〓〓衡量課堂教學(xué)效果的高低雖然有許多不同的標(biāo)準(zhǔn),但是能否引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和充分利用教學(xué)時(shí)間卻是最基本最重要的四個(gè)方面。在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,利用題組教學(xué)可以較好地提升課堂教學(xué)效率。
〓〓1. 引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考
〓〓人文主義教育家羅杰斯說過,真實(shí)的問題情境和活動(dòng)是最能引起態(tài)度和個(gè)性情緒的學(xué)習(xí)方式,結(jié)合教材例題、習(xí)題的基本內(nèi)容,配上一些符合學(xué)生特征的教學(xué)情境,使學(xué)生的情緒受到感染,利用情感對認(rèn)知學(xué)習(xí)的引導(dǎo)作用,驅(qū)動(dòng)、誘導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,發(fā)展數(shù)學(xué)思維。
〓〓如人教版七年級數(shù)學(xué)下冊第23頁第6題第(2)小題:如圖2-1所示,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=度。
〓〓在教學(xué)時(shí)可創(chuàng)設(shè)情境,巧加“誘餌”——會(huì)跳舞的平行線,即將一根橡皮筋系在AB,EF同側(cè)的兩個(gè)端點(diǎn)上,手拿橡皮筋,改變手勢的步伐,可得如下變式:
〓〓(1)勇往直前,勢不可擋。如圖2-2,AB∥EF,求證:∠ACE=∠A+∠E。
〓〓(2)平穩(wěn)一步,靈動(dòng)跳躍。如圖2-3,AB∥EF,求證:∠CAB=∠C+∠E。
〓〓(3)進(jìn)而上移,婀娜多姿。如圖2-4,AB∥EF,求證:∠E=∠A+∠C。
〓〓(4)前進(jìn)兩步,姿勢優(yōu)美。如圖2-5,AB∥EF,求證:∠1+∠2=∠BCF-∠BDF。
〓〓(5)連續(xù)跳動(dòng),夢幻變化。
〓〓①如圖2-6,AB∥EF,求證:∠1+∠2+…+∠n=(n-1)×180■°;
〓〓②如圖2-7,AB∥EF,求證:∠1+∠3=∠2+∠4;
〓〓③如圖2-8,AB∥EF,根據(jù)②的證明猜想,你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論?
〓〓這個(gè)題組5個(gè)變式,通過創(chuàng)設(shè)問題情境,對課本習(xí)題進(jìn)行創(chuàng)新再探,在保留原題設(shè)的前提下,重新創(chuàng)設(shè)問題情境,添加情境“誘餌”,將問題逐步引申、挖掘,深化題目的豐富內(nèi)涵,對培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考大有好處。
〓〓2. 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維
〓〓數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,這是新課標(biāo)數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。在數(shù)學(xué)課堂中,采用題組教學(xué),能較好地提高學(xué)生發(fā)散和化歸的思維能力。
〓〓如人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第110頁第七題:已知四邊形ABCD中,AD∥BC,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn),且MB=MC。求證:四邊形ABCD是等腰梯形。
〓〓此題是“條件不充分”的習(xí)題,可引導(dǎo)學(xué)生尋找“充分條件”的同時(shí),變點(diǎn)“花樣”,作以下思維拓展。
〓〓思維拓展1:將原題的條件改變,把“點(diǎn)M是上底的中點(diǎn)”變?yōu)椤跋碌椎闹悬c(diǎn)”,挖掘內(nèi)在聯(lián)系。
〓〓思維拓展2:將特殊條件一般化,把“點(diǎn)M是梯形底邊上的中點(diǎn)”變?yōu)椤疤菪瓮獠康狞c(diǎn)”,探索上述結(jié)論是否成立。
〓〓思維拓展3:將特殊條件一般化,把“點(diǎn)M是梯形底邊上的中點(diǎn)”變?yōu)椤疤菪蝺?nèi)部的點(diǎn)”,探索上述結(jié)論是否成立。
〓〓思維拓展4:將結(jié)論和條件互換位置,把要證明的結(jié)論“等腰梯形”作為條件,探究新的結(jié)論,從而提高學(xué)生的應(yīng)變能力。
〓〓思維拓展5: 變換條件和結(jié)論,把“底邊上的中點(diǎn)”變?yōu)椤?個(gè)點(diǎn)”,兩腰由“已知相等”變?yōu)椤敖Y(jié)論求證”,提高探索能力。
〓〓從這道題可知,題組教學(xué)有利于學(xué)生對形式各異的眾多數(shù)學(xué)問題進(jìn)行比較,發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,尋找數(shù)學(xué)問題和解決方法的規(guī)律,并進(jìn)行有效的歸類,從而提高化歸能力,使學(xué)生從題海中跳出來,進(jìn)行有效記憶和靈活運(yùn)用,把更多的時(shí)間和精力放在探究和研討上,學(xué)習(xí)更多的數(shù)學(xué)知識,達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果。
〓〓3. 提高課堂時(shí)間利用率
〓〓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的時(shí)間十分寶貴,利用數(shù)學(xué)題組,可以減少教師板書、講解和學(xué)生讀題、審題的時(shí)間,能使教師的講解一氣呵成,從而充分利用時(shí)間,增大課堂容量。
〓〓如在學(xué)習(xí)實(shí)際問題與二次函數(shù)的內(nèi)容之一“如何獲得最大利潤”問題時(shí)。
〓〓問題1:已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元,售價(jià)是每件60元,每星期可賣出300件。市場調(diào)查反映:如果調(diào)整價(jià)格,每漲價(jià)1元,每星期要少賣出10件。要想每周獲得6090元的利潤,該商品定價(jià)應(yīng)為多少元?
〓〓分析:沒調(diào)價(jià)之前商場一周的利潤為6000元,設(shè)銷售單價(jià)上調(diào)了x元,那么每件商品的利潤可表示為(20+x)元,每周的銷售量可表示為(300-10x)元,一周的利潤可表示為(20+x)(300-10x)元,要想獲得6090元利潤可列方程(20+x)(300-10x)=6090。
〓〓若設(shè)商品定價(jià)為x元那么每件商品的利潤可表示為(x-40)元, 每周的銷售量可表示為[300-10(x-60)]件,一周的利潤可表示為(x-40)[300-10(x-60)]件,要想獲得6090元利潤可列方程(x-40)[300-10(x-60)]=6090元。
〓〓問題2:已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元?,F(xiàn)在的售價(jià)是每件60元,每星期可賣出300件。市場調(diào)查反映:如調(diào)整價(jià)格,每漲價(jià)1元,每星期要少賣出10件;如何定價(jià)才能使利潤最大?
解:設(shè)每件漲價(jià)為x元時(shí)獲得的總利潤為y元.
y=(60-40+x)(300-10x)
=(20+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=-10(x-5)2+6250
〓〓當(dāng)時(shí)x=5,y的最大值是6250
〓〓定價(jià):60+5=65(元)
〓〓問題3:已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元?,F(xiàn)在的售價(jià)是每件60元,每星期可賣出300件。市場調(diào)查反映:如調(diào)整價(jià)格,每降價(jià)一元,每星期可多賣出20件。如何定價(jià)才能使利潤最大?
〓〓解:設(shè)每件降價(jià)x元時(shí)的總利潤為y元.
y=(60-40-x)(300+20x)
=(20-x)(300+20x)
=-20x■+100x+6000
=-20(x-2.5)2+6125
〓〓所以定價(jià)為60-2.5=57.5時(shí)利潤最大,最大值為6125元。
〓〓問題4:已知某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元?,F(xiàn)在的售價(jià)是每件60元,每星期可賣出300件。市場調(diào)查反映:如調(diào)整價(jià)格,每漲價(jià)一元,每星期要少賣出10件;每降價(jià)一元,每星期可多賣出20件。如何定價(jià)才能使利潤最大?
〓〓答:綜合問題2和問題3以上兩種情況,定價(jià)為65元時(shí)可獲得最大利潤為6250元。
〓〓變式1:某商店購進(jìn)一批單價(jià)為20元的日用品,如果以單價(jià)30元銷售,那么半個(gè)月內(nèi)可以售出400件。根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn),提高單價(jià)會(huì)導(dǎo)致銷售量的減少,即銷售單價(jià)每提高1元,銷售量相應(yīng)減少20件。售價(jià)提高多少元時(shí),才能在半個(gè)月內(nèi)獲得最大利潤?
〓〓變式2:某果園有100棵橙子樹,每一棵樹平均結(jié)600個(gè)橙子?,F(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量,但是如果多種樹,那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會(huì)減少。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì),每多種一棵樹,平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子。問增種多少棵橙子樹,果園的總產(chǎn)量最高,若每個(gè)橙子市場售價(jià)約2元,果園的總產(chǎn)值最高約為多少?
〓〓變式3:某超市經(jīng)銷一種銷售成本為每件40元的商品。據(jù)市場調(diào)查分析,如果按每件50元銷售,一周能售出500件;若銷售單價(jià)每漲1元,每周銷量就減少10件。設(shè)銷售單價(jià)為x元(x≥50),一周的銷售量為y件。
〓〓(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式(標(biāo)明x的取值范圍);
〓〓(2)設(shè)一周的銷售利潤為S,寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式,求出S的最大值,并確定當(dāng)單價(jià)在什么范圍內(nèi)變化時(shí),利潤隨單價(jià)的增大而增大?
〓〓(3)若超市對該種商品投入不超過10000元的情況下,使得一周銷售利潤達(dá)到8000元,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?
〓〓這個(gè)題組中的問題1的解題方法是應(yīng)用列一元二次方程來求商品的定價(jià)問題;問題2、3、4的解題方法是在問題1所列的一元二次方程的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為構(gòu)建二次函數(shù)的模型(只要把方程(20+x)(300-10x)=6090中的6090改為y,就可以得到一個(gè)二次函數(shù)式),再利用二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)求出函數(shù)的最值;同時(shí),在問題2、3的基礎(chǔ)上增加了變式1、2、3的3個(gè)同類型的求最大利潤問題。這樣利用“一題多變”構(gòu)建新知識的最近發(fā)展區(qū),尋找知識的生長點(diǎn),引起學(xué)生認(rèn)知沖突,激發(fā)探究的熱情,不斷從一類問題引申到另一類問題,給學(xué)生的思維發(fā)展提供階梯,讓學(xué)生在探究中感悟知識、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò),較大幅度地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率,使得審題時(shí)間、板書、銜接大為減少,既能使教師的講解一氣呵成,又能讓學(xué)生在一節(jié)課內(nèi)將實(shí)際問題與二次函數(shù)中的“如何獲得最大利潤”問題的解題方法得到較為充分的理解。因此,與互不相干的單題教學(xué)相比較,采用題組教學(xué)可以更充分地利用寶貴的數(shù)學(xué)堂教學(xué)時(shí)間。
〓〓綜上所述,在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂采用題組教學(xué),一環(huán)緊扣一環(huán),層層遞進(jìn),有利于學(xué)生深入探究,觸類旁通,提升教學(xué)效率。
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