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        立體幾何的逆向思維解法

        2014-04-12 00:00:00黃澤呤
        師道·教研 2014年4期

        〓〓在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的立體幾何知識(shí)中,很多證明的觀點(diǎn)都具有可逆結(jié)構(gòu)。不少學(xué)生在解題過(guò)程中往往只注重常規(guī)的、正向的思考方式去解題,墨守成規(guī),不善于用逆向思維,使得有些問(wèn)題難以解決或是過(guò)程十分復(fù)雜。而運(yùn)用逆向思維往往具有很大的創(chuàng)新性,不僅可以找到解決問(wèn)題的方法,甚至可以找到解決問(wèn)題的新方法。因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)加強(qiáng)逆向思維的教學(xué),不僅可以加強(qiáng)原有知識(shí)的理解,而且還可對(duì)知識(shí)從不同的角度、不同的側(cè)面去探索,從而解決問(wèn)題,繼而提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,開(kāi)拓學(xué)生的思維。

        〓〓一、證明線面平行

        〓〓在教材中,我們證明線面平行需要三個(gè)要素:兩線一面。線面平行的定理是:平面外一直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。因此在證明上學(xué)生就會(huì)直觀地以正面思維的方法找取直線.

        〓〓例:如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,E、F 分別是PB,PC的中點(diǎn),證明:EF∥平面PAD。

        〓〓分析:根據(jù)定理的證明,要證明EF∥平面PAD,應(yīng)在平面PAD上找一直線與EF平行,可以得出,EF∥BC∥AD,而CD是平面PAD上的直線,則證明成立。

        〓〓但我們知道,要證明線面平行,必須在平面內(nèi)找一直線與平面外直線平行,但有時(shí)平面內(nèi)那條直線沒(méi)有直接給出,需要自己選取,很多學(xué)生在選取這條直線有些困難。因此,在教學(xué)中讓學(xué)生用逆向思維方式思考是必要的。主要方式有兩種:

        〓〓(1)把結(jié)論當(dāng)已知的逆向思維思考方式:要證明a∥α,如果a∥α成立,由線面平行的性質(zhì)定理得:如果過(guò)直線a作一個(gè)平面,與平面α交于直線b,則有a∥b??傻弥本€b必是我們所找的直線。那么如何恰當(dāng)?shù)剡^(guò)直線a作平面與平面α相交呢?有代表性的作法有兩種:1. 一點(diǎn)一線確定一個(gè)面:在平面上找確定的點(diǎn)與已知直線構(gòu)造平面,延伸與已知平面相交;2. 兩平行線確定一個(gè)面:過(guò)已知直線中的兩點(diǎn)作兩條平行線確定一平面,與已知面相交。下面根據(jù)兩種作法舉例論證:

        〓〓例:如圖,已知平行四邊形ABCD與平行四邊形ABEF共邊于AB,M、N分別在對(duì)角線AC、BF上,且BN:NF=CM:MA.求證:MN∥平面ADF。

        〓〓方法一:

        〓〓分析:無(wú)法直接在平面ADF內(nèi)找一直線平行于MN。可根據(jù)把結(jié)論當(dāng)已知逆向思維方式,用性質(zhì)定理確定直線。用代表性作法一確定平面,如,F(xiàn)點(diǎn)和MN確定一平面,延伸FH交B點(diǎn),連接BM交AD于P點(diǎn)(如下圖)。則平面BFP與平面ADF相交于FP,可確定直線FP∥MN。根據(jù)推理可簡(jiǎn)單證明:

        〓〓因?yàn)锽C∥AD,所以BM:MP=CM:MA;又因?yàn)锽N:NF=CM:MA,所以BM:MP=BN:NF,則MN∥FP,得 MN∥平面ADF。

        〓〓方法二:

        〓〓分析:無(wú)法直接在平面ADF內(nèi)找一直線平行于MN。可根據(jù)把結(jié)論當(dāng)已知逆向思維方式,用性質(zhì)定理確定直線。用代表性作法二確定平面,如,過(guò)M、N兩點(diǎn)分別作平行線確定一平面,作NG∥AB,MH∥AB,則平面ADF與平面MNGH相交于GH,可確定直線GH∥MN。根據(jù)推理可簡(jiǎn)單證明:

        〓〓因?yàn)镹G∥AB,所以NG:AB=FM:FB;同理,MH:CD=AM:AC;又因?yàn)锽N:NF=CM:MA,所以FM:FB=AM:AC;所以NG:AB=AM:AC;又因?yàn)锳B∥CD,AB=CD,所以NG∥AM,NG=AM,所以四邊形NGHM為平行四邊形,所以MN∥GH,得MN∥平面ADF。

        〓〓(2)運(yùn)用面面平行性質(zhì)定理的逆向思維思考:要證明a∥α,根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得:如果過(guò)直線a的一個(gè)平面β與平面α平行,則a∥α??捎袝r(shí)直線a所在的平面卻沒(méi)有直接給出,需要我們自己去構(gòu)造,如何構(gòu)造面面平行呢?主要作法是:兩相交線確定一個(gè)面,過(guò)已知直線的一點(diǎn)作已知平面的平行線(若結(jié)論成立,構(gòu)造一直線平行已知平面,則構(gòu)造的平面必然與已知平面平行)。

        〓〓方法三:

        〓〓分析:過(guò)點(diǎn)M作AD平行線,即MQ∥AD,連接NQ(如圖),則要證明MN∥平面ADF,即證明平面MNQ∥平面ADF。簡(jiǎn)單證明如下:

        〓〓因?yàn)镸Q∥AD∥BC,所以BQ:AQ=CM:MA;又因?yàn)锽N:NF=CM:MA,所以BQ:AQ= BN:NF,所以NQ∥AF,所以平面MNQ∥平面ADF,所以MN∥平面ADF。

        〓〓二、證明線線垂直

        〓〓在教材中,證明線線垂直,直接證明這兩條直線垂直,角度證明或是勾股定理的條件往往不足,令證明存在困難,甚至于無(wú)法直接證明。因此,在教學(xué)中讓學(xué)生根據(jù)證明線面垂直的判定定理(一直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則該直線與此平面垂直),以及運(yùn)用線面垂直的定義(直線與此平面垂直,則該直線垂直于平面上的任何直線),解題中考慮把結(jié)論當(dāng)條件逆向思維方式去思考,推導(dǎo)條件,這樣比較容易解決問(wèn)題。

        〓〓例:如圖所示,已知矩形ABCD,過(guò)A作SA⊥平面ABCD,再過(guò)A作AE⊥SB交SB于E,過(guò)E作EF⊥SC交SC于F,求證:AF⊥SC。

        〓〓分析:要證明AF⊥SC,直接證明無(wú)法解決,換個(gè)思維方式思考,若結(jié)論AF⊥SC成立,而從條件中發(fā)現(xiàn)EF⊥SC,可得出SC⊥平面AEF,則由線面垂直的定義可得結(jié)論成立。即證明線線垂直,可先證線面垂直,再由線面垂直可推得線線垂直。

        〓〓因此可從結(jié)論逆用推導(dǎo)結(jié)論,簡(jiǎn)單分析證明如下:要證明AF⊥SC?坩(即證)SC⊥平面AEF?坩已知條件EF⊥SC,結(jié)論只作思考,但證明的必須是另一直線AE,即證明AE⊥SC?坩AE⊥平面SCB?坩已知條件AE⊥SB,結(jié)論AE⊥SC只作思考,但證明的必須是另一直線BC,即證明AE⊥BC?坩BC⊥平面SAB(AE所在的平面) ?坩條件矩形ABCD可得BC⊥AB,SA⊥平面ABCD可得BC⊥SA。

        〓〓由上面的分析證明,我們知道直接得到AF⊥SC存在困難,也無(wú)法直接一步解決問(wèn)題,而必須運(yùn)用結(jié)論的思考,根據(jù)垂直判定定理和垂直定義的逆向思維運(yùn)用與結(jié)合:線線垂直?圳線面垂直,從而得出結(jié)論,難以直接解決問(wèn)題,用逆向思維的思考方式顯得簡(jiǎn)單明了。

        〓〓在立體幾何中,無(wú)論是在線面平行或是線線垂直,甚至于面面平行、線面垂直和面面垂直的證明問(wèn)題上,運(yùn)用逆向思維解法的方式都具有普遍性。然而在數(shù)學(xué)教材中,只是直觀地解析證明定理,對(duì)于教材的編輯也是直觀地歸結(jié)判定定理和性質(zhì)定理,在判定定理與性質(zhì)定理間的解析中,逆向思維的運(yùn)用卻沒(méi)有真正體現(xiàn)到。例如在數(shù)學(xué)立體幾何教材的編排中,判定定理:(2.3.1)線面平行定理,(2.3.2)面面平行定理,性質(zhì)定理為后章節(jié):(2.3.3)線面平行性質(zhì)定理,(2.3.4)面面平行性質(zhì)定理。前后順序分開(kāi)講解,獨(dú)立性很強(qiáng),很少體現(xiàn)(2.3.1)線面平行定理與(2.3.3)線面平行性質(zhì)定理的結(jié)合,以及(2.3.1)線面平行定理與(2.3.4)面面平行性質(zhì)定理的逆用思維方式。教材是正面、直觀地讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的各方面知識(shí)點(diǎn),分開(kāi)章節(jié)教學(xué),單一地了解幾何知識(shí)點(diǎn),那么學(xué)生只能正面地思考平行或垂直的定理,簡(jiǎn)單理解知識(shí)點(diǎn)。而如果學(xué)生的思維長(zhǎng)期處于正向思維活動(dòng),那么他們?cè)谒伎紗?wèn)題上,就會(huì)通過(guò)正向思維來(lái)解決問(wèn)題。而這對(duì)于很多利用正向思維很難獲得解決的問(wèn)題(如上述例題),必然存在一定難度,甚至于無(wú)法解決,教師教學(xué)中可以適當(dāng)指引學(xué)生,開(kāi)發(fā)學(xué)生新的思考思維方式,采用逆向思維去思考,則可以使問(wèn)題很快得到解決,從而提高學(xué)生的思維能力。

        〓〓因此,教師在教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維,在教材的基礎(chǔ)上,可以適當(dāng)做出處理,除了運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí),在思考能力上,多結(jié)合判定定理與性質(zhì)定理的相結(jié)合去運(yùn)用;在解題證明上,多引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用結(jié)論當(dāng)條件的逆向思維方式去解決問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維方式去解決問(wèn)題。這樣不僅可以使學(xué)生運(yùn)用多種方法解決問(wèn)題,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也開(kāi)拓了他們的思維,提高數(shù)學(xué)思維能力。

        〓〓責(zé)任編輯〓羅〓峰

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