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        高中生抽象歸納能力的培養(yǎng)

        2014-04-12 00:00:00張勇
        師道·教研 2014年4期

        〓〓在數(shù)學(xué)抽象歸納能力方面,不同數(shù)學(xué)能力的學(xué)生有不同的差異.具有較強(qiáng)數(shù)學(xué)能力的學(xué)生在收集數(shù)學(xué)材料所提供的信息時(shí),明顯表現(xiàn)出使數(shù)學(xué)材料形式化,能迅速地完成抽象歸納的任務(wù),同時(shí)具有歸納的欲望,樂(lè)意地、積極主動(dòng)地進(jìn)行概括.

        〓〓為了使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中能夠不斷地適應(yīng)這一要求,有效地提高自身在這些方面的能力和素質(zhì),結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),我側(cè)重于從如下三方面進(jìn)行培養(yǎng):由現(xiàn)象到實(shí)質(zhì),即善于舍棄事物的非本質(zhì)的細(xì)節(jié),抽取問(wèn)題的實(shí)質(zhì)的能力;運(yùn)用字母、符號(hào)進(jìn)行推廣、推想的能力;由特殊到一般,即化問(wèn)題的具體提法為一般情況,進(jìn)而公式化的能力.我又從如下三種途徑進(jìn)行實(shí)施:在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力;在解題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力;在章節(jié)復(fù)習(xí)和高考復(fù)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力.

        〓〓通過(guò)訓(xùn)練使學(xué)生明確什么叫做由具體到抽象、由特殊到一般,以及抽象的目標(biāo)、抽象的方法,明確事物在哪一個(gè)點(diǎn)上“抽象”了,從而總結(jié)認(rèn)識(shí)一個(gè)事物的不斷抽象的過(guò)程,最終培養(yǎng)學(xué)生的概括抽象能力.

        〓〓一、“透過(guò)現(xiàn)象,抓住實(shí)質(zhì)”的抽象舉例

        〓〓在概念教學(xué)中,大量體現(xiàn)的是這種抽象過(guò)程.例如由數(shù)字到文字,由常量到變量,由有限到無(wú)限的抽象過(guò)程,就是中學(xué)代數(shù)教學(xué)過(guò)程的三次大的認(rèn)識(shí)思維能力的飛躍.《普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū) (數(shù)學(xué))》更是體現(xiàn)和突出這一特點(diǎn),教師教學(xué)過(guò)程必須領(lǐng)會(huì)和實(shí)現(xiàn)這一要求.

        〓〓近年來(lái),高考中必有一道熱門(mén)考題應(yīng)用題,加強(qiáng)考核學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象能力和解決實(shí)際問(wèn)題的創(chuàng)新能力.把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程,主要包括審題和聯(lián)想兩個(gè)步驟:所謂審題時(shí)指認(rèn)真讀題,弄清題設(shè)條件和所求結(jié)論的實(shí)際意義,挖掘隱含條件;所謂聯(lián)想,是指聯(lián)想與題目有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法,通過(guò)抽象和概括建立數(shù)學(xué)模型.這個(gè)過(guò)程是比概念教學(xué)難度更大的“透過(guò)現(xiàn)象,抓住實(shí)質(zhì)”的抽象過(guò)程,可歸結(jié)為審題——轉(zhuǎn)化——建模——求解——反思的解題教學(xué)模式,下面舉一例說(shuō)明.

        〓〓例:流行性感冒(簡(jiǎn)稱(chēng)流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病,某市去年11月份曾發(fā)生流感.據(jù)資料統(tǒng)計(jì),①11月1日,該市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者都增加50人.由于該市醫(yī)療部門(mén)采取措施.使該種病毒的傳播得到控制.②從某天起,每天的新感染者比前一天的新感染者減少30人.③到11月30日止,該市在這30日內(nèi)感染該病的患者總共有8670人.④問(wèn)11月幾日,該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多?并求這一天的新患者人數(shù).

        〓〓此問(wèn)題的抽象、建模、求解過(guò)程如下:

        〓〓(i)閱讀理解,抓住本質(zhì).留下標(biāo)號(hào)劃線的①②③④句,把11月1日到30日分為前n日及后第n+1日至30日止的(30-n)日兩段.

        〓〓(ii)局部轉(zhuǎn)化,抽象建模.設(shè)從11月1日起第n日(n∈N,1≤n≤30)感染此病毒的新患者人數(shù)最多.由①?gòu)?1月1日至第n日止每日感染病毒人數(shù)依次成首項(xiàng)a■=20,公差d=50,an=20+50(n-1)的等差數(shù)列,前n日總?cè)藬?shù)為Sn=20n■+■=25n2-5n;由②從第n+1日起至11月30日止,每日感染人數(shù)依次成首項(xiàng)為b■=[20+(n-1)×50]-30=50n-60,公差d'■=-30,項(xiàng)數(shù)為(30-n)的等差數(shù)列,后(30-n)日的總?cè)藬?shù)為T(mén)30-n=(30-n)(50n-60)+■=-65n2+2445n-14850.

        〓〓(iii)整體轉(zhuǎn)化,抽象建模.由③得基本等量關(guān)系,有Sn+T30-n=8670,即(25n2-5n)+(-65n2+2445n-14850)=8670,化簡(jiǎn),得n2-61n+588=0,解得n=12,或n=49(舍去).

        〓〓第12日的新患者人數(shù)為20+(12-1)×50=570.

        〓〓(iv)由④作答:11月12日,該市感染此病毒的人數(shù)最高,且這一天的新患者人數(shù)為570人.

        〓〓二、“推廣與推想”抽象舉例

        〓〓在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生“推廣與推想”的抽象能力可從解題教學(xué)的“解題反思”中,進(jìn)行一題多解、多題一解的訓(xùn)練,有計(jì)劃地變化題目的形式,舉一反三,從而使他們由懂得一個(gè)問(wèn)題而熟悉一類(lèi)問(wèn)題,提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,以及掌握特殊與一般的辯證關(guān)系的創(chuàng)新能力和思維品質(zhì).下面舉一例說(shuō)明.

        〓〓例:式子■分母有理化的推廣與推想. 顯然■=■=■+■

        特點(diǎn):■+■與■-■互為倒數(shù).

        〓〓推廣:■=■?芎■,n是非負(fù)整數(shù);

        〓〓■=■?芎■,a是非負(fù)實(shí)數(shù);

        〓〓■=■(■?芎■,a≥0且d>0.

        由上面的推廣,繼續(xù)推想,便可解決如下問(wèn)題:

        〓〓(1)倘若注意到(2+■)■(2-■)■=1和■·■=■2=■.

        不難有:■·■·■=1.

        〓〓類(lèi)似地推廣開(kāi)來(lái),可有:■·■···■■=1.

        (2)計(jì)算:log■(■+■)=log■(■-■)■=-1.

        同理有:log■(■+■)=log■(■-■)■=-1(a>0).

        〓〓log■(■)=1(a≥0 ,d>0且a=0時(shí)d≠1). 〓〓(3)解方程:(■-■)■=(■+■)■.

        〓〓由上面結(jié)論,可得(■+■)■=(■-■)■

        〓〓故3x-7=-7x-3,x=■

        〓〓對(duì)于 (■-■)■=(■+■)■a≥0,可仿上法解之.

        〓〓三、“特殊與一般”抽象的舉例

        〓〓若被研究的對(duì)象很抽象或困難,一時(shí)無(wú)從下手,往往可以先將問(wèn)題特殊化,或者利用圖形直觀觀察,或者用具體數(shù)字代替字母驗(yàn)證;或者用有限代替無(wú)限;或者把運(yùn)動(dòng)問(wèn)題暫時(shí)化為靜止?fàn)顟B(tài);或者削弱問(wèn)題的某些條件限制,即從“特殊化”或“簡(jiǎn)單化”的情況下尋求問(wèn)題解決的方法,猜想問(wèn)題的普遍性結(jié)論,分析特殊性與普遍性的內(nèi)在聯(lián)系,并在一般性狀態(tài)下予以解決論證.其典型例子莫過(guò)于數(shù)學(xué)歸納法的原理及其應(yīng)用.

        〓〓例: (2012年武漢市調(diào)研試題)設(shè)a■是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,并且對(duì)所有自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).

        〓〓(1)寫(xiě)出數(shù)列a■的前三項(xiàng);(2)求數(shù)列a■的通項(xiàng)公式(寫(xiě)出推證過(guò)程).

        〓〓解: (1)略解前三項(xiàng)分別為2,6,10.

        〓〓(2)解:由前三項(xiàng)猜想數(shù)列有通項(xiàng)公式a■=4n-2.

        〓〓證明:(a)當(dāng)n=1時(shí),∵ 4×1-2=2,又由(1)知a1=2,故結(jié)論成立.

        〓〓(b)假設(shè)n=k (n?叟1,k∈N)有ak=4k-2成立.

        〓〓由題意,■=■ ,且ak=4k-2,得2k=■,

        〓〓解得Sk=2k2,又■=■,

        〓〓且S■=S■+ak+1,

        〓〓將Sk=2k2代入上式,得(■)=2(ak+1+2k2).

        〓〓整理得a2■■-4ak+1+4-16k2=0,由于ak+1>0,解得ak+1=2+4k=4(k+1)-2,即n=k+1時(shí),結(jié)論正確.

        根據(jù)(a)(b),可知結(jié)論對(duì)一切自然數(shù)n均成立.

        〓〓上面數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用舉例,就是典型的由特殊到一般,有限到無(wú)限的遞推、猜想、證明的概括與抽象的范例.

        〓〓在概念教學(xué)、解題教學(xué)以及高考復(fù)習(xí)教學(xué)中實(shí)施對(duì)學(xué)生抽象能力培養(yǎng)的思路和方法,能使學(xué)生對(duì)當(dāng)前高考側(cè)重考核能力和素質(zhì)的適應(yīng)性不斷增強(qiáng),取得較好效果.總之,培養(yǎng)學(xué)生的抽象歸納能力的方法和形式是多樣的,只要教師能根據(jù)教材特點(diǎn),結(jié)合學(xué)生實(shí)際,善于思考學(xué)生抽象歸納思維發(fā)展的規(guī)律,就一定能在教學(xué)中培養(yǎng)出抽象歸納能力出色的好學(xué)生.

        〓〓責(zé)任編輯〓羅〓峰

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