陳新志 孫桓五 劉 榮 柳 寧 周 欽

（太原理工大學(xué)）

針對平順性優(yōu)化，國內(nèi)、外學(xué)者在改善模型精度、算法的應(yīng)用、控制策略等方面做了大量研究[1～3]。然而傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化方法很少考慮到設(shè)計變量波動的影響，如懸架剛度或其他位置等參數(shù)的不確定性都有可能使目標(biāo)函數(shù)不能保持最優(yōu)值或約束條件得不到滿足，從而使確定性優(yōu)化失敗。針對此問題，本文提出采用基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化方法，降低目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量波動的敏感程度，從概率上保證約束條件得到滿足，且在半掛汽車列車行駛平順性優(yōu)化設(shè)計中進(jìn)行驗證。

1 容差模型穩(wěn)健性優(yōu)化原理

產(chǎn)品設(shè)計值與制造后和使用中實際值的差異稱為設(shè)計變量的變差。當(dāng)這種變差傳遞給目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)時，會引起質(zhì)量指標(biāo)和約束的變差，可能導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)波動明顯或約束條件不再滿足。而基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化，就是要使得當(dāng)設(shè)計變量x或某些噪聲因素z（不可控因素）發(fā)生變差時，質(zhì)量特性對這些變差的影響不敏感，且要求約束條件仍然滿足。

圖1為容差模型的原理，由設(shè)計變量變差Δxi引起約束函數(shù)的變差Δgj，為此在設(shè)計空間內(nèi)形成了穩(wěn)健設(shè)計的新可行域再求解，即穩(wěn)健設(shè)計解[4]。修正約束條件為 gj（xˉ，zˉ）+Δgj≤0 而目標(biāo)函數(shù)的方差最小即可保證質(zhì)量特性對變差波動的敏感性保持最小。

x

故基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計模型可以表示為：

當(dāng)利用統(tǒng)計容差帶建立約束函數(shù)時，穩(wěn)健可行性條件應(yīng)為：

式中，k為任意常數(shù)。

若k=3，考慮x和z的隨機(jī)變差時，其設(shè)計可行率為 99.865%[4]，即：

建立上述模型的關(guān)鍵是計算約束函數(shù)的變差和目標(biāo)函數(shù)的方差，而且在優(yōu)化過程中隨著設(shè)計變量的變動不斷修正約束函數(shù)的變差與目標(biāo)函數(shù)的方差。

由于在平順性優(yōu)化中眾多噪聲因素變差難以確定，故忽略其影響，則設(shè)計函數(shù)（約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)）與設(shè)計變量之間是非線性關(guān)系：

將上述設(shè)計函數(shù)在均值處展開泰勒級數(shù)且忽略2階以上的高次項：

然后對其求均值和方差：

當(dāng)任意兩個設(shè)計變量之間相互獨立時，即相關(guān)系數(shù)ρij=0，上述設(shè)計函數(shù)的均值和方差可以簡化為：

利用式(5)和式（6）或式（7）和式（8）可求得目標(biāo)函數(shù)的期望及方差，利用式（4）或（6）可求得約束函數(shù)的方差，進(jìn)而求得其變差。

2 整車9自由度平順性模型及評價指標(biāo)

2.1 整車9自由度平順性模型

本文考慮對汽車平順性影響較大的垂直振動和縱向角振動，忽略橫向水平振動，且在做出如下假設(shè)條件[5]的基礎(chǔ)上，建立了牽引車—半掛車振動力學(xué)模型：

a. 車輛各部位視為剛體振動，且車身在平衡位置作微幅振動；

b.剛度和阻尼分別和相應(yīng)的位移和速度成線性關(guān)系，輪胎阻尼忽略不計；

c. 汽車等速直線行駛。

此外，牽引車和掛車之間通過鞍座連接，一般情況下掛車可以繞牽引銷軸線回轉(zhuǎn)。當(dāng)整車僅考慮垂直振動時，由于牽引車和掛車之間鞍座約束導(dǎo)致掛車垂直自由度和繞橫軸的俯仰運動只有1個有效自由度。

建立的9自由度線性振動力學(xué)模型如圖3所示。其中，Z1是牽引車人椅系統(tǒng)的垂直位移；Z5是牽引車車身簧載質(zhì)量繞質(zhì)心軸的俯仰角；Z4、Z9是牽引車車身、半掛車簧載質(zhì)量質(zhì)心垂直位移；Z2、Z3、Z6、Z7、Z8 是牽引車前軸、后軸、半掛車車軸非簧載質(zhì)量垂直位移。

根據(jù)上述簡化的力學(xué)模型，由廣義拉格朗日方程推導(dǎo)出振動微分方程為：

對于某款半掛汽車列車，有關(guān)參數(shù)如下：

2.2 路面模型

根據(jù)GB/T7031－2005《機(jī)械振動道路路面譜測量數(shù)據(jù)報告》[6]給出空間頻率路面譜密度的擬合表達(dá)式：

將 Gq（n）換算為時間頻率路面譜密度 Gq（f）：

式中，Gq（n0）為路面不平度系數(shù)；n為空間頻率；n0為參考空間頻率，n0=0.1m－1；ω 為頻率指數(shù)，取 ω=2；v為車速；f為時間頻率。

假設(shè)汽車沿同一直線軌跡行駛，則對于5軸半掛汽車列車平面模型，第2、3、4、5車輪的不平度路面函數(shù)相對第1車輪滯后距離為Li，因此各軸車輛路面不平度輸入可以表示為：q1（I）=x（I）；q2（I）＝x（I－L1）；q3（I）＝x（I－L2）；q4（I）＝x（I－L3）；q5（I）=x（I－L4）。其中，L1=L1+L2；L2=L1+L5+L6－L4；L3=L2+L7；L4=L3+L8

對于平面5軸模型，要考慮5個車輪輸入的自譜和各車輪之間的互譜共 25 個譜量，Gik（n）（i，k=1，2，3，4，5），其中 20 個互譜量兩兩共軛，Gik（n）按下式計算[7]：

式中，F(xiàn)i（n）、Fk（n）為 qi（n）和 qk（n）的傅里葉變換；（n）、（n）為 Fi（n）、Fk（n）的共軛復(fù)數(shù)；T 為長度 I的分析區(qū)間。

5個車輪的路面不平度函數(shù)傅里葉變換為：F1（n）=F[q1（I）]=F[x（I）]X（n）

將5個車輪的路面不平度函數(shù)傅里葉變換代入式（12），同時考慮到每個車輪自譜為 Gq（f），則有：

可以得到平面模型的5輪輸入功率譜密度矩陣：

2.3 平順性評價指標(biāo)

根據(jù)GB/T 4970－2009《汽車平順性試驗方法》[8]推薦的基本評價方法，通過計算牽引車駕駛員座椅處的加速度均方根值來評價牽引車平順性能，即：

其中，w（f）為加權(quán)函數(shù)：

在線性系統(tǒng)中，依據(jù)隨機(jī)振動理論，有：

式中，GZ1¨（f）為加速度功率譜密度；G（f）為路面輸入譜密度；H*（f）為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的共軛；HT（f）為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的轉(zhuǎn)置。

對振動微分方程（9）進(jìn)行傅里葉變換，即可求得系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)H（f）：

由于難以直接對設(shè)計函數(shù)式（13）求偏導(dǎo)數(shù)，并且也難以對懸架動撓度和輪胎動載荷表達(dá)式求偏導(dǎo)數(shù)，因此需要近似函數(shù)來代替，一般情況下可以通過二次回歸正交組合試驗設(shè)計得到式（13）的近似回歸方程如下：

本文考慮通過優(yōu)化設(shè)計得出和某款牽引車匹配最佳的半掛車參數(shù), 獲得最佳乘坐舒適性，因此選取影響整車平順性能的半掛車參數(shù)：鞍座位置參數(shù)L4，半掛車懸架剛度值 K6、K7、K8，并對各個設(shè)計函數(shù)進(jìn)行二次回歸正交組合試驗設(shè)計，以獲得回歸顯著地回歸方程。

3 整車平順性優(yōu)化設(shè)計

3.1 確定性優(yōu)化模型

為了獲取最佳的半掛車參數(shù)，以駕駛員座椅處的垂直加速度均方根值az1為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，L4、K6、K7、K8為設(shè)計變量，為了保證汽車整車行駛，懸架動撓度fdi和輪胎動載荷Fdi需要保持在適當(dāng)范圍內(nèi)，即需要滿足以下條件：

式中，fdi為第i軸懸架動撓度；[fdi]為第i軸懸架限位行程；Fdi為第i軸輪胎動載荷；Gi為第i軸輪胎承受的靜載荷。

當(dāng)式（17）成立時，懸架撞擊限位的概率為0.3%[7]，保證了懸架不會頻繁的撞擊限位塊；當(dāng)式（18）成立時，車輪跳離地面的概率為0.15%[7]，減小了輪胎和地面的動載荷。 用 gi≤0，i=1，2，3···，10 代替式（17）和式（18）作為優(yōu)化的約束條件，其中，式（17）中 i=1，2，3，4，5，式（18）中 i=6，7，8，9，10。

半掛車質(zhì)心位于支撐裝置與后軸之間稍前方的位置，一般牽引座都安裝在牽引車后軸前方大約0.3～0.6 m的地方，一般公路用車后懸架靜撓度取50～65 mm[10]，故有：

式中，Mi為簧載質(zhì)量。

經(jīng)計算確定 K6、K7、K8被限制在 829 442～1 078 274N/m之間，因此構(gòu)建確定性優(yōu)化模型：

3.2 基于容差模型的穩(wěn)健性優(yōu)化

取設(shè)計變量容差為名義值的1%，即：

建立基于容差模型的穩(wěn)健性優(yōu)化模型如下：

其中，Δgi=3σgi；Var（az1）和 σgi按照式（8）計算；E（az1）由式（7）計算；ε 取 0.05。

3.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

確定性優(yōu)化和穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果如表1和表2所示。經(jīng)過確定性優(yōu)化后，加速度均方根值從1.9623降到1.376 8，降低29.84%。經(jīng)過穩(wěn)健性優(yōu)化后，加速度均方根值從1.962 3降到1.425 4，降低27.35%。由此說明兩種優(yōu)化方式都能有效改善整車平順性能，達(dá)到優(yōu)化目的。從表1最后一行中加速度均方根值的均方差可以看出，穩(wěn)健性優(yōu)化的均方差較確定性優(yōu)化減小了8.6%，證明穩(wěn)健性優(yōu)化更加穩(wěn)定可靠。從表2可以看出，由于約束條件的限制，動撓度和動載荷保持在合理范圍內(nèi)，故優(yōu)化結(jié)果可以接受。

表1 優(yōu)化結(jié)果

表2 優(yōu)化前、后約束條件變化

通過使用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法，抽取10000個隨機(jī)樣本，計算在設(shè)計變量發(fā)生波動時約束條件滿足的概率，計算結(jié)果如表3所列。

表3 確定性優(yōu)化和穩(wěn)健性優(yōu)化約束條件滿足的概率對比 %

從表3可知，采用確定性優(yōu)化時，若設(shè)計變量發(fā)生波動，約束條件g8即整車第3軸輪胎動載荷約束條件滿足的概率僅為90.84%,不能保證足夠的可靠度。這主要是因為確定性優(yōu)化在迭代過程單純?yōu)楂@得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解而未考慮到設(shè)計變量發(fā)生波動時可行域會發(fā)生變化。但是同樣情況下，穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果對約束條件保持了100%的滿足概率，這是由于在迭代過程中動態(tài)調(diào)整了可行域范圍，使得約束條件能夠以一定概率被滿足。

綜合加速度均方根值和約束條件兩方面可知，采用穩(wěn)健性優(yōu)化方法與采用確定性優(yōu)化方法相比不僅能夠提高整車平順性能，而且能夠保證優(yōu)化可靠性，更加符合工程實際情況。

4 結(jié)束語

a.建立了9自由度半掛車汽車列車平順性模型，通過建立基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化模型，對汽車平順性進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化。

b. 通過穩(wěn)健性優(yōu)化和確定性優(yōu)化的分析結(jié)果對比表明，穩(wěn)健性優(yōu)化不僅能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)化目的，而且較確定性優(yōu)化更能降低目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量波動的敏感程度，當(dāng)設(shè)計變量在最優(yōu)解附近發(fā)生波動時，也能保證整車平順性達(dá)到最優(yōu)，提高了優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)健性。

c.在約束條件穩(wěn)健性方面，穩(wěn)健性優(yōu)化幾乎能夠在設(shè)計變量發(fā)生波動時以100%的概率保證約束條件滿足。

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