〓〓例:設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點,A(2.0),B(0.1)是它的兩個頂點,直線y=kx(k>0)與 AB相交于D點,與橢圓相交于 E、F兩點.(Ⅰ)若■=6■,求k的值;(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.
〓〓這道題給出了標(biāo)準(zhǔn)答案,但是有“跳步”的現(xiàn)象,學(xué)生不易理解.我和張老師一邊自己做題目,一邊討論問題,相當(dāng)于下棋中的“復(fù)盤”.
〓〓解:(Ⅰ)依題設(shè)得橢圓的方程為■+y■=1,
〓〓直線AB,EF的方程分別為x+2y=2,y=kx(k>0).
〓〓如圖,設(shè)D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(xiàn)(x2,kx2),其中x1 且x1,x2滿足方程(1+4k2)x2=4, 〓〓故x2=-x1=■① 〓〓由■=6■知x0-x1=6(x2-x0),得x0=■(6x2+x1)=■x2=■; 〓〓由D在AB上知x0+2kx0=2,得x0=■. 〓〓所以■=■, 〓〓化簡得24k2-25k+6=0, 〓〓解得k=■或k=■. 〓〓對于第(Ⅱ)問,我們討論了四邊形面積怎么求,可以看成S△ABE+S△ABF,線段AB的長度容易求,還要用到點到直線的距離公式;也可以看成S△BEF+S△AEF,要用到弦長公式和點到直線的距離公式.兩種方法都可以,這要看每個人的“棋風(fēng)”是怎樣的,是偏穩(wěn)重的,還是偏激進冒險的.相對來說,解法一是比較穩(wěn)重的,三角形的邊AB上的高和面積都用變量k表示出來. 〓〓(Ⅱ)解法一:根據(jù)點到直線的距離公式和①式知,點E、F到AB的距離分別為 h1=■=■, h2=■=■. 〓〓又AB=■=■,所以四邊形AEBF的面積為 S=■AB(h■+h■)= ■·■=■ =2■≤2■, 〓〓當(dāng)做到S=■時,張老師問怎么辦,我說要把1+2k放在根號里面去,張老師將上式變形為S=2■,我說要用分離常數(shù)法,然后分子分母同時除以k,轉(zhuǎn)化為基本不等式的模型來做,他說是哦,就沒有往下“復(fù)盤”.當(dāng)然,對于學(xué)生來說,他們要多一些時間來消化,他們肯定要繼續(xù)做下去的. 〓〓當(dāng)2k=1,即當(dāng)k=■時,上式取等號.所以S的最大值為2■. 〓〓解法二:由題設(shè),BO=1,AO=2. 〓〓設(shè)y1=kx1,y2=kx2,由①得x2>0,y2=-y1>0, 〓〓故四邊形AEBF的面積為S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2. 〓〓怎么面積S的表達式那么簡單?于是我嘗試了一下我的心算能力,希望能夠接近下棋中的“盲棋”的地步.我沒有在紙上寫出過程,而是心想:弦長公式為EF=■x■-x■=2x■■,這里面有■,計算結(jié)果怎么會沒有了呢?這時張老師提示說求點B到直線EF的距離等于■,■剛好約分約掉了. S=■=■≤■=2■, 〓〓當(dāng)時x2=2y2,上式取等號.所以S的最大值為2■. 〓〓當(dāng)時S=x2+2y2,要怎么往下走,要注意到點在橢圓上,滿足 x■■+4y■■=4(關(guān)鍵時刻要觀察整個棋局的大勢),又x2+2y2>0,所以要把S變形為■=■,這時x■■+4y■■為一個定值,而4x■y■要用基本不等式了.課堂上不一定能講到這里,但是我們作為數(shù)學(xué)老師,此時感受到了這道題的精妙所在,剛好能夠用到已知條件,剛好能用基本不等式!比較難的數(shù)學(xué)問題往往要推導(dǎo)到差不多時才能看出它所用的數(shù)學(xué)模型. 〓〓討論數(shù)學(xué)問題如下棋,一步一步推導(dǎo),就是一步一步“下棋”的過程,有的時候要走一步看三步,有的時候甚至可以下“盲棋”,鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維,以達到“下棋”的最高境界! 責(zé)任編輯〓羅〓峰