李春曦， 陳朋強， 葉學民

（華北電力大學電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與控制教育部重點實驗室，保定 071003）

凹槽基底上含不溶性活性劑液膜的流動特性

李春曦， 陳朋強， 葉學民

（華北電力大學電站設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與控制教育部重點實驗室，保定 071003）

針對凹槽基底上含不溶性活性劑液膜的流動過程，采用潤滑理論建立液膜厚度和濃度演化模型，通過數(shù)值模擬得到液膜的流動特性及相關(guān)參數(shù)的影響規(guī)律.研究表明：含不溶性活性劑液膜在凹槽基底上流動時，重力和活性劑濃度梯度引起的Marangoni力對液膜的流動起促進作用，表面活性劑通過引起表層液體流動進而牽引內(nèi)部液體運動，但其作用力相對重力較弱，重力起主導作用；與基底尺寸有關(guān)的粘性力則起阻礙作用；提高邦德數(shù)G和減小毛細力數(shù)C具有減弱液膜變形的作用；增大凹槽高度或減小凹槽斜度，均使Marangoni力增加，促使液膜變形加大.

活性劑；液膜；凹槽基底；流動

0 引言

液膜流動過程是流體力學研究中的基礎(chǔ)性課題，在諸如薄膜涂布、熱交換器、微流體等許多領(lǐng)域有著重要的應用.首先，近年來MEMS等技術(shù)的發(fā)展使得微米尺度甚至納米尺度的超薄液膜流動在流體力學領(lǐng)域備受關(guān)注.隨尺度減小，基底表面性質(zhì)必將對液膜流動產(chǎn)生重要影響，如表面粗糙度［1－2］，基底表面的微結(jié)構(gòu)［3］等.有時為技術(shù)需要，甚至通過在平整基底表面人為設(shè)置凹槽或噴涂特殊物質(zhì)以形成凸起來增強基底表面的流動和傳熱性能［4］.其次，液膜流動常常涉及表面活性物質(zhì)的影響.在薄膜介質(zhì)中加入表面活性劑，不僅會改變其動力學和傳熱特性，而且也會改變物系的界面狀態(tài)，從而影響鋪展、潤濕及粘附等過程.而且上述影響液膜流動的兩個因素常常耦合在一起，使問題變得更復雜.

目前，對于平整基底上液膜流動的研究已廣泛開展，胡國輝等［5］用Galerkin有限元法通過數(shù)值模擬振動斜板上的下落薄液膜流動，分析了不同初始擾動頻率和強迫頻率的影響.周軼等［6］采用Boltzmann方法研究了液滴相繼撞擊液膜的流動過程，結(jié)果表明液滴間距對撞擊后液膜形狀有很大的影響.對于非平整基底上液膜流動的研究也已取得一些標志性進展.Stillwagon和Larson［7］采用潤滑理論對離心力下薄液膜在凹槽基底上的旋轉(zhuǎn)涂層過程進行了理論研究，推導出液膜厚度演化方程，并與實驗結(jié)果相比較，得到了離心力對液膜流動特性的影響.Kalliadasis等［8］利用前者推導出的液膜厚度方程進行了更深入的研究，證實了基底的非平整性可改變液膜氣液界面曲率、造成由毛細力梯度引起的液膜隆起和凹陷現(xiàn)象，且隆起出現(xiàn)在負向臺階處，凹陷出現(xiàn)在正向臺階處.Tatiana等［9］采用長波理論和數(shù)值模擬方法分析了波紋狀基底上底部受熱液膜的流動過程和穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)熱毛細力使液膜在基底表面凹陷處堆積形成隆起，而在基底表面凸起處變薄，且較平整基底穩(wěn)定性變差.樸明日等［10］對傾斜連續(xù)矩形壁面上薄膜的流動進行直接數(shù)值模擬，研究了壁面結(jié)構(gòu)對液膜流動演化過程的影響.

對于含活性劑液膜流動的研究主要集中于平整基底.Craster和Matar等采用潤滑理論先后研究了含不溶性活性劑和可溶性活性劑液滴／液膜的鋪展過程，應用模態(tài)化理論［11］和非模態(tài)化理論［12］研究了鋪展過程的穩(wěn)定性特征；Edmonstone和Matar［13］針對傾斜面上含不溶性活性劑的液膜鋪展過程，研究了多種參數(shù)對液膜流動的影響，并模擬了指進現(xiàn)象；王松嶺等［14－15］建立了活性劑溶液在界面熱效應下鋪展演化的理論模型，對底部或上部加熱狀態(tài)下液滴的鋪展過程進行了數(shù)值計算，分析了各種參數(shù)的影響；葉學民等［16］研究了重力、分子間作用力、滑移尺度、Marangoni效應對液膜去濕過程不同階段的影響；馬學虎等［17］通過實驗方法考察了表面活性劑通過改變液體表面張力對垂直下降液膜厚度變化的影響.

總之，針對非平整基底上的純液膜流動和平整基底上含表面活性劑溶液鋪展過程的研究較多，而當含有表面活性劑時，不僅會改變液膜的流動特征，而且也在一定程度上改變基底性質(zhì)對液膜流動的影響，因此非平整基底上含表面活性劑液膜的流動還需深入研究.本文通過建立含不溶性活性劑液膜在凹槽基底上流動的演化方程組，進而分析活性劑和凹槽基底共同作用下的液膜流動特征，以及基底參數(shù)、初始活性劑濃度、毛細力數(shù)和邦德數(shù)等影響.

1 理論模型和演化方程組

1.1 液膜流動物理模型

圖1為重力作用下，含不溶性活性劑液膜流經(jīng)傾斜凹槽的示意圖.凹槽基底函數(shù)為s*（x*），其高度為D*，寬度為2w*，斜度為δ*，斜面傾角為θ．假設(shè)活性劑溶液為不可壓縮牛頓等溫流體，動力粘度μ*和密度ρ*為常數(shù)，即不隨溫度和濃度而改變；流動處于層流狀態(tài)；壁面為無滑移無滲透邊界，液膜自由表面外側(cè)為無粘性氣體，且不考慮相變、蒸發(fā)及熱交換條件；在所述幾何條件下可忽略表面法線方向上的任何運動；慣性力忽略不計；H*為液膜特征厚度，L*為基底特征長度，液膜厚度與流動方向尺度相比非常?。ㄉ蠘?代表有量綱量），即ε＝H*／L*?1，則適用潤滑理論［18］．其中各參數(shù)的數(shù)量級為H*～10－5m，L*～10－3m，μ*～10－3Pa·s，ρ*～103kg·m－3.

1.2 演化方程組

不可壓縮牛頓流體運動的控制方程為

式中：u*＝（u*，w*）為速度矢量，p*為壓強．g*為重力加速度矢量，g*＝（g*sinθ，－g*cosθ）.

低濃度時的表面張力關(guān)系式為

式中：σ*為表面張力，為由濃度引起的表面張力梯度.

在固體壁面處，滿足無滑移、無滲透條件

氣液界面上，滿足切向和法向應力平衡方程

式中：n*和t*為界面處單位法向和切向矢量，T*為液體的應力張量，k*為界面平均曲率.

氣液界面上的運動學邊界條件為

表面活性劑濃度的對流－擴散方程為

采用下列無量綱表達式對上述方程及邊界條件進行無量綱化

式中，U*＝S*H*／μ*L*，為Marangoni速度；S*＝－，為鋪展系數(shù)，和分別為無活性劑時和液膜表面活性劑濃度最高時的表面張力；為液膜表面活性劑分子的最大濃度；G＝ρ*g*H*L*／S*，為邦德數(shù).

對于無量綱化后的方程組，依據(jù)潤滑理論保留數(shù)量級為≥O（ε）的項，可得

式中，氣液界面處的Peclet數(shù)Pe＝U*L*／．

表面張力關(guān)系式為

無量綱形式的邊界條件為

在體系建設(shè)過程中要打破職能部門之間的界限，才能將控制置于醫(yī)院經(jīng)濟活動的全過程，形成主要領(lǐng)導負責，分管領(lǐng)導主抓，專職部門牽頭推動，各職能部門分工負責，全院職工共同參與的內(nèi)控格局，最終實現(xiàn)“全員參與，共同實施”的目標。這樣就能夠做到將內(nèi)部控制責任進行明確，各參與人都能夠意識到自己的到位，到時候只需要內(nèi)部控制部門根據(jù)相應的制度進行考核就能夠與達到將內(nèi)部控制責任明確到各個職工中，最終為內(nèi)部控制的追責體系的構(gòu)建打下堅實的基礎(chǔ)。

結(jié)合式（9）～（17），通過積分可得液膜橫向速度梯度，液膜厚度和表面活性劑濃度的演化方程組

粘性力沿流動方向的分布

2 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

2.1 數(shù)值模擬初始條件及邊界條件

根據(jù)有限元空間離散化分析和Gear時間分析法，采用PDECOL程序［11－12］求解演化方程組（19）和式（20）.選?。?0＜x＜20的一維區(qū)域進行計算，模擬中對網(wǎng)格數(shù)為1 000、2 000和3 000等進行了無關(guān)性驗證，網(wǎng)格數(shù)為2 000和3 000的誤差僅為0.06%.在滿足精度和減少計算時間的條件下，將計算區(qū)域劃分為2 000的均勻網(wǎng)格.文中所用無量綱參數(shù)的數(shù)量級范圍：C＝10－4～10－1，M＝0～102，Pe＝10－2～104，下文計算中如無特殊說明，取值如下：C＝0.1，M＝1，Pe＝100，G＝1，θ＝30°.

程序中的初始條件為

式中，默認基底高度D＝5，寬度2w＝10，斜度δ＝0.1.

程序中的邊界條件為

2.2 無重力影響下的液膜流動特性

在無重力情形（G＝0）下，須對活性劑初始濃度施加擾動，取Γ（x，0）＝exp（－0.05x2）.由圖2（a）中平整基底上液膜表面形狀可知，液膜的流動變形主要是由活性劑濃度梯度產(chǎn)生的Marangoni力所引起.而凹槽基底的存在一方面使得液膜的流動變形變小，即峰谷差減小，其原因是凹槽基底的存在使臺階處的粘性力增加（圖2（c）），抑制液膜的變形；另一方面，使波峰位置出現(xiàn)在臺階處的原因是增大的粘性力與Marangoni力在此處重新達到了平衡.由圖4可知，負向臺階處，從壁面到液膜表面間的速度遞增，而粘性力逐漸減小，總粘性力的增大是壁面粘性力與液體內(nèi)部粘性力共同作用的結(jié)果，從而迫使波峰位置出現(xiàn)在臺階處.此外，粘性力的增大使液膜中心區(qū)域表面活性劑向兩側(cè)移動的速度減慢，受質(zhì)量守恒約束，最終表面活性劑濃度分布集中性變強、分布區(qū)域變?。▓D2（b））.但忽略重力影響時，凹槽基底的存在對液膜流動變形及活性劑濃度分布的影響并不明顯.

圖3為活性劑初始濃度變化對液膜流動特性的影響.該圖表明，隨初始濃度增大，Marangoni力增強，加速液膜由高濃度向低濃度方向流動，從而使得峰谷差加大，引起更明顯的變形.且受Marangoni力增大影響，其與粘性力的平衡點向臺階處移動，波峰隨之偏移（圖3（a））.這表明無重力情形下，活性劑具有加劇液膜流動變形的作用.由圖3（b）可知，隨活性劑初始濃度增加，活性劑濃度的分布仍呈現(xiàn)相似的變化規(guī)律，但由于液膜表面壓力分布波動性變大（圖3（c）），臺階處活性劑濃度分布均勻性變差，進一步表明由Marangoni力引起的表面張力變化顯著，從而使得液膜表面變形突出.

2.3 重力影響下的液膜流動特性

令活性劑初始濃度Γ（x，0）為常數(shù)，則可分析邦德數(shù)、基底特征尺寸和毛細力數(shù)對液膜流動的影響.如圖5（a）所示，無活性劑時，受重力與凹槽基底共同作用，液膜在進入凹槽前形成隆起，在離開凹槽前形成凹陷，且隆起高度要大于凹陷深度，這與文獻［8］中的現(xiàn)象相吻合.其原因是在隆起處，液膜表面的壓力較大，液膜流速減小，液膜厚度增加；而在凹陷處則正好相反，并且隆起處的壓力絕對值大于凹陷處（圖5（b））.只是受凹槽臺階影響，液膜的隆起與凹陷處并沒有對應于壓力的峰谷值.含活性劑時，液膜表面變化幅度變小，隆起高度和凹陷深度都在減?。▓D5（a）），這是因為受活性劑濃度影響，隆起處和凹陷處液膜表面壓力的絕對值均在減小（圖5（b））.表明在重力影響下，活性劑的存在可抑制基底對液膜流動的影響，從而對液膜的流動起促進作用.此外與圖2（a）相比發(fā)現(xiàn)，有無重力情形下的液膜表面形狀相差很大，表明重力是驅(qū)動液膜流動變形的主導因素.

無活性劑時，液膜厚度在凹槽臺階即x＝±5處附近達到極小值，即Kalliadasis等［8］所指的“pinch”特征，而在x＝－5兩側(cè)和x＝5處出現(xiàn)波峰（圖5（c）），這也與文獻［8］的結(jié)果相一致.而含活性劑時，凹槽臺階附近的活性劑濃度梯度發(fā)生急劇變化（圖5（d）），由此產(chǎn)生的Marangoni力使得在x＝－5左側(cè)和x＝5處的液膜厚度峰值明顯減小，而在x＝－5處和x＝5左側(cè)的液膜厚度谷值略微減?。@是因為在x＝－5左側(cè)和x＝5處，重力與Marangoni力的方向相同，液膜流動加快，使得液膜厚度變小，而在x＝－5處和x＝5左側(cè)，重力與Marangoni力的方向相反，液膜流動減弱，導致液膜厚度有所增加.

為進一步研究液膜流動的內(nèi)在機理，現(xiàn)比較相關(guān)作用力的權(quán)重.式（19）中的三項分別為為毛細力項、重力項和Marangoni力項.圖6中正負值分別表示使液膜增厚和減薄，可以得出：①毛細力的影響在x＝±5附近波動較大，結(jié)合圖5（c）中液膜厚度變化可知，毛細力是導致液膜表面變形的主要因素；②重力在靠近x＝－5區(qū)域內(nèi)使液膜變薄，而在此區(qū)域之外使液膜變厚；在靠近x＝5區(qū)域內(nèi)使液膜增厚，而在此區(qū)域的左側(cè)使液膜減薄.這與圖5（c）中液膜厚度變化趨勢相一致，再次表明重力是驅(qū)動液膜流動變形的主導因素；③Marangoni力對液膜流動的影響與前二者相比并不明顯；④三者在正向臺階處的影響作用都要比在負向臺階處大，尤其是毛細力的影響，這表明正向臺階與負向臺階的流動特性不同.

圖7為邦德數(shù)的影響.隨G增大，凹槽臺階附近的活性劑濃度梯度變化減弱，負向臺階處尤其明顯，受界面曲率變化影響，液膜進入凹槽前處活性劑濃度峰值減小，離開凹槽前處活性劑濃度峰值先增大后減小，并受重力驅(qū)動作用，均有向流動方向移動的趨勢（圖7（b））.由此導致臺階處液膜表面壓力峰谷值均變?。▓D7（c）），負向臺階處流速增大，正向臺階處流速減小.因此液膜進入凹槽前的隆起高度和離開凹槽前的凹陷深度均在減小，并均有沿流動方向偏移的趨勢，且隆起的減小速度明顯比凹陷要快（圖7（a）），表明重力作用與活性劑類似可抑制基底對液膜的流動，這與文獻［8］中的結(jié)論相符.與重力直接推動液膜流動不同，活性劑則通過改變液膜表面張力，進而依靠粘性力促進液膜的流動.

基底特征尺寸影響如圖8所示.凹槽寬度w變化時，表面壓力分布中的峰谷值未發(fā)生變化，只是位置發(fā)生改變，這是由于重力、Marangoni力與粘性力在新的位置點達到平衡所致.因此，凹槽寬度增加時，液膜自由表面的形狀基本不變，只是隆起和凹陷向臺階處移動（圖8（a））；活性劑濃度分布亦呈現(xiàn)類似特征（圖8 （b））.這表明在一定范圍內(nèi)，凹槽寬度的變化對液膜流動的形狀及活性劑濃度分布并沒有影響.

圖9表明，隨凹槽高度D增加時，基底不平整性增強，曲率變大.由于重力大小和方向不變，在x＝－5左側(cè)和x＝5處，Marangoni力與重力方向一致，產(chǎn)生壓力峰值，而在x＝－5處和x＝5左側(cè)，Marangoni力與重力方向相反，產(chǎn)生壓力波谷，說明壓力的變化主要受Marangoni力影響.隨D增加，活性劑濃度峰谷值增大，波峰值變化程度明顯大于波谷值，且x＝5處峰谷值增大幅度更為顯著（圖9（b））.由此導致液膜表面壓力分布中的峰谷值均增大，左側(cè)峰谷值改變尤其明顯，且x＝－5左側(cè)波峰稍向右發(fā)生偏移，x＝5左側(cè)波谷稍向左發(fā)生偏移（圖9（c））.因此，液膜進入凹槽前的隆起向右側(cè)稍微偏移，且高度增大，離開凹槽前的凹陷向左側(cè)偏移，且深度增加（圖9（a））.

圖10為基底斜度的影響.當凹槽斜度δ增大時，基底不平整性減弱，曲率變小.活性劑濃度、液膜表面壓力及液膜表面變化內(nèi)在機理與凹槽高度增加時正好相反.臺階兩側(cè)的活性劑濃度梯度減小，尤其是負向臺階處（圖10（b）），壓力分布中的峰谷值均變小，且x＝－5左側(cè)波峰稍向左發(fā)生偏移，x＝5左側(cè)波谷稍向右發(fā)生偏移（圖10（c））.液膜進入凹槽前的隆起向左側(cè)稍微偏移，且高度減小，離開凹槽前的凹陷向右側(cè)偏移，且深度稍微變?。▓D10（a））.

毛細數(shù)C的影響如圖11所示.隨C增大，液膜表面的變形更加明顯，尤其是隆起程度更顯著，且隆起和凹陷的位置均向左側(cè)偏移.這與以往的液膜表面變化隨C增大而減小的結(jié)論不同.這是因為由式（21）知，增加C使得粘性力提高，導致液膜流動受阻；此外由C定義知，C越大表明由活性劑濃度梯度引起的Marangoni力越小，因此液膜流動減慢.以上兩種因素均會使得液膜變形更為顯著.值得注意的是，當C＜0.01時，液膜自由表面將不再有隆起和凹陷現(xiàn)象，因為此時與基底尺寸有關(guān)的粘性力的作用很小，液膜在重力和Marangoni力的驅(qū)動下，迅速流過凹槽.同時毛細力數(shù)的增大還會影響表面活性劑分布，粘性力越大，活性劑越不易擴散，因而導致活性劑濃度分布隆起程度進一步增大（圖11（b））.

3 結(jié)論

1）含不溶性活性劑液膜在凹槽基底上流動時，重力起主導作用，毛細力對液膜的變形起主要作用，活性劑濃度的影響最小.重力和活性劑濃度梯度引起的Marangoni力對液膜的流動起促進作用，與重力直接推動液膜流動不同，表面活性劑通過改變液膜表面張力引起表層液體發(fā)生流動，進而牽引內(nèi)部液體運動，與基底尺寸有關(guān)的粘性力則對液膜的流動起阻礙作用.

2）無重力影響時，液膜流動主要受活性劑濃度梯度引起的Marangoni力驅(qū)動，提高活性劑初始濃度，可加快液膜流動，并使液膜變形顯著，而凹槽基底的存在對液膜的流動起阻礙作用.與純液膜相比，含活性劑時，液膜表面變化幅度變小，且隆起高度和凹陷深度均有所減小.在正向和負向臺階處，Marangoni力分別和重力的作用方向相反和相同，從而液膜厚度變化特征不同；考慮重力影響時，邦德數(shù)G越大，液膜變形越??；增加凹槽高度，減小斜度，均使Marangoni力增大，導致液膜變形程度增大，在一定范圍內(nèi)，凹槽寬度的變化對活性劑濃度梯度分布沒有影響，故液膜變形并不明顯.增大毛細力數(shù)C，使得粘性力提高，導致液膜流動受阻，隆起和凹陷變明顯.

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Flow of Thin Film Containing Insoluble Surfactant over Grooving Topography Surface

LI Chunxi，CHEN Pengqiang，YE Xuemin
（Key Laboratory of Condition Monitoring and Control for Power Plant Equipment，North China Electric Power University，Baoding 071003，China）

For flowing of thin film containing insoluble surfactant over grooving substrate，lubrication theory is adopted for evolution equations of liquid film thickness and interfacial surfactant concentration.Film flowing characteristics and the effects of related parameters are numerically simulated.It shows that as thin film of insoluble surfactant flowing over grooving topography，gravity and Marangoni stress driven by surfactant promotes flow of liquid film.Gravity plays a leading role since influence of surfactant is limited by flows of surface liquid and adjacent bulk liquid.Viscous force associated with topography has an opposite effect.Film deformation is weak as improving Bond number or reducing capillary number.Increasing groove depth or decreasing groove steepness encourages film deformation as improving Marangoni stress.

surfactant；film；grooving topography；flow

date：2013－07－04；Revised date：2013－12－02

TK121；O351

A

1001-246X（2014）03-0314-09

2013－07－04；

2013－12－02

國家自然科學基金（10972077，11202079）及中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金（13MS97）資助項目

李春曦（1973－），女，博士，副教授，主要從事流體力學理論及應用、活性劑鋪展過程及流體機械等方面的研究，E-mail：leechunxi＠163.com