陳新志 孫桓五 劉 榮 柳 寧 周 欽

（太原理工大學(xué)）

針對(duì)平順性優(yōu)化，國(guó)內(nèi)、外學(xué)者在改善模型精度、算法的應(yīng)用、控制策略等方面做了大量研究[1～3]。然而傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化方法很少考慮到設(shè)計(jì)變量波動(dòng)的影響，如懸架剛度或其他位置等參數(shù)的不確定性都有可能使目標(biāo)函數(shù)不能保持最優(yōu)值或約束條件得不到滿足，從而使確定性優(yōu)化失敗。針對(duì)此問(wèn)題，本文提出采用基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化方法，降低目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量波動(dòng)的敏感程度，從概率上保證約束條件得到滿足，且在半掛汽車(chē)列車(chē)行駛平順性優(yōu)化設(shè)計(jì)中進(jìn)行驗(yàn)證。

1 容差模型穩(wěn)健性優(yōu)化原理

產(chǎn)品設(shè)計(jì)值與制造后和使用中實(shí)際值的差異稱(chēng)為設(shè)計(jì)變量的變差。當(dāng)這種變差傳遞給目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)時(shí)，會(huì)引起質(zhì)量指標(biāo)和約束的變差，可能導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)波動(dòng)明顯或約束條件不再滿足。而基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化，就是要使得當(dāng)設(shè)計(jì)變量x或某些噪聲因素z（不可控因素）發(fā)生變差時(shí)，質(zhì)量特性對(duì)這些變差的影響不敏感，且要求約束條件仍然滿足。

圖1為容差模型的原理，由設(shè)計(jì)變量變差Δxi引起約束函數(shù)的變差Δgj，為此在設(shè)計(jì)空間內(nèi)形成了穩(wěn)健設(shè)計(jì)的新可行域再求解，即穩(wěn)健設(shè)計(jì)解[4]。修正約束條件為 gj（xˉ，zˉ）+Δgj≤0 而目標(biāo)函數(shù)的方差最小即可保證質(zhì)量特性對(duì)變差波動(dòng)的敏感性保持最小。

x

故基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)模型可以表示為：

當(dāng)利用統(tǒng)計(jì)容差帶建立約束函數(shù)時(shí)，穩(wěn)健可行性條件應(yīng)為：

式中，k為任意常數(shù)。

若k=3，考慮x和z的隨機(jī)變差時(shí)，其設(shè)計(jì)可行率為 99.865%[4]，即：

建立上述模型的關(guān)鍵是計(jì)算約束函數(shù)的變差和目標(biāo)函數(shù)的方差，而且在優(yōu)化過(guò)程中隨著設(shè)計(jì)變量的變動(dòng)不斷修正約束函數(shù)的變差與目標(biāo)函數(shù)的方差。

由于在平順性優(yōu)化中眾多噪聲因素變差難以確定，故忽略其影響，則設(shè)計(jì)函數(shù)（約束函數(shù)和目標(biāo)函數(shù)）與設(shè)計(jì)變量之間是非線性關(guān)系：

將上述設(shè)計(jì)函數(shù)在均值處展開(kāi)泰勒級(jí)數(shù)且忽略2階以上的高次項(xiàng)：

然后對(duì)其求均值和方差：

當(dāng)任意兩個(gè)設(shè)計(jì)變量之間相互獨(dú)立時(shí)，即相關(guān)系數(shù)ρij=0，上述設(shè)計(jì)函數(shù)的均值和方差可以簡(jiǎn)化為：

利用式(5)和式（6）或式（7）和式（8）可求得目標(biāo)函數(shù)的期望及方差，利用式（4）或（6）可求得約束函數(shù)的方差，進(jìn)而求得其變差。

2 整車(chē)9自由度平順性模型及評(píng)價(jià)指標(biāo)

2.1 整車(chē)9自由度平順性模型

本文考慮對(duì)汽車(chē)平順性影響較大的垂直振動(dòng)和縱向角振動(dòng)，忽略橫向水平振動(dòng)，且在做出如下假設(shè)條件[5]的基礎(chǔ)上，建立了牽引車(chē)—半掛車(chē)振動(dòng)力學(xué)模型：

a. 車(chē)輛各部位視為剛體振動(dòng)，且車(chē)身在平衡位置作微幅振動(dòng)；

b.剛度和阻尼分別和相應(yīng)的位移和速度成線性關(guān)系，輪胎阻尼忽略不計(jì)；

c. 汽車(chē)等速直線行駛。

此外，牽引車(chē)和掛車(chē)之間通過(guò)鞍座連接，一般情況下掛車(chē)可以繞牽引銷(xiāo)軸線回轉(zhuǎn)。當(dāng)整車(chē)僅考慮垂直振動(dòng)時(shí)，由于牽引車(chē)和掛車(chē)之間鞍座約束導(dǎo)致掛車(chē)垂直自由度和繞橫軸的俯仰運(yùn)動(dòng)只有1個(gè)有效自由度。

建立的9自由度線性振動(dòng)力學(xué)模型如圖3所示。其中，Z1是牽引車(chē)人椅系統(tǒng)的垂直位移；Z5是牽引車(chē)車(chē)身簧載質(zhì)量繞質(zhì)心軸的俯仰角；Z4、Z9是牽引車(chē)車(chē)身、半掛車(chē)簧載質(zhì)量質(zhì)心垂直位移；Z2、Z3、Z6、Z7、Z8 是牽引車(chē)前軸、后軸、半掛車(chē)車(chē)軸非簧載質(zhì)量垂直位移。

根據(jù)上述簡(jiǎn)化的力學(xué)模型，由廣義拉格朗日方程推導(dǎo)出振動(dòng)微分方程為：

對(duì)于某款半掛汽車(chē)列車(chē)，有關(guān)參數(shù)如下：

2.2 路面模型

根據(jù)GB/T7031－2005《機(jī)械振動(dòng)道路路面譜測(cè)量數(shù)據(jù)報(bào)告》[6]給出空間頻率路面譜密度的擬合表達(dá)式：

將 Gq（n）換算為時(shí)間頻率路面譜密度 Gq（f）：

式中，Gq（n0）為路面不平度系數(shù)；n為空間頻率；n0為參考空間頻率，n0=0.1m－1；ω 為頻率指數(shù)，取 ω=2；v為車(chē)速；f為時(shí)間頻率。

假設(shè)汽車(chē)沿同一直線軌跡行駛，則對(duì)于5軸半掛汽車(chē)列車(chē)平面模型，第2、3、4、5車(chē)輪的不平度路面函數(shù)相對(duì)第1車(chē)輪滯后距離為L(zhǎng)i，因此各軸車(chē)輛路面不平度輸入可以表示為：q1（I）=x（I）；q2（I）＝x（I－L1）；q3（I）＝x（I－L2）；q4（I）＝x（I－L3）；q5（I）=x（I－L4）。其中，L1=L1+L2；L2=L1+L5+L6－L4；L3=L2+L7；L4=L3+L8

對(duì)于平面5軸模型，要考慮5個(gè)車(chē)輪輸入的自譜和各車(chē)輪之間的互譜共 25 個(gè)譜量，Gik（n）（i，k=1，2，3，4，5），其中 20 個(gè)互譜量?jī)蓛晒曹?，Gik（n）按下式計(jì)算[7]：

式中，F(xiàn)i（n）、Fk（n）為 qi（n）和 qk（n）的傅里葉變換；（n）、（n）為 Fi（n）、Fk（n）的共軛復(fù)數(shù)；T 為長(zhǎng)度 I的分析區(qū)間。

5個(gè)車(chē)輪的路面不平度函數(shù)傅里葉變換為：F1（n）=F[q1（I）]=F[x（I）]X（n）

將5個(gè)車(chē)輪的路面不平度函數(shù)傅里葉變換代入式（12），同時(shí)考慮到每個(gè)車(chē)輪自譜為 Gq（f），則有：

可以得到平面模型的5輪輸入功率譜密度矩陣：

2.3 平順性評(píng)價(jià)指標(biāo)

根據(jù)GB/T 4970－2009《汽車(chē)平順性試驗(yàn)方法》[8]推薦的基本評(píng)價(jià)方法，通過(guò)計(jì)算牽引車(chē)駕駛員座椅處的加速度均方根值來(lái)評(píng)價(jià)牽引車(chē)平順性能，即：

其中，w（f）為加權(quán)函數(shù)：

在線性系統(tǒng)中，依據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，有：

式中，GZ1¨（f）為加速度功率譜密度；G（f）為路面輸入譜密度；H*（f）為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的共軛；HT（f）為系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的轉(zhuǎn)置。

對(duì)振動(dòng)微分方程（9）進(jìn)行傅里葉變換，即可求得系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)H（f）：

由于難以直接對(duì)設(shè)計(jì)函數(shù)式（13）求偏導(dǎo)數(shù)，并且也難以對(duì)懸架動(dòng)撓度和輪胎動(dòng)載荷表達(dá)式求偏導(dǎo)數(shù)，因此需要近似函數(shù)來(lái)代替，一般情況下可以通過(guò)二次回歸正交組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到式（13）的近似回歸方程如下：

本文考慮通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)得出和某款牽引車(chē)匹配最佳的半掛車(chē)參數(shù), 獲得最佳乘坐舒適性，因此選取影響整車(chē)平順性能的半掛車(chē)參數(shù)：鞍座位置參數(shù)L4，半掛車(chē)懸架剛度值 K6、K7、K8，并對(duì)各個(gè)設(shè)計(jì)函數(shù)進(jìn)行二次回歸正交組合試驗(yàn)設(shè)計(jì)，以獲得回歸顯著地回歸方程。

3 整車(chē)平順性優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 確定性優(yōu)化模型

為了獲取最佳的半掛車(chē)參數(shù)，以駕駛員座椅處的垂直加速度均方根值az1為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，L4、K6、K7、K8為設(shè)計(jì)變量，為了保證汽車(chē)整車(chē)行駛，懸架動(dòng)撓度f(wàn)di和輪胎動(dòng)載荷Fdi需要保持在適當(dāng)范圍內(nèi)，即需要滿足以下條件：

式中，fdi為第i軸懸架動(dòng)撓度；[fdi]為第i軸懸架限位行程；Fdi為第i軸輪胎動(dòng)載荷；Gi為第i軸輪胎承受的靜載荷。

當(dāng)式（17）成立時(shí)，懸架撞擊限位的概率為0.3%[7]，保證了懸架不會(huì)頻繁的撞擊限位塊；當(dāng)式（18）成立時(shí)，車(chē)輪跳離地面的概率為0.15%[7]，減小了輪胎和地面的動(dòng)載荷。 用 gi≤0，i=1，2，3···，10 代替式（17）和式（18）作為優(yōu)化的約束條件，其中，式（17）中 i=1，2，3，4，5，式（18）中 i=6，7，8，9，10。

半掛車(chē)質(zhì)心位于支撐裝置與后軸之間稍前方的位置，一般牽引座都安裝在牽引車(chē)后軸前方大約0.3～0.6 m的地方，一般公路用車(chē)后懸架靜撓度取50～65 mm[10]，故有：

式中，Mi為簧載質(zhì)量。

經(jīng)計(jì)算確定 K6、K7、K8被限制在 829 442～1 078 274N/m之間，因此構(gòu)建確定性優(yōu)化模型：

3.2 基于容差模型的穩(wěn)健性優(yōu)化

取設(shè)計(jì)變量容差為名義值的1%，即：

建立基于容差模型的穩(wěn)健性優(yōu)化模型如下：

其中，Δgi=3σgi；Var（az1）和 σgi按照式（8）計(jì)算；E（az1）由式（7）計(jì)算；ε 取 0.05。

3.3 優(yōu)化結(jié)果及分析

確定性優(yōu)化和穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果如表1和表2所示。經(jīng)過(guò)確定性優(yōu)化后，加速度均方根值從1.9623降到1.376 8，降低29.84%。經(jīng)過(guò)穩(wěn)健性優(yōu)化后，加速度均方根值從1.962 3降到1.425 4，降低27.35%。由此說(shuō)明兩種優(yōu)化方式都能有效改善整車(chē)平順性能，達(dá)到優(yōu)化目的。從表1最后一行中加速度均方根值的均方差可以看出，穩(wěn)健性優(yōu)化的均方差較確定性優(yōu)化減小了8.6%，證明穩(wěn)健性優(yōu)化更加穩(wěn)定可靠。從表2可以看出，由于約束條件的限制，動(dòng)撓度和動(dòng)載荷保持在合理范圍內(nèi)，故優(yōu)化結(jié)果可以接受。

表1 優(yōu)化結(jié)果

表2 優(yōu)化前、后約束條件變化

通過(guò)使用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法，抽取10000個(gè)隨機(jī)樣本，計(jì)算在設(shè)計(jì)變量發(fā)生波動(dòng)時(shí)約束條件滿足的概率，計(jì)算結(jié)果如表3所列。

表3 確定性優(yōu)化和穩(wěn)健性優(yōu)化約束條件滿足的概率對(duì)比 %

從表3可知，采用確定性優(yōu)化時(shí)，若設(shè)計(jì)變量發(fā)生波動(dòng)，約束條件g8即整車(chē)第3軸輪胎動(dòng)載荷約束條件滿足的概率僅為90.84%,不能保證足夠的可靠度。這主要是因?yàn)榇_定性優(yōu)化在迭代過(guò)程單純?yōu)楂@得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解而未考慮到設(shè)計(jì)變量發(fā)生波動(dòng)時(shí)可行域會(huì)發(fā)生變化。但是同樣情況下，穩(wěn)健性優(yōu)化結(jié)果對(duì)約束條件保持了100%的滿足概率，這是由于在迭代過(guò)程中動(dòng)態(tài)調(diào)整了可行域范圍，使得約束條件能夠以一定概率被滿足。

綜合加速度均方根值和約束條件兩方面可知，采用穩(wěn)健性優(yōu)化方法與采用確定性優(yōu)化方法相比不僅能夠提高整車(chē)平順性能，而且能夠保證優(yōu)化可靠性，更加符合工程實(shí)際情況。

4 結(jié)束語(yǔ)

a.建立了9自由度半掛車(chē)汽車(chē)列車(chē)平順性模型，通過(guò)建立基于容差模型的穩(wěn)健優(yōu)化模型，對(duì)汽車(chē)平順性進(jìn)行了穩(wěn)健性優(yōu)化。

b. 通過(guò)穩(wěn)健性優(yōu)化和確定性優(yōu)化的分析結(jié)果對(duì)比表明，穩(wěn)健性優(yōu)化不僅能夠?qū)崿F(xiàn)優(yōu)化目的，而且較確定性優(yōu)化更能降低目標(biāo)函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量波動(dòng)的敏感程度，當(dāng)設(shè)計(jì)變量在最優(yōu)解附近發(fā)生波動(dòng)時(shí)，也能保證整車(chē)平順性達(dá)到最優(yōu)，提高了優(yōu)化結(jié)果的穩(wěn)健性。

c.在約束條件穩(wěn)健性方面，穩(wěn)健性優(yōu)化幾乎能夠在設(shè)計(jì)變量發(fā)生波動(dòng)時(shí)以100%的概率保證約束條件滿足。

1 熊飛.以剛彈耦合模型為基的運(yùn)動(dòng)車(chē)平順性仿真分析.現(xiàn)代制造工程，2010（05）:53～57.

2 段敏,張立軍,石晶，等.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輕型客車(chē)懸架參數(shù)的優(yōu)化.汽車(chē)工程，2003（02）:190～197.

3 郭孔輝,王金珠,郭耀華，等.基于混合阻尼控制的車(chē)輛半主動(dòng)懸架可調(diào)性研究.汽車(chē)技術(shù),2013（03）:1～5.

4 陳立周.穩(wěn)健設(shè)計(jì).北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

5 張義，莫旭輝，鐘志華．基于MATLAB的菱形客車(chē)平順性研究.中國(guó)機(jī)械工程，2012，20（7）：875～880.

6 GB/T7031－2005.《機(jī)械振動(dòng)道路路面譜測(cè)量數(shù)據(jù)報(bào)告》.

7 余志生.汽車(chē)?yán)碚摰谖灏?北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2009：210～218.

8 GB/T 4970－2009.《汽車(chē)平順性試驗(yàn)方法》.

9 潘麗軍，陳錦權(quán).試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理.南京：東南大學(xué)出版社，2008.

10 郭正康．現(xiàn)代汽車(chē)列車(chē)設(shè)計(jì)與使用.北京：北京理工大學(xué)出版社，2006：213～321.