李晶

摘要：數(shù)學(xué)思維既要體現(xiàn)一般思維的規(guī)律，又要結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，反映出數(shù)學(xué)學(xué)科特有的規(guī)律。數(shù)學(xué)思維是指數(shù)學(xué)活動過程中的思維，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程是以不斷提出問題并解決問題的方式來獲取新知識的問題性思維過程。問題是數(shù)學(xué)的心臟，沒有問題就沒有數(shù)學(xué)，解決問題的過程就是思維形成的過程。

關(guān)鍵詞：思維；特點；規(guī)律；過程

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）03-0052

愛因斯坦曾說過：“創(chuàng)造性原則寓于數(shù)學(xué)之中?！痹谌祟悮v史上，數(shù)學(xué)的探索精神幫助許多杰出的人才成就了自己的事業(yè)，為人類作出了較大的貢獻。數(shù)學(xué)發(fā)展到了今天，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)成為現(xiàn)代科技文化的核心，它的形式化語言，理性主義觀念，抽象的、邏輯性的思維方式，已成為現(xiàn)代成員必備的素質(zhì)。這種素質(zhì)的高低直接關(guān)系到社會成員對事物的洞察、理解以及判斷力。數(shù)學(xué)思維能力就是作為數(shù)學(xué)科學(xué)的獨特思維方式所具有的功能、本領(lǐng)，它包括直覺思維、發(fā)散思維、創(chuàng)新思維、逆向思維等，而中學(xué)生正是培養(yǎng)這些思維能力的最佳階段。

一、直覺思維

直覺是發(fā)明的源泉。偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家彭加勒說：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明。”前蘇聯(lián)科學(xué)家凱德洛夫更明確地提出：“沒有任何一個創(chuàng)造性行為能離開直覺活動?！敝庇X思維就是指人們不受邏輯規(guī)則約束直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式。數(shù)學(xué)直覺思維是直接反映數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的思維活動。思維者不是按部就班地推理，而是對思維對象從整體上進行考察，調(diào)動自身的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，跳過若干中間步驟或放過個別細節(jié)而直接把握研究對象的本質(zhì)和聯(lián)系。重視解題教學(xué)，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維。華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微?！蓖ㄟ^深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺，對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺思維大有幫助。我們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所解決的許多問題，往往也是先從數(shù)與形的感知中得到某種猜想或得到一種巧妙的解題思路，然后進行解答的。在教學(xué)中有意識、有計劃的培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維能力，鼓勵學(xué)生進行大膽猜測，對于數(shù)學(xué)創(chuàng)造和數(shù)學(xué)問題的解決，起著至關(guān)重要的作用。

例如：若sinα+cosα=tanα（0<α<■），則α∈（ ）。

A. （0，■） B. （■，■）

C. （■，■） D. （■，■）

分析：令f（x）=sinx+cosx=■sin（x+■）（0<α<■），g（x）=tanx，畫出函數(shù)圖象，從圖象上容易看出交點P的橫坐標xp>■。

接下來再令α=■，則sin■+cos■=■，tan■=■由圖象知xp應(yīng)小于■。故選C。

數(shù)學(xué)是一門滴水不漏的學(xué)科，許多直覺洞察的空隙必須要用邏輯推理來填補。對于直覺與非形式的強調(diào)是無可非議的，但是我們并不能以此去取代數(shù)學(xué)證明，而只能作為后者的必要補充；而“如果在解決問題的過程中總是滿足于不加證明的猜測，他們很快就會忘記在猜測與證明之間的區(qū)分”，而后者甚至可以說比根本不知道如何去解決問題更糟。伊思·斯圖爾特曾經(jīng)說過這樣一句話：“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯?！笔芸刂频木窈透挥忻栏械倪壿嬚菙?shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。

二、發(fā)散思維

數(shù)學(xué)發(fā)散思維的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造思維和創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要抓住時機引導(dǎo)學(xué)生突破模式，擺脫框架思路的束縛，從不同角度靈活出題。學(xué)生對所給條件從不同角度分析、構(gòu)想和重組，實現(xiàn)了思維的發(fā)散，學(xué)生的思路開闊了，分析問題，解決問題，探求新知識的能力逐步培養(yǎng)起來，學(xué)生的發(fā)散創(chuàng)新的意識也油然而生。教學(xué)中注重發(fā)散思維的訓(xùn)練，不僅可以使學(xué)生的解題思路開闊，妙法頓生，而且對于培養(yǎng)學(xué)生成為勇于探索新方法、新理論的創(chuàng)新人才具有重要意義。一題多解是訓(xùn)練發(fā)散思維的好素材，通過一題多解，引導(dǎo)學(xué)生就不同的角度、不同的方位、不同的觀點分析思考同一問題，從而擴充思維的機遇，使學(xué)生不滿足固有的方法，而求新法。

例如：設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，求當Sn取最小值時，n的值。

分析：

法一：利用等差數(shù)列的通項公式。由等差數(shù)列的等差中項的定義與首項的值，求出公差d=2，由題意不難分析出此數(shù)列為首項小于0的遞增數(shù)列，也就是截止到某一項為止，后面的各項都是正數(shù)。因此，這一項與之前的所有項之和最小，所以令an=-11+2（n-1）≤0，解出n=6.5，得出這個數(shù)列前6項和最小。

法二：利用二次函數(shù)的性質(zhì)。求出此數(shù)列的公差之后，利用等差數(shù)列的前n項和公式表示出Sn=-11n+2×■=n2-12n=（n-6）2-36，發(fā)現(xiàn)這是一個關(guān)于n的二次函數(shù)，圖象開口向上，當n=6時取得最小值。

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生消除思維定勢，思維定勢就是按著一種固定的思路考慮問題，表現(xiàn)出思維的一種傾向性，它有積極性的一面，在條件不變的情境時，思維定勢能使人迅速從“知識庫”中提取已掌握的知識，迅速地解決問題，提高思維效率形成。但思維定勢是影響發(fā)散思維的主要障礙，當條件或情境變化時容易產(chǎn)生錯的方向或找不到解決問題的方法，因此，及時幫助學(xué)生消除思維定勢的影響，掃除造成思維僵化的障礙，是培養(yǎng)學(xué)生思維需要解決的首要問題。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分利用發(fā)散思維，從不同的角度和不同的方法加以分析。

三、創(chuàng)新思維

創(chuàng)新思維是一種求異思維，是一種復(fù)雜的高級思維過程。它的特點是主體對知識經(jīng)驗和思維材料進行新穎的組合分析、抽象概括以致達到人類思維的高級形態(tài)；它的結(jié)果，（下轉(zhuǎn)第64頁）（上接第52頁）不論是概念、理論、假設(shè)、方案或是結(jié)論，都包括著新的因素，它是一種探新的思維活動。創(chuàng)新思維能力是一種深層次的心理分析能力，是一種沖破舊習(xí)慣、舊思維的束縛，進行多向、多維、多層面的思考，富有創(chuàng)意地提出問題、分析問題、解決問題的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要自覺地啟發(fā)學(xué)生多提問題，提問題是思維的結(jié)果，也是創(chuàng)新的開始，不要給學(xué)生立下很多規(guī)矩，更不要打棍子，即學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中常會提出許多不同的看法或新見解，它往往蘊藏著智慧的萌芽，哪怕只有一點點新意，也應(yīng)充分肯定和大力鼓勵。

例如：有六根繩子，兩端兩兩打結(jié)，能形成一個圓的概率是多少？

A—⊙—A我們可以把六根繩子看成是五個燈泡和一個電源，

B—⊙—B能形成一個圓即五個燈泡都亮。基本事件共有C5C5種

C—⊙—C情形，關(guān)鍵是五個燈都亮有多少種情況?？梢园措?/p>

D—⊙—D流的方向考慮，與F相連有C5不妨設(shè)是E，與E

E—⊙—E相連有C4種，不妨設(shè)是D，依此類推共有C5C4C3C2

F—//—F種情形，因此P=■=■

在教學(xué)過程中，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的教學(xué)方法的選擇，應(yīng)著重于啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造誘因和促進有序信息系統(tǒng)的產(chǎn)生，這樣有助于建立學(xué)生主動探索、創(chuàng)新及合作學(xué)習(xí)的教學(xué)機制，有助于對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和培養(yǎng)，使學(xué)生在學(xué)會數(shù)學(xué)的過程中逐漸學(xué)會學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維打下更堅實的基礎(chǔ)。

四、逆向思維

逆向思維是在研究問題時從反面觀察事物，去做與習(xí)慣性思維方向完全相反的探索，順推不行時考慮逆推解決，探討可能性發(fā)生困難時考慮探討不可能性，由此尋求解決問題的方法。事實上，正向思維定勢經(jīng)常制約了思維空間的拓展，有時，正面解題很難，不妨改變思維方向，產(chǎn)生新思想，從而提高學(xué)生從反向考慮問題的自覺性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，逆向思維主要表現(xiàn)在：逆用定義、公式、法則；逆向進行推理；反向進行證明（反證法）；從充要條件的反方向形成新結(jié)論（如探討定理的逆命題是否成立）等等。數(shù)學(xué)教學(xué)中可以利用互逆因素，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維。

例如：求（■x-■y）5的展開式中各項的所有有理數(shù)系數(shù)之和。

分析：若正向思考，須用二項式定理展開后計算求和，比較麻煩。若從反向思考，不展開二項式，令x=y=1代入求得二項展開式各項系數(shù)的和，再從中提取有理數(shù)部分即得所求之值。原式中令x=y=1，使原式展開式中各項系數(shù)和為（■-■）15=（■）15=■，這是一個無理數(shù)，故知展開式中所有的有理數(shù)之和為零。

學(xué)生如果有逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要有逆向思維能力，但這必須建立在豐富而扎實的“雙基”知識，量力而行，適可而止，且有機有節(jié)地長期進行養(yǎng)成訓(xùn)練，切不可急于求成。

在數(shù)學(xué)課堂中，關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識背景；關(guān)注學(xué)生的實踐活動和直接經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生的自主探索和合作交流；關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)情感和情緒體驗；使學(xué)生投入到豐富多彩充滿活力的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中去，從而有利于學(xué)生自信心和興趣，激發(fā)創(chuàng)造誘因，增加創(chuàng)造性思維的信息儲備，以促使學(xué)生能力、情感、知識的全面發(fā)展，并且加強各種思維的密切結(jié)合，進行各種思維形式的訓(xùn)練，對于培養(yǎng)學(xué)生的意識、能力具有十分重要的意義。

（作者單位：內(nèi)蒙古扎蘭屯二中 162650）

例如：有六根繩子，兩端兩兩打結(jié)，能形成一個圓的概率是多少？

A—⊙—A我們可以把六根繩子看成是五個燈泡和一個電源，

B—⊙—B能形成一個圓即五個燈泡都亮。基本事件共有C5C5種

C—⊙—C情形，關(guān)鍵是五個燈都亮有多少種情況。可以按電

D—⊙—D流的方向考慮，與F相連有C5不妨設(shè)是E，與E

E—⊙—E相連有C4種，不妨設(shè)是D，依此類推共有C5C4C3C2

F—//—F種情形，因此P=■=■

在教學(xué)過程中，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的教學(xué)方法的選擇，應(yīng)著重于啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造誘因和促進有序信息系統(tǒng)的產(chǎn)生，這樣有助于建立學(xué)生主動探索、創(chuàng)新及合作學(xué)習(xí)的教學(xué)機制，有助于對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和培養(yǎng)，使學(xué)生在學(xué)會數(shù)學(xué)的過程中逐漸學(xué)會學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維打下更堅實的基礎(chǔ)。

四、逆向思維

逆向思維是在研究問題時從反面觀察事物，去做與習(xí)慣性思維方向完全相反的探索，順推不行時考慮逆推解決，探討可能性發(fā)生困難時考慮探討不可能性，由此尋求解決問題的方法。事實上，正向思維定勢經(jīng)常制約了思維空間的拓展，有時，正面解題很難，不妨改變思維方向，產(chǎn)生新思想，從而提高學(xué)生從反向考慮問題的自覺性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，逆向思維主要表現(xiàn)在：逆用定義、公式、法則；逆向進行推理；反向進行證明（反證法）；從充要條件的反方向形成新結(jié)論（如探討定理的逆命題是否成立）等等。數(shù)學(xué)教學(xué)中可以利用互逆因素，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維。

例如：求（■x-■y）5的展開式中各項的所有有理數(shù)系數(shù)之和。

分析：若正向思考，須用二項式定理展開后計算求和，比較麻煩。若從反向思考，不展開二項式，令x=y=1代入求得二項展開式各項系數(shù)的和，再從中提取有理數(shù)部分即得所求之值。原式中令x=y=1，使原式展開式中各項系數(shù)和為（■-■）15=（■）15=■，這是一個無理數(shù)，故知展開式中所有的有理數(shù)之和為零。

學(xué)生如果有逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要有逆向思維能力，但這必須建立在豐富而扎實的“雙基”知識，量力而行，適可而止，且有機有節(jié)地長期進行養(yǎng)成訓(xùn)練，切不可急于求成。

在數(shù)學(xué)課堂中，關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識背景；關(guān)注學(xué)生的實踐活動和直接經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生的自主探索和合作交流；關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)情感和情緒體驗；使學(xué)生投入到豐富多彩充滿活力的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中去，從而有利于學(xué)生自信心和興趣，激發(fā)創(chuàng)造誘因，增加創(chuàng)造性思維的信息儲備，以促使學(xué)生能力、情感、知識的全面發(fā)展，并且加強各種思維的密切結(jié)合，進行各種思維形式的訓(xùn)練，對于培養(yǎng)學(xué)生的意識、能力具有十分重要的意義。

（作者單位：內(nèi)蒙古扎蘭屯二中 162650）

例如：有六根繩子，兩端兩兩打結(jié)，能形成一個圓的概率是多少？

A—⊙—A我們可以把六根繩子看成是五個燈泡和一個電源，

B—⊙—B能形成一個圓即五個燈泡都亮。基本事件共有C5C5種

C—⊙—C情形，關(guān)鍵是五個燈都亮有多少種情況?？梢园措?/p>

D—⊙—D流的方向考慮，與F相連有C5不妨設(shè)是E，與E

E—⊙—E相連有C4種，不妨設(shè)是D，依此類推共有C5C4C3C2

F—//—F種情形，因此P=■=■

在教學(xué)過程中，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的教學(xué)方法的選擇，應(yīng)著重于啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)造誘因和促進有序信息系統(tǒng)的產(chǎn)生，這樣有助于建立學(xué)生主動探索、創(chuàng)新及合作學(xué)習(xí)的教學(xué)機制，有助于對學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和培養(yǎng)，使學(xué)生在學(xué)會數(shù)學(xué)的過程中逐漸學(xué)會學(xué)習(xí)，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維打下更堅實的基礎(chǔ)。

四、逆向思維

逆向思維是在研究問題時從反面觀察事物，去做與習(xí)慣性思維方向完全相反的探索，順推不行時考慮逆推解決，探討可能性發(fā)生困難時考慮探討不可能性，由此尋求解決問題的方法。事實上，正向思維定勢經(jīng)常制約了思維空間的拓展，有時，正面解題很難，不妨改變思維方向，產(chǎn)生新思想，從而提高學(xué)生從反向考慮問題的自覺性。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，逆向思維主要表現(xiàn)在：逆用定義、公式、法則；逆向進行推理；反向進行證明（反證法）；從充要條件的反方向形成新結(jié)論（如探討定理的逆命題是否成立）等等。數(shù)學(xué)教學(xué)中可以利用互逆因素，訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維。

例如：求（■x-■y）5的展開式中各項的所有有理數(shù)系數(shù)之和。

分析：若正向思考，須用二項式定理展開后計算求和，比較麻煩。若從反向思考，不展開二項式，令x=y=1代入求得二項展開式各項系數(shù)的和，再從中提取有理數(shù)部分即得所求之值。原式中令x=y=1，使原式展開式中各項系數(shù)和為（■-■）15=（■）15=■，這是一個無理數(shù)，故知展開式中所有的有理數(shù)之和為零。

學(xué)生如果有逆向思維能力，不僅對提高解題能力有益，更重要的是改善學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式，有助于形成良好的思維習(xí)慣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新開拓精神，培養(yǎng)良好的思維品性，提高學(xué)習(xí)效果、學(xué)習(xí)興趣，及提高思維能力和整體素質(zhì)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要有逆向思維能力，但這必須建立在豐富而扎實的“雙基”知識，量力而行，適可而止，且有機有節(jié)地長期進行養(yǎng)成訓(xùn)練，切不可急于求成。

在數(shù)學(xué)課堂中，關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識背景；關(guān)注學(xué)生的實踐活動和直接經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生的自主探索和合作交流；關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)情感和情緒體驗；使學(xué)生投入到豐富多彩充滿活力的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中去，從而有利于學(xué)生自信心和興趣，激發(fā)創(chuàng)造誘因，增加創(chuàng)造性思維的信息儲備，以促使學(xué)生能力、情感、知識的全面發(fā)展，并且加強各種思維的密切結(jié)合，進行各種思維形式的訓(xùn)練，對于培養(yǎng)學(xué)生的意識、能力具有十分重要的意義。

（作者單位：內(nèi)蒙古扎蘭屯二中 162650）