〓〓隨著折紙技術(shù)的發(fā)展，人們?cè)谡奂堖^(guò)程中發(fā)現(xiàn)許多與數(shù)學(xué)有關(guān)的的問(wèn)題，并運(yùn)用幾何學(xué)知識(shí)加以解決.折紙可以作為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行研究，這使得折紙逐步發(fā)展為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支，成為科學(xué)研究和教學(xué)的工具.初中幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，如果能夠把折紙活動(dòng)引入課堂，既可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可以培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀(guān)察能力，使學(xué)生建立起動(dòng)手操作與動(dòng)腦思考的聯(lián)系，從而促進(jìn)思維能力的發(fā)展.

〓〓一、折紙?jiān)诙ɡ硗茖?dǎo)中的運(yùn)用

1. 三角形內(nèi)角和定理的推導(dǎo)

〓〓（1）操作用紙：長(zhǎng)方形紙.

〓 （2）操作步驟：①在長(zhǎng)方形的AD邊上任意取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P、B兩點(diǎn)折疊，折痕為PB（如圖1）；②以同樣方法再過(guò)點(diǎn)P、C兩點(diǎn)折疊，折痕為PC.得到△PBC（如圖2）.

〓〓（3）觀(guān)察與思考：在△PBC中，三個(gè)內(nèi)角∠BPC，∠PBC，∠PCB的和為多少？

〓〓（4）思維引導(dǎo)：由于長(zhǎng)方形對(duì)邊AB∥BC，故可得∠PBC=∠APB，∠PCB=∠DPC，從而把△PBC的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角上，得出△PBC內(nèi)角和為180°.

〓〓（5）定理證明：根據(jù)折紙所得的思路，引導(dǎo)學(xué)生過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊平行線(xiàn)，完成定理的證明.

〓〓2. 含30°角的直角三角形性質(zhì)的推導(dǎo)

〓〓（1）操作用紙：長(zhǎng)方形或正方形.

〓〓（2）裁出含角的直角三角形的方法：①將長(zhǎng)方形（或正方形）紙的一組對(duì)邊與重合對(duì)折，折痕記為（如圖3）；②將點(diǎn)A折到EF上，且讓折痕通過(guò)點(diǎn)B，折痕記為BH（如圖4）；③把△ABH剪下，即為含30°角的直角三角形.

〓〓（3）性質(zhì)探索：過(guò)點(diǎn)H把直角邊AH對(duì)折到斜邊BH上，折痕為GH，點(diǎn)A'為點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（如圖5）.再把點(diǎn)B與點(diǎn)H重合對(duì)折（如圖6），可以發(fā)現(xiàn)折痕正好為A'G，從而得到AH=A'H=A'B，即AH=■BH.

〓〓（4）定理證明：根據(jù)折紙的發(fā)現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生在BH上取一點(diǎn)A′，使A′H=AH，再過(guò)點(diǎn)A′作A′G⊥BH交AB于G，再進(jìn)行證明.

〓〓二、折紙?jiān)诮虒W(xué)活動(dòng)中的應(yīng)用

〓〓1. ■長(zhǎng)方形

〓〓《二次根式》單元活動(dòng)中，給出了常打印紙張的長(zhǎng)和寬，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算器發(fā)現(xiàn)這個(gè)比值與■的關(guān)系.一般把長(zhǎng)與寬的比為■:1的長(zhǎng)方形稱(chēng)為■長(zhǎng)方形.這個(gè)關(guān)系通過(guò)折紙活動(dòng)很容易得出.

〓〓（1）操作體驗(yàn)

〓〓①將A4長(zhǎng)方形紙ABCD的短邊AB折到AD上，折痕為AE（如圖7）.②過(guò)點(diǎn)A將AD折到AE上，折痕為AF（如圖8）.通過(guò)折疊發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D剛好與點(diǎn)E重合.

〓〓（2）思考分析

由AD與AE重合，得AD=AE.若設(shè)AB=1，則AD=AE=■，故長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)與寬的比為■:1.

〓〓（3）拓展延伸

〓〓①把A4長(zhǎng)方形紙ABCD較短的對(duì)邊AB與CD重合對(duì)折，折痕為EF（如圖9），所得的兩個(gè)全等的長(zhǎng)方形也是■長(zhǎng)方形.

〓〓②計(jì)算：由于ABCD是■長(zhǎng)方形，設(shè)AB=1，則ED=■AD=■，故EF:ED=1:■=■:1，可得兩個(gè)長(zhǎng)方形均為■長(zhǎng)方形.

〓〓若把長(zhǎng)方形繼續(xù)對(duì)折下去，每次對(duì)折所得的長(zhǎng)方形均為■長(zhǎng)方形（如圖10）.

〓〓2. 黃金矩形

〓〓寬與長(zhǎng)的比是■（約為0.618）的矩形叫做黃金矩形.黃金矩形給人以協(xié)調(diào)、勻稱(chēng)的美感.

〓〓在《四邊形》這章節(jié)的教學(xué)活動(dòng)中，教材給出了用長(zhǎng)方形紙折黃金矩形的方法.為簡(jiǎn)化操作，可用正方形進(jìn)行折疊，并用面積法給出證明.

〓〓（1）操作方法

〓〓①將正方形紙ABCD的邊AB與CD重合對(duì)折，折痕為EF.②過(guò)點(diǎn)C、E兩點(diǎn)折疊.③將BC與CD重合對(duì)折，折痕為CH；④過(guò)點(diǎn)H，將AH折到BH上，折痕為HG，則長(zhǎng)方形BCGH為黃金矩形（如圖11）.

〓〓（2）計(jì)算：連接EH，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，BH=x，則CE=■.

S△HCE=■CE·HB'=■x，又S△HCE=S正方形ABCD-S△AHC-S△BHC-S△CDE=2-■x，得■x=2-■x，解得x=■-1，所以矩形BCGH的寬與長(zhǎng)的比為■，故矩形BCGH為黃金矩形.

〓〓三、折紙?jiān)诜治鲋锌碱}中的運(yùn)用

〓〓圖形的變換是初中幾何的重要內(nèi)容.折疊是一種軸對(duì)稱(chēng)變換，每年的中考題中都有很多與折疊相關(guān)的題目.用折紙的方法去分析這些題目，讓學(xué)生親自動(dòng)手嘗試，有助于學(xué)生理解題目，開(kāi)闊思路，從而提高解題能力.

〓〓例1：（2013 河南省中考）如圖12，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，當(dāng)△CEB′為直角三角形時(shí)，BE的長(zhǎng)為 .

〓〓在分析題目前，教師可先讓學(xué)生動(dòng)手嘗試，折出△CEB′為直角三角形的情況，并互相交流不同的折法.學(xué)生通過(guò)嘗試可以發(fā)現(xiàn)，若B′為直角頂點(diǎn)，則A、B′、C三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，也就是把AB折到對(duì)角線(xiàn)AC上（如圖13）.若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，則要把AB折到AD邊上，此時(shí)四邊形ABEB'為正方形（如圖14）.若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則必須把點(diǎn)B折到CD邊上，顯然是做不到的，故共有兩種情況，對(duì)這兩種情況分別解答即可得出答案.

〓〓例2：（2013 蘇州市中考）如圖15，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長(zhǎng)交邊BC于點(diǎn)G．若■=■，則■=（用含k的代數(shù)式表示）．

〓〓可設(shè)CG=1，GB=k，則AD=BC=k+1，故此題的突破點(diǎn)就在如何用k來(lái)表示AB.若讓學(xué)生動(dòng)手去折疊一下，在折紙過(guò)程中很容易發(fā)現(xiàn)，EC可以折到EF上，折痕剛好是EG（如圖16），故AG可表示為2+k，根據(jù)勾股定得出AB=2■，即可得出答案■.

〓〓在折紙過(guò)程的不斷嘗試中，學(xué)生會(huì)加深對(duì)幾何問(wèn)題的理解，不斷提高觀(guān)察能力和想象能力，拓展思路，提高思維能力.把折紙技術(shù)引進(jìn)初中數(shù)學(xué)課堂，利用折紙進(jìn)行輔助教學(xué)，是提高初中幾何教學(xué)效果的有效嘗試.

責(zé)任編輯〓羅峰