6e)中，橫坐標(biāo)表示枝切線搜索窗口的半徑大小，縱坐標(biāo)表示反纏繞相位均方差的值。從圖6e中可以清楚地看出，在枝切線半徑范圍為65pixel～174pixel時(shí)，反纏繞相位均方差的值為0.1621。在枝切線搜索窗口半徑大于174pixel時(shí)，反纏繞相位均方差的值跳躍為0.5714。注意到在半徑小于65pixel時(shí)，反纏繞相位均方差的值仍然為0.1621，這主要與解纏結(jié)果有關(guān)。在枝切線半徑小于65pixel時(shí)，在間斷相位處，解纏結(jié)果有2π相位值的跳躍變化，而在計(jì)算反纏繞相位均方差值時(shí)，需要將解纏相位重新纏繞后再進(jìn)行計(jì)算，因此這里的2π相位值的跳躍變化不影響總體的反纏繞相位均方差值。

對(duì)于不同的切割高度和切割深度，有效枝切線搜索半徑大小范圍有所變化，在切割高度為40pixel，切割深度為40pixel時(shí)，枝切線搜索半徑窗口設(shè)置在73pixel～148pixel之間時(shí)，能夠得到正確的解纏相位。通過(guò)不同大小的切口計(jì)算得到的規(guī)律為:切口越大，能夠解纏的有效搜索半徑的下限值就越大，而上限值由枝切線是否與邊界接觸確定。當(dāng)枝切線連接到圖像的邊界，如果此時(shí)沒(méi)有搜索完所有的殘差點(diǎn)，遺留下未搜索的殘差點(diǎn)容易引起解纏誤差。如果已經(jīng)搜索完所有的殘差點(diǎn)，而此時(shí)連接到圖像邊界的枝切線如果沒(méi)有形成一個(gè)不可解纏的“孤島區(qū)域”，此時(shí)仍可以得到正確解纏。如果形成了一段封閉的“孤島”區(qū)域，此時(shí)解纏依然會(huì)有誤差。

2.2 雙間斷相位情況

首先討論有兩處不相交的切割間斷相位的情況。在兩處切割高度分別為60pixel和50pixel，切割深度都為80pixel時(shí)，如圖7所示。圖7a是兩處間斷相位缺陷的2維顯示，圖7b是兩處間斷相位缺陷的3維顯示，圖7c是纏繞兩處相位缺陷的灰度2維顯示。由于兩處切割的距離為160pixel，故這里的枝切線半徑窗口上限設(shè)置為160pixel。當(dāng)超過(guò)160pixel時(shí)，枝切線搜索窗口容易連接到另一處間斷相位的殘差點(diǎn)，形成局部不可解纏的“孤島”區(qū)域。由前面計(jì)算得知，在切割高度為50pixel時(shí)，它的有效枝切線搜索半徑為65pixel～174pixel。在切割高度為60pixel，切割深度為80pixel時(shí)，有效枝切線搜索半徑不小于89pixel。由于搜索窗口的變化步長(zhǎng)一般為2pixel，為了方便確定搜索窗口內(nèi)中心殘差點(diǎn)坐標(biāo)，一般的搜索半徑窗口都是奇數(shù)，因此搜索半徑的最大值應(yīng)該為157pixel，由于158pixel的搜索窗口中心和157pixel是一樣的，故這里設(shè)置158pixel。

Fig.7 Gaussian distribution models for the two disjointed phase discontinuities

Fig.8 Goldstein branch-cut unwrapped result for two disjoint phase discontinuites

經(jīng)過(guò)實(shí)際計(jì)算可知在枝切線半徑處于89pixel～158pixel之間，對(duì)于兩處不相交的間斷相位能夠正確解纏，在枝切線搜索半徑處于這個(gè)范圍之外，解纏結(jié)果會(huì)有誤差。圖8a是殘差點(diǎn)分布圖，圖8b是枝切線連線圖，圖8c是解纏相位的2維顯示圖，圖8d是解纏相位的3維灰度顯示圖，其中橫縱坐標(biāo)表示像素點(diǎn)個(gè)數(shù)，豎直軸表示解纏相位值，圖8e是反纏繞均方差曲線圖，橫坐標(biāo)代表的是枝切線搜索窗口的半徑。從均方差與枝切線半徑的曲線圖(見(jiàn)圖8e)可以看出，在枝切線半徑大于158pixel時(shí)，它的反纏繞均方差顯著增大，而在有效枝切線半徑范圍內(nèi)，它的值固定在0.1621。

當(dāng)兩處不相交的間斷相位切割高度同為50pixel，切割深度同為80pixel時(shí)，它的有效枝切線搜索半徑范圍為65pixel～158pixel。這說(shuō)明在有兩處不相交的間斷相位時(shí)，如果事先知道每處間斷相位能夠正確解纏的枝切線范圍，并且已知兩處間斷相位的像素距離，便可計(jì)算在兩處單獨(dú)有效的枝切線搜索半徑的交集而獲得的枝切線的有效范圍。

如果兩處間斷相位發(fā)生了相交，解纏將會(huì)變得困難。圖9中給出了兩處間斷相位垂直相交的情況，圖9b中的橫縱坐標(biāo)表示相位像素點(diǎn)坐標(biāo)，豎直z軸表示的是它的真實(shí)相位值。解纏的結(jié)果如圖10所示。

Fig.9 Gaussian distribution models of the two intersecting phase discontinuities

Fig.10 Goldstein branch-cut unwrapped result for two intersecting phase discontinuities

圖10a是殘差點(diǎn)分布圖，圖10b是枝切線連線圖，圖10c是解纏相位的2維顯示圖，圖10d是解纏相位的3維灰度顯示圖，其橫縱坐標(biāo)表示像素點(diǎn)坐標(biāo)值，豎直z軸表示解纏相位值。從解纏相位與真實(shí)相位的誤差圖(見(jiàn)圖10e)中可以看出，解纏結(jié)果中存在一個(gè)明顯的三角形的誤差區(qū)域。在均方差曲線圖(見(jiàn)圖10f)中，橫坐標(biāo)代表枝切線搜索殘差點(diǎn)窗口的半徑大小，縱坐標(biāo)代表計(jì)算得到的反纏繞均方差值。由于誤差引起的均方差存在著起伏跳躍式變化，無(wú)論它們的切割高度和切割深度是否相同，兩處間斷處都含有分布較為緊密的殘差點(diǎn)。尤其在間斷相位相交處，非常容易形成不可解纏的“孤島”區(qū)域，使得總體解纏結(jié)果有誤差。枝切線搜索半徑設(shè)置過(guò)大，容易連接間斷相位處的所有殘差點(diǎn)，造成由多條枝切線形成的封閉區(qū)域。如果枝切線搜索半徑過(guò)小，容易造成殘差點(diǎn)的未完全隔離，導(dǎo)致解纏誤差的全局傳遞。從所討論的情況來(lái)看，很難找到一個(gè)合適的枝切線搜索半徑能夠建立合理的枝切線，隔離所有殘差點(diǎn)的誤差，避免誤差傳遞。

3 結(jié)論

(1)在單相位間斷缺陷和雙不交叉的相位間斷缺陷的情況下，Goldstein枝切法仍然具有較好的解纏效果。

(2)對(duì)于雙交叉相位間斷缺陷，Goldstein枝切法在這一局部區(qū)域無(wú)法得到正確的解纏結(jié)果。

(3)不同的間斷相位缺陷對(duì)應(yīng)著不同的有效枝切線半徑范圍。在雙不相交切割間斷相位的情況時(shí)，可以根據(jù)有效枝切線半徑的交集得到正確的解纏結(jié)果;而在雙相交切割間斷相位的情況時(shí)，Goldstein枝切法無(wú)法得到有效的枝切線半徑范圍，也就無(wú)法得到正確的解纏相位。由此可以得出，Goldstein枝切法解纏存在著有效枝切線半徑。當(dāng)枝切線搜索半徑處于有效范圍之外，解纏結(jié)果一般都存在誤差。

本文中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)于采用或聯(lián)合采用Goldstein枝切法進(jìn)行的相位解纏理論研究和應(yīng)用具有參考價(jià)值。

［1］ LI B，QIAN X F，LI X H，et al.Phase-unwrapping algorithm based on radial shearing principle［J］.Laser Technology，2013，37(1):44-47(in Chinese).

［2］ YANG F T，LUO J L，LIU Z Q，et al.Comparison of six phase unwrapping algorithms［J］.Laser Technology，2008，32(3):323-326(in Chinese).

［3］ GHIGLIA D C，PRITT M D.Two-dimensional phase unwrapping:theory，algorithms，and software［M］.New York，USA:Wiley，1998:103-121.

［4］ GOLDSTEIN R M，ZEBKER H A，WERNER C L.Satellite radar interferometry:two-dimensional phase unwrapping［J］.Radio Science，1988，23(4):713-720.

［5］ ITOH K.Analysis of the phase unwrapping algorithm［J］.Applied Optics，1982，21(14):2470-2470.

［6］ BONE D J.Fourier fringe analysis:the two-dimensional phase unwrapping problem［J］.Applied Optics，1991，30(25):3627-3632.

［7］ COSTANTINI M.A novel phase unwrapping method based on network programming［J］.IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing，1998，36(3):813-821.

［8］ FLYNN T J.Two-dimensional phase unwrapping with minimum weighted discontinuity［J］.Journal of the Optical Society of A-merica，1997，14(10):2692-2701.

［9］ OESCH D W，SANCHEZ D J，TEWKSBURY-CHRISTLE C M.Aggregate behavior of branch points-persistent pairs［J］.Optics Express，2012，20(2):1046-1059.

［10］ HANSSEN R F.Radar interferometry:data interpretation and error analysis［M］.Dordrecht，Netherlands:Kluwer Academic Publishers，2001:22-23.

［11］ BAO Zh，XIN M D，WANG T.Radar imaging technology［M］.Beijing:Publishing House of Electronics Industry，2005:310-311(in Chinese).

［12］ ASUNDI A，WENSEN Z. Fast phase-unwrapping algorithm based on a gray-scale mask and flood fill［J］.Applied Optics，1998，37(23):5416-5420.

［13］ LEI S，ZHANG S.Digital sinusoidal fringe pattern generation:defocusing binary patterns vs focusing sinusoidal patterns［J］.Optics and Lasers in Engineering，2010，48(5):561-569.