蘭鳳崇，張浩鍇，王家豪，陳吉清

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣州 510640;2.華南理工大學(xué)，廣東省汽車工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州 510640)

前言

轉(zhuǎn)向節(jié)是汽車懸架系統(tǒng)的重要機(jī)件，它連接輪轂和懸架控制臂，同時(shí)是轉(zhuǎn)向節(jié)臂與制動(dòng)卡鉗的安裝載體，承受汽車前部載荷，支承并帶動(dòng)前輪繞主銷轉(zhuǎn)動(dòng)而使汽車轉(zhuǎn)向，確保汽車穩(wěn)定行駛并靈敏傳遞行駛方向。在汽車行駛狀態(tài)下，它承受著復(fù)雜多變的載荷工況。因此需要有較大的剛度和足夠的強(qiáng)度與安全系數(shù);同時(shí)還要盡可能減輕質(zhì)量，以滿足操縱穩(wěn)定性和整車輕量化的要求。轉(zhuǎn)向節(jié)的優(yōu)化首先是一個(gè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題，結(jié)構(gòu)優(yōu)化按設(shè)計(jì)變量和面向問題的不同可分為拓?fù)鋬?yōu)化、形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化。針對(duì)轉(zhuǎn)向節(jié)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化最適用于結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的初始階段，用來提供參考意義很強(qiáng)的概念性的設(shè)計(jì)方案。與先設(shè)計(jì)再校核的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法不同，拓?fù)鋬?yōu)化是由CAE驅(qū)動(dòng)的設(shè)計(jì)思路。

當(dāng)前大部分的拓?fù)鋬?yōu)化均是以結(jié)構(gòu)的某個(gè)性能指標(biāo)最大化或最小化為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行的單目標(biāo)優(yōu)化，再對(duì)優(yōu)化后的新結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析以驗(yàn)證其他指標(biāo)。由于不同指標(biāo)之間具有不一致性，這種方法很難得到最優(yōu)的結(jié)構(gòu)。為了使結(jié)構(gòu)在多個(gè)工況或多個(gè)性能指標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)，許多學(xué)者對(duì)結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)［1］中采用帶權(quán)重的折衷規(guī)劃法進(jìn)行車架的拓?fù)鋬?yōu)化，實(shí)現(xiàn)了客車車架結(jié)構(gòu)的多剛度拓?fù)鋬?yōu)化。在實(shí)現(xiàn)輕量化的基礎(chǔ)上滿足各工況下的汽車動(dòng)力學(xué)性能。本文中運(yùn)用折衷規(guī)劃法進(jìn)行轉(zhuǎn)向節(jié)的拓?fù)鋬?yōu)化，收到了較好的效果。

1 轉(zhuǎn)向節(jié)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型

本文中以方程式賽車的右前輪轉(zhuǎn)向節(jié)為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，以尋求更優(yōu)的結(jié)構(gòu)方案，同時(shí)彌補(bǔ)原結(jié)構(gòu)的一些不足:結(jié)構(gòu)材料分布過于空曠導(dǎo)致的剛度不足與應(yīng)力集中。為了可調(diào)整參數(shù)而設(shè)計(jì)的分體式卡鉗支架和分體式的轉(zhuǎn)向臂，增加了零件數(shù)量，導(dǎo)致成本和質(zhì)量的增加。原右前輪轉(zhuǎn)向節(jié)結(jié)構(gòu)見圖1。在相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)確定的前提下，優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案將會(huì)把轉(zhuǎn)向臂和卡鉗與轉(zhuǎn)向節(jié)主體整合。從輕量化考慮，該賽車轉(zhuǎn)向節(jié)采用鋁合金。

對(duì)轉(zhuǎn)向節(jié)的優(yōu)化是在盡量減輕質(zhì)量的前提下，使其剛度和固有頻率最大化，屬于典型的以靜力學(xué)中的剛度最大化和動(dòng)力學(xué)中的特征值最大化作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化問題［2］。傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化問題采用線性加權(quán)和法將多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解，如果所有的目標(biāo)函數(shù)之間不存在沖突，那么使它們同時(shí)達(dá)到最優(yōu)解很易求得。然而實(shí)際問題中這種情況很少，如果目標(biāo)函數(shù)中至少有兩個(gè)存在沖突(即非凸優(yōu)化問題)，至少有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的增加必然導(dǎo)致另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的減少，所以對(duì)非凸優(yōu)化問題來說，線性加權(quán)和法不能確保得到所有的Pareto最優(yōu)解。折衷規(guī)劃法(compromise programming approach)在多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題的研究中能較好地解決上述不足，因此經(jīng)常被用于解決結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化的問題，其思想是把多目標(biāo)優(yōu)化問題的折衷解看作是與每一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的理想解距離最小的矢量［3］，因此折衷規(guī)劃法的實(shí)質(zhì)是把多目標(biāo)問題更加合理地轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解。實(shí)際上結(jié)構(gòu)在不同工況和不同目標(biāo)函數(shù)之間的數(shù)量級(jí)存在較大差異，故須將目標(biāo)函數(shù)的折衷解與其理想解的絕對(duì)距離轉(zhuǎn)化為相對(duì)距離，使它們之間能夠相互進(jìn)行比較。

1.1 多工況剛度拓?fù)鋬?yōu)化模型

拓?fù)鋬?yōu)化是研究在設(shè)計(jì)域內(nèi)得到合理的材料分布，使結(jié)構(gòu)剛度最大化的問題。在多工況下的剛度拓?fù)鋬?yōu)化問題中，每一個(gè)不同的載荷工況將對(duì)應(yīng)不同的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)［4］。因此，靜態(tài)多工況拓?fù)鋬?yōu)化問題本身也屬于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題，利用折衷規(guī)劃法轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題求解。

工程中通常把剛度最大問題等效為柔度(compliance)最小化問題來研究，柔度值為單元總應(yīng)變能值，更加方便計(jì)算與提?。?］。由折衷規(guī)劃法可得靜態(tài)多剛度拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

式中:m為載荷工況總數(shù);wk為第k個(gè)工況的權(quán)值;q為懲罰因子，且q≥2;Ck(ρ)為第k個(gè)工況的柔度目標(biāo)函數(shù);Cmaxk為第k個(gè)工況柔度的最大值，即由優(yōu)化前原結(jié)構(gòu)分析得到的應(yīng)變能;Cmink為第k個(gè)工況柔度的最小值，即為填充材料后的模型進(jìn)行分析得到的應(yīng)變能;ρ為設(shè)計(jì)變量即材料密度;V(ρ)為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的有效體積;V0為結(jié)構(gòu)的原始體積;f為體積約束的百分比。

1.2 動(dòng)態(tài)固有頻率拓?fù)鋬?yōu)化模型

動(dòng)態(tài)固有頻率拓?fù)鋬?yōu)化一般將幾個(gè)低階的重要頻率的最大化作為目標(biāo)函數(shù)。其中第1階固有頻率往往是結(jié)構(gòu)整體剛度的重要指標(biāo)，結(jié)構(gòu)中存在薄弱環(huán)節(jié)將導(dǎo)致第1階固有頻率的降低。由于轉(zhuǎn)向節(jié)對(duì)于各階固有頻率下的振型無特別的要求，故只以第1階固有頻率最大化為目標(biāo)進(jìn)行動(dòng)態(tài)固有頻率的拓?fù)鋬?yōu)化。針對(duì)頻率的動(dòng)力特性，拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)是在滿足結(jié)構(gòu)約束的情況下改善結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，使結(jié)構(gòu)整體剛度提高、材料得到優(yōu)化配置。無阻尼自由振動(dòng)模型的特征值可表示為

式中:K為結(jié)構(gòu)的剛度矩陣;M為質(zhì)量矩陣;λi和Ui為各階特征值和特征向量;fi為固有頻率。模態(tài)頻率特征值優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為式中:wi為第i階特征值的加權(quán)系數(shù)。本文中只對(duì)第1階頻率進(jìn)行優(yōu)化，故i=1，wi=1。

1.3 考慮剛度和頻率的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化模型

結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化是以體積比作為約束，同時(shí)考慮靜態(tài)多剛度目標(biāo)和動(dòng)態(tài)振動(dòng)頻率目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化［6］。由帶權(quán)重的折衷規(guī)劃法可得到多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化的綜合目標(biāo)函數(shù)為

式中:F(ρ)為綜合目標(biāo)函數(shù);w為柔度目標(biāo)函數(shù)的權(quán)重。為了消除不同量綱之間數(shù)量級(jí)的差別，引入了Λmin和Λmax，Λmin為頻率目標(biāo)函數(shù)的最小值，由優(yōu)化前的結(jié)構(gòu)分析得到的固有頻率;Λmax為頻率目標(biāo)函數(shù)的最大值，由填充材料后的模型進(jìn)行分析得到的固有頻率，同時(shí)將頻率最大化的問題變換為函數(shù)的最小化問題來求解。

2 轉(zhuǎn)向節(jié)的拓?fù)鋬?yōu)化

采用Altair HyperWorks中的 Optistruct模塊進(jìn)行優(yōu)化求解，Optistruct軟件利用帶懲罰的變密度法(SIMP)插值方法作為材料模型，用凸規(guī)劃法中的移動(dòng)漸進(jìn)線法作為優(yōu)化算法，同時(shí)采用下限約束法和周長約束法控制數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象。

2.1 轉(zhuǎn)向節(jié)的拓?fù)鋬?yōu)化流程

轉(zhuǎn)向節(jié)的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化流程如圖2所示。

2.2 有限元模型與邊界條件的建立

在Hypermesh中對(duì)原結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)區(qū)域填充，同時(shí)預(yù)留其他零件安裝所需空間，建立轉(zhuǎn)向節(jié)的有限元模型，作為拓?fù)鋬?yōu)化的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，見圖3。圖中淺色單元為拓?fù)鋬?yōu)化區(qū)域。材料為鋁合金，彈性模量為69 000MPa，泊松比為 0.33，密度為2 700kg/m3，體積分?jǐn)?shù)約束為0.25，并考慮加工因素指定拔模方向?yàn)橹行目纵S線方向。

基于賽車道路路況下對(duì)整車在制動(dòng)、轉(zhuǎn)向和車輪跳動(dòng)等典型工況進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)分析，獲得轉(zhuǎn)向節(jié)連接上下控制臂的球銷點(diǎn)、轉(zhuǎn)向節(jié)臂球銷點(diǎn)與制動(dòng)卡鉗作用點(diǎn)的受力情況，以此作為轉(zhuǎn)向節(jié)靜態(tài)分析的載荷邊界條件，見表1。載荷通過RBE2剛性連接單元作用在轉(zhuǎn)向節(jié)各支架上。此外，須在Control Card中設(shè)置MODETRAK卡片，以避免在模態(tài)優(yōu)化過程中出現(xiàn)模態(tài)振蕩的現(xiàn)象。

表1 右前轉(zhuǎn)向節(jié)的載荷工況

目前在OptiStruct中不能直接進(jìn)行真正意義上的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化，實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化有多種處理方法，例如把多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)中的一個(gè)作為目標(biāo)函數(shù)，其余的目標(biāo)作為約束條件。針對(duì)本問題較為理想的方法是利用OptiStruct中提供的自定義函數(shù)功能來定義所提到的折衷規(guī)劃公式(4)，然后把定義的函數(shù)設(shè)為響應(yīng)，最后把該響應(yīng)作為拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

2.3 優(yōu)化結(jié)果

計(jì)算經(jīng)過56次迭代后結(jié)束，優(yōu)化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖4所示，各目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化迭代過程如圖5和圖6所示?？梢钥闯?，經(jīng)過多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化后結(jié)構(gòu)的載荷路徑較清晰，并生成原轉(zhuǎn)向節(jié)沒有的肋板狀結(jié)構(gòu)，這些肋板是結(jié)構(gòu)剛度得到提升的重要因素。由于設(shè)定了拔模方向，使結(jié)構(gòu)優(yōu)化的結(jié)果在生產(chǎn)工藝上基本可行。另外由于結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化僅僅考慮了結(jié)構(gòu)本身的最優(yōu)，無法把加工制造的成本加入考慮，所以使優(yōu)化結(jié)果相比優(yōu)化前顯得不規(guī)整，有可能導(dǎo)致加工難度與加工成本上升，所以在詳細(xì)設(shè)計(jì)中須對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?。由迭代曲線可知，迭代中不同工況下柔度目標(biāo)函數(shù)有著相同的波動(dòng)趨勢(shì)，相對(duì)原結(jié)構(gòu)柔度均有不同程度的下降，而柔度變小(剛度變大)的同時(shí)1階固有頻率也升高，可以看出柔度和頻率是相互制約的。

圖5和圖6表明優(yōu)化后各指標(biāo)均有所提升，然而拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果只是一種概念性的材料分布圖形，其結(jié)果并不能準(zhǔn)確地代表真實(shí)結(jié)構(gòu)的性能，但可以為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供參考，只有將其轉(zhuǎn)化為具體的結(jié)構(gòu)方案再討論其性能才有意義。

2.4 方案設(shè)計(jì)與驗(yàn)證

優(yōu)化結(jié)果可通過Optistruct的OSSmooth模塊輸出igs格式的幾何模型，作為幾何建模的參照物。轉(zhuǎn)向節(jié)的新方案設(shè)計(jì)需要結(jié)合實(shí)際加工工藝和其他因素，在CATIA中進(jìn)行設(shè)計(jì)。

轉(zhuǎn)向節(jié)的新方案設(shè)計(jì)分為概念設(shè)計(jì)和局部?jī)?yōu)化兩個(gè)階段。概念設(shè)計(jì)是參照拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果進(jìn)行的結(jié)構(gòu)材料分布的初步設(shè)計(jì)，對(duì)結(jié)構(gòu)的性能有重要的影響;局部?jī)?yōu)化是在概念設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上再對(duì)局部進(jìn)行形狀優(yōu)化，以消除局部的剛度不足或應(yīng)力集中的情況。本文中只針對(duì)體現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的概念設(shè)計(jì)方案進(jìn)行分析討論。

本例中轉(zhuǎn)向節(jié)采用CNC數(shù)控加工工藝，建模過程在考慮加工刀具的可達(dá)空間和工件的裝夾等因素的基礎(chǔ)上，比較忠實(shí)地還原了拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的細(xì)節(jié)特征，如圖7所示。優(yōu)化后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在細(xì)節(jié)上比較粗糙，為了使其結(jié)構(gòu)比較規(guī)整而便于制造，初步設(shè)計(jì)主要通過直邊與倒圓角組合的方式來貼近優(yōu)化后拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的幾何圖形的邊緣，而局部的肋板細(xì)節(jié)則通過建立與其厚度相近的等厚肋板來實(shí)現(xiàn)，從而建立新方案的參數(shù)化幾何模型。建立優(yōu)化后設(shè)計(jì)方案的有限元模型，通過表1的載荷工況再對(duì)其進(jìn)行分析驗(yàn)證，其結(jié)構(gòu)的各方面性能指標(biāo)均有顯著提升，同時(shí)質(zhì)量有所減輕，達(dá)到了設(shè)計(jì)目的，見表2。

表2 優(yōu)化前后的性能對(duì)比

對(duì)新轉(zhuǎn)向節(jié)的概念設(shè)計(jì)方案進(jìn)行強(qiáng)度校核發(fā)現(xiàn)，最大應(yīng)力值為95.2MPa，出現(xiàn)在制動(dòng)力作用下的卡鉗安裝支架處，見圖8。相比于優(yōu)化前150MPa的最大應(yīng)力值有顯著下降。轉(zhuǎn)向節(jié)所采用2024鋁合金的屈服強(qiáng)度超過245MPa，安全系數(shù)接近3，滿足使用要求，所以新的結(jié)構(gòu)方案強(qiáng)度也優(yōu)于原結(jié)構(gòu)。

3 結(jié)論

(1)運(yùn)用帶權(quán)重的折衷規(guī)劃法建立了轉(zhuǎn)向節(jié)以多工況下的靜態(tài)剛度和1階固有頻率最大化為目標(biāo)函數(shù)的綜合優(yōu)化模型，進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。根據(jù)優(yōu)化的結(jié)果，結(jié)合實(shí)際工藝設(shè)計(jì)出轉(zhuǎn)向節(jié)新結(jié)構(gòu)概念方案并進(jìn)行了驗(yàn)證與校核。

(2)以方程式賽車的轉(zhuǎn)向節(jié)為實(shí)例，運(yùn)用該方法進(jìn)行轉(zhuǎn)向節(jié)的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化。結(jié)果表明，優(yōu)化后方案在輕量化基礎(chǔ)上使多工況下柔度顯著減輕，動(dòng)態(tài)1階固有頻率顯著增大，達(dá)到了多目標(biāo)優(yōu)化目的。同時(shí)表明，運(yùn)用折衷規(guī)劃法的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行轉(zhuǎn)向節(jié)優(yōu)化設(shè)計(jì)是可行且有效的。

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