〓〓例:設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),A(2.0),B(0.1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn),直線y=kx(k>0)與 AB相交于D點(diǎn),與橢圓相交于 E、F兩點(diǎn).(Ⅰ)若■=6■,求k的值;(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.
〓〓這道題給出了標(biāo)準(zhǔn)答案,但是有“跳步”的現(xiàn)象,學(xué)生不易理解.我和張老師一邊自己做題目,一邊討論問題,相當(dāng)于下棋中的“復(fù)盤”.
〓〓解:(Ⅰ)依題設(shè)得橢圓的方程為■+y■=1,
〓〓直線AB,EF的方程分別為x+2y=2,y=kx(k>0).
〓〓如圖,設(shè)D(x0,kx0),E(x1,kx1),F(xiàn)(x2,kx2),其中x1 且x1,x2滿足方程(1+4k2)x2=4, 〓〓故x2=-x1=■① 〓〓由■=6■知x0-x1=6(x2-x0),得x0=■(6x2+x1)=■x2=■; 〓〓由D在AB上知x0+2kx0=2,得x0=■. 〓〓所以■=■, 〓〓化簡(jiǎn)得24k2-25k+6=0, 〓〓解得k=■或k=■. 〓〓對(duì)于第(Ⅱ)問,我們討論了四邊形面積怎么求,可以看成S△ABE+S△ABF,線段AB的長(zhǎng)度容易求,還要用到點(diǎn)到直線的距離公式;也可以看成S△BEF+S△AEF,要用到弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式.兩種方法都可以,這要看每個(gè)人的“棋風(fēng)”是怎樣的,是偏穩(wěn)重的,還是偏激進(jìn)冒險(xiǎn)的.相對(duì)來說,解法一是比較穩(wěn)重的,三角形的邊AB上的高和面積都用變量k表示出來. 〓〓(Ⅱ)解法一:根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知,點(diǎn)E、F到AB的距離分別為 h1=■=■, h2=■=■. 〓〓又AB=■=■,所以四邊形AEBF的面積為 S=■AB(h■+h■)= ■·■=■ =2■≤2■, 〓〓當(dāng)做到S=■時(shí),張老師問怎么辦,我說要把1+2k放在根號(hào)里面去,張老師將上式變形為S=2■,我說要用分離常數(shù)法,然后分子分母同時(shí)除以k,轉(zhuǎn)化為基本不等式的模型來做,他說是哦,就沒有往下“復(fù)盤”.當(dāng)然,對(duì)于學(xué)生來說,他們要多一些時(shí)間來消化,他們肯定要繼續(xù)做下去的. 〓〓當(dāng)2k=1,即當(dāng)k=■時(shí),上式取等號(hào).所以S的最大值為2■. 〓〓解法二:由題設(shè),BO=1,AO=2. 〓〓設(shè)y1=kx1,y2=kx2,由①得x2>0,y2=-y1>0, 〓〓故四邊形AEBF的面積為S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2. 〓〓怎么面積S的表達(dá)式那么簡(jiǎn)單?于是我嘗試了一下我的心算能力,希望能夠接近下棋中的“盲棋”的地步.我沒有在紙上寫出過程,而是心想:弦長(zhǎng)公式為EF=■x■-x■=2x■■,這里面有■,計(jì)算結(jié)果怎么會(huì)沒有了呢?這時(shí)張老師提示說求點(diǎn)B到直線EF的距離等于■,■剛好約分約掉了. S=■=■≤■=2■, 〓〓當(dāng)時(shí)x2=2y2,上式取等號(hào).所以S的最大值為2■. 〓〓當(dāng)時(shí)S=x2+2y2,要怎么往下走,要注意到點(diǎn)在橢圓上,滿足 x■■+4y■■=4(關(guān)鍵時(shí)刻要觀察整個(gè)棋局的大勢(shì)),又x2+2y2>0,所以要把S變形為■=■,這時(shí)x■■+4y■■為一個(gè)定值,而4x■y■要用基本不等式了.課堂上不一定能講到這里,但是我們作為數(shù)學(xué)老師,此時(shí)感受到了這道題的精妙所在,剛好能夠用到已知條件,剛好能用基本不等式!比較難的數(shù)學(xué)問題往往要推導(dǎo)到差不多時(shí)才能看出它所用的數(shù)學(xué)模型. 〓〓討論數(shù)學(xué)問題如下棋,一步一步推導(dǎo),就是一步一步“下棋”的過程,有的時(shí)候要走一步看三步,有的時(shí)候甚至可以下“盲棋”,鍛煉自己的數(shù)學(xué)思維,以達(dá)到“下棋”的最高境界! 責(zé)任編輯〓羅〓峰