〓〓在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的立體幾何知識(shí)中，很多證明的觀點(diǎn)都具有可逆結(jié)構(gòu)。不少學(xué)生在解題過(guò)程中往往只注重常規(guī)的、正向的思考方式去解題，墨守成規(guī)，不善于用逆向思維，使得有些問(wèn)題難以解決或是過(guò)程十分復(fù)雜。而運(yùn)用逆向思維往往具有很大的創(chuàng)新性，不僅可以找到解決問(wèn)題的方法，甚至可以找到解決問(wèn)題的新方法。因此在學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)加強(qiáng)逆向思維的教學(xué)，不僅可以加強(qiáng)原有知識(shí)的理解，而且還可對(duì)知識(shí)從不同的角度、不同的側(cè)面去探索，從而解決問(wèn)題，繼而提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，開(kāi)拓學(xué)生的思維。

〓〓一、證明線面平行

〓〓在教材中，我們證明線面平行需要三個(gè)要素：兩線一面。線面平行的定理是：平面外一直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。因此在證明上學(xué)生就會(huì)直觀地以正面思維的方法找取直線.

〓〓例：如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，E、F 分別是PB，PC的中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAD。

〓〓分析：根據(jù)定理的證明，要證明EF∥平面PAD，應(yīng)在平面PAD上找一直線與EF平行，可以得出，EF∥BC∥AD，而CD是平面PAD上的直線，則證明成立。

〓〓但我們知道，要證明線面平行，必須在平面內(nèi)找一直線與平面外直線平行，但有時(shí)平面內(nèi)那條直線沒(méi)有直接給出，需要自己選取，很多學(xué)生在選取這條直線有些困難。因此，在教學(xué)中讓學(xué)生用逆向思維方式思考是必要的。主要方式有兩種：

〓〓（1）把結(jié)論當(dāng)已知的逆向思維思考方式：要證明a∥α，如果a∥α成立，由線面平行的性質(zhì)定理得：如果過(guò)直線a作一個(gè)平面，與平面α交于直線b，則有a∥b?？傻弥本€b必是我們所找的直線。那么如何恰當(dāng)?shù)剡^(guò)直線a作平面與平面α相交呢？有代表性的作法有兩種：1. 一點(diǎn)一線確定一個(gè)面：在平面上找確定的點(diǎn)與已知直線構(gòu)造平面，延伸與已知平面相交；2. 兩平行線確定一個(gè)面：過(guò)已知直線中的兩點(diǎn)作兩條平行線確定一平面，與已知面相交。下面根據(jù)兩種作法舉例論證：

〓〓例：如圖，已知平行四邊形ABCD與平行四邊形ABEF共邊于AB，M、N分別在對(duì)角線AC、BF上，且BN:NF=CM:MA．求證：MN∥平面ADF。

〓〓方法一：

〓〓分析：無(wú)法直接在平面ADF內(nèi)找一直線平行于MN。可根據(jù)把結(jié)論當(dāng)已知逆向思維方式，用性質(zhì)定理確定直線。用代表性作法一確定平面，如，F(xiàn)點(diǎn)和MN確定一平面，延伸FH交B點(diǎn)，連接BM交AD于P點(diǎn)（如下圖）。則平面BFP與平面ADF相交于FP，可確定直線FP∥MN。根據(jù)推理可簡(jiǎn)單證明：

〓〓因?yàn)锽C∥AD，所以BM:MP=CM:MA；又因?yàn)锽N:NF=CM:MA，所以BM:MP=BN:NF，則MN∥FP，得 MN∥平面ADF。

〓〓方法二：

〓〓分析：無(wú)法直接在平面ADF內(nèi)找一直線平行于MN。可根據(jù)把結(jié)論當(dāng)已知逆向思維方式，用性質(zhì)定理確定直線。用代表性作法二確定平面，如，過(guò)M、N兩點(diǎn)分別作平行線確定一平面，作NG∥AB，MH∥AB，則平面ADF與平面MNGH相交于GH，可確定直線GH∥MN。根據(jù)推理可簡(jiǎn)單證明：

〓〓因?yàn)镹G∥AB，所以NG:AB=FM:FB；同理，MH:CD=AM:AC；又因?yàn)锽N:NF=CM:MA，所以FM:FB=AM:AC；所以NG:AB=AM:AC；又因?yàn)锳B∥CD，AB=CD，所以NG∥AM，NG=AM，所以四邊形NGHM為平行四邊形，所以MN∥GH，得MN∥平面ADF。

〓〓（2）運(yùn)用面面平行性質(zhì)定理的逆向思維思考：要證明a∥α，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得：如果過(guò)直線a的一個(gè)平面β與平面α平行，則a∥α?？捎袝r(shí)直線a所在的平面卻沒(méi)有直接給出，需要我們自己去構(gòu)造，如何構(gòu)造面面平行呢？主要作法是：兩相交線確定一個(gè)面，過(guò)已知直線的一點(diǎn)作已知平面的平行線（若結(jié)論成立，構(gòu)造一直線平行已知平面，則構(gòu)造的平面必然與已知平面平行）。

〓〓方法三：

〓〓分析：過(guò)點(diǎn)M作AD平行線，即MQ∥AD，連接NQ（如圖），則要證明MN∥平面ADF，即證明平面MNQ∥平面ADF。簡(jiǎn)單證明如下：

〓〓因?yàn)镸Q∥AD∥BC，所以BQ:AQ=CM:MA；又因?yàn)锽N:NF=CM:MA，所以BQ:AQ= BN:NF，所以NQ∥AF，所以平面MNQ∥平面ADF，所以MN∥平面ADF。

〓〓二、證明線線垂直

〓〓在教材中，證明線線垂直，直接證明這兩條直線垂直，角度證明或是勾股定理的條件往往不足，令證明存在困難，甚至于無(wú)法直接證明。因此，在教學(xué)中讓學(xué)生根據(jù)證明線面垂直的判定定理（一直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直），以及運(yùn)用線面垂直的定義（直線與此平面垂直，則該直線垂直于平面上的任何直線），解題中考慮把結(jié)論當(dāng)條件逆向思維方式去思考，推導(dǎo)條件，這樣比較容易解決問(wèn)題。

〓〓例：如圖所示，已知矩形ABCD，過(guò)A作SA⊥平面ABCD，再過(guò)A作AE⊥SB交SB于E，過(guò)E作EF⊥SC交SC于F，求證：AF⊥SC。

〓〓分析：要證明AF⊥SC，直接證明無(wú)法解決，換個(gè)思維方式思考，若結(jié)論AF⊥SC成立，而從條件中發(fā)現(xiàn)EF⊥SC，可得出SC⊥平面AEF，則由線面垂直的定義可得結(jié)論成立。即證明線線垂直，可先證線面垂直，再由線面垂直可推得線線垂直。

〓〓因此可從結(jié)論逆用推導(dǎo)結(jié)論，簡(jiǎn)單分析證明如下：要證明AF⊥SC?坩（即證）SC⊥平面AEF?坩已知條件EF⊥SC，結(jié)論只作思考，但證明的必須是另一直線AE，即證明AE⊥SC?坩AE⊥平面SCB?坩已知條件AE⊥SB，結(jié)論AE⊥SC只作思考，但證明的必須是另一直線BC，即證明AE⊥BC?坩BC⊥平面SAB(AE所在的平面) ?坩條件矩形ABCD可得BC⊥AB，SA⊥平面ABCD可得BC⊥SA。

〓〓由上面的分析證明，我們知道直接得到AF⊥SC存在困難，也無(wú)法直接一步解決問(wèn)題，而必須運(yùn)用結(jié)論的思考，根據(jù)垂直判定定理和垂直定義的逆向思維運(yùn)用與結(jié)合：線線垂直?圳線面垂直，從而得出結(jié)論，難以直接解決問(wèn)題，用逆向思維的思考方式顯得簡(jiǎn)單明了。

〓〓在立體幾何中，無(wú)論是在線面平行或是線線垂直，甚至于面面平行、線面垂直和面面垂直的證明問(wèn)題上，運(yùn)用逆向思維解法的方式都具有普遍性。然而在數(shù)學(xué)教材中，只是直觀地解析證明定理，對(duì)于教材的編輯也是直觀地歸結(jié)判定定理和性質(zhì)定理，在判定定理與性質(zhì)定理間的解析中，逆向思維的運(yùn)用卻沒(méi)有真正體現(xiàn)到。例如在數(shù)學(xué)立體幾何教材的編排中，判定定理：（2.3.1）線面平行定理，（2.3.2）面面平行定理，性質(zhì)定理為后章節(jié)：（2.3.3）線面平行性質(zhì)定理，（2.3.4）面面平行性質(zhì)定理。前后順序分開(kāi)講解，獨(dú)立性很強(qiáng)，很少體現(xiàn)（2.3.1）線面平行定理與（2.3.3）線面平行性質(zhì)定理的結(jié)合，以及（2.3.1）線面平行定理與（2.3.4）面面平行性質(zhì)定理的逆用思維方式。教材是正面、直觀地讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的各方面知識(shí)點(diǎn)，分開(kāi)章節(jié)教學(xué)，單一地了解幾何知識(shí)點(diǎn)，那么學(xué)生只能正面地思考平行或垂直的定理，簡(jiǎn)單理解知識(shí)點(diǎn)。而如果學(xué)生的思維長(zhǎng)期處于正向思維活動(dòng)，那么他們?cè)谒伎紗?wèn)題上，就會(huì)通過(guò)正向思維來(lái)解決問(wèn)題。而這對(duì)于很多利用正向思維很難獲得解決的問(wèn)題（如上述例題），必然存在一定難度，甚至于無(wú)法解決，教師教學(xué)中可以適當(dāng)指引學(xué)生，開(kāi)發(fā)學(xué)生新的思考思維方式，采用逆向思維去思考，則可以使問(wèn)題很快得到解決，從而提高學(xué)生的思維能力。

〓〓因此，教師在教學(xué)的過(guò)程中應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，在教材的基礎(chǔ)上，可以適當(dāng)做出處理，除了運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)，在思考能力上，多結(jié)合判定定理與性質(zhì)定理的相結(jié)合去運(yùn)用；在解題證明上，多引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用結(jié)論當(dāng)條件的逆向思維方式去解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用逆向思維方式去解決問(wèn)題。這樣不僅可以使學(xué)生運(yùn)用多種方法解決問(wèn)題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也開(kāi)拓了他們的思維，提高數(shù)學(xué)思維能力。

〓〓責(zé)任編輯〓羅〓峰