湯良文　束家寬

一、教材分析

種群的數(shù)量變化是學(xué)習(xí)種群的核心內(nèi)容，重點(diǎn)是掌握種群數(shù)量增長(zhǎng)的“J”型曲線和“S”型曲線的含義和變化規(guī)律，并借此學(xué)習(xí)掌握構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的一般方法。本節(jié)教學(xué)涉及數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)不同環(huán)境下的種群增長(zhǎng)各具特點(diǎn)，所以本節(jié)內(nèi)容抽象復(fù)雜，學(xué)生很難準(zhǔn)確深入理解曲線變化規(guī)律和原因。通過分析不同條件下種群增長(zhǎng)模型、種群的動(dòng)態(tài)規(guī)律及其調(diào)節(jié)機(jī)制，能幫助學(xué)生深刻理解種群數(shù)量的變化規(guī)律、影響因素及其應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上掌握構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法。

二、種群數(shù)量增長(zhǎng)模型的多樣性

（一）理想情況下種群離散增長(zhǎng)模型

這是世代不相重疊種群的增長(zhǎng)模型，是種群在無限的環(huán)境中，擁有充足的空間和資源，氣候適宜、沒有天敵的理想條件下種群的增長(zhǎng)模型，該模型在自然界中是不存在的。該模型的假設(shè)是：1.種群在無限的環(huán)境中增長(zhǎng)，種群增長(zhǎng)不受種群密度的制約，出生率和死亡率為常數(shù)；2.世代不重疊，種群呈離散增長(zhǎng)；3.種群空間分布均勻，沒有遷入和遷出；4.種群沒有年齡結(jié)構(gòu)。如細(xì)菌的繁殖、一年生的植物或一年生殖一次的昆蟲等都屬于此類種群，其增長(zhǎng)模型如下：

Nt+1=Ntλ或Nt=N0λt

Nt表示第t年種群的數(shù)量，N0為初始種群數(shù)量，λ為種群的年周限增長(zhǎng)率數(shù)，t為時(shí)間。當(dāng)λ大于1時(shí)，種群數(shù)量上升；當(dāng)λ等于1時(shí)，種群數(shù)量穩(wěn)定；當(dāng)λ小于1時(shí)，種群數(shù)量下降。理想情況下，種群呈指數(shù)式增長(zhǎng)，增長(zhǎng)率始終保持不變，增長(zhǎng)速度逐漸增加，曲線呈“J”型，所以稱為“J”型增長(zhǎng)曲線。

（二）理想情況下種群連續(xù)增長(zhǎng)模型

該種群有世代重疊現(xiàn)象，表現(xiàn)為連續(xù)增長(zhǎng)。該模型的假設(shè)是：1.種群在資源無限的環(huán)境中增長(zhǎng)，出生率和死亡率是常數(shù)；2.世代有重疊，種群呈連續(xù)增長(zhǎng)；3.種群在空間上分布均勻，沒有遷入和遷出；4.種群有年齡結(jié)構(gòu)。如多年生植物、人或獸類等動(dòng)物種群都屬于該種群，其增長(zhǎng)模型如下：

dN/dt=rN或Nt=N0ert（積分式）

Nt表示第t年種群的數(shù)量，N0為初始種群數(shù)量，e表示自然常數(shù)，r為種群的瞬時(shí)增長(zhǎng)率。當(dāng)r大于0時(shí)，

作看似簡(jiǎn)單，但枯燥乏味，孟德爾卻堅(jiān)持了8年，可見其恒心。在講進(jìn)化時(shí)，可介紹達(dá)爾文的著作《物種起源》的創(chuàng)作過程：他先是用5年的時(shí)間環(huán)球旅行考查，歷經(jīng)千辛萬苦，積累大量的素材，才完成了自己的進(jìn)化觀念的轉(zhuǎn)變?；貒?guó)后又經(jīng)過6年的資料整理、深入實(shí)踐、查閱書籍，才第一次寫出了《物種起源》的簡(jiǎn)要提綱。再經(jīng)過17年的繼續(xù)研究，終于其著作得以出版。所以我們無論做什么事，要想成功，還得堅(jiān)持不懈地努力，持之以恒才能得到回報(bào)。

四、相信自己教育

不管是什么層次的學(xué)生，都有信心不足的情況，尤其是在考后得知成績(jī)未達(dá)到自己的預(yù)期目標(biāo)時(shí)，顯得更是妄自菲薄。那么，在課堂中講DNA的特異性造成生物多樣性的時(shí)候，可提到我們每一個(gè)人的DNA都不同，都是世界上獨(dú)一無二的個(gè)體。因此我們有理由相信自己能克服任何困難，達(dá)到自己理想的境界。許多人在面對(duì)權(quán)威時(shí)，往往會(huì)失去自我，而不能堅(jiān)持自己的觀點(diǎn)。孟德爾也面臨過這樣的困境。他將總結(jié)出的規(guī)律寫成論文后，首先寄給了當(dāng)時(shí)著名的植物學(xué)家內(nèi)格利，但內(nèi)格利認(rèn)為數(shù)豌豆對(duì)了解真理毫無意義，根本不把這位無名小卒放在眼里。但孟德爾仍然于1865年在當(dāng)?shù)氐淖匀豢茖W(xué)研究學(xué)會(huì)上宣讀了《植物雜交實(shí)驗(yàn)》一文，提出了分離定律和自由組合定律，雖然在當(dāng)時(shí)并未引起應(yīng)有的關(guān)注。在講體液調(diào)節(jié)時(shí)，我們可提到胰島素的發(fā)現(xiàn)者班亭。他是一個(gè)偏僻鄉(xiāng)村的醫(yī)生。當(dāng)他看到“狗被切除胰腺，就會(huì)患糖尿病”時(shí)，就在思考胰腺中是什么物質(zhì)在起作用，如何提取。但由于沒有實(shí)驗(yàn)條件，他求助于他的母校多倫多大學(xué)的教授約翰?？蛇@位教授聽到這位年輕人要研究不治之癥糖尿病時(shí)，根本就不相信他，認(rèn)為他異想天開，拒絕了他的請(qǐng)求。但班亭相信自己的判斷，并不灰心，等到暑假多倫多大學(xué)實(shí)驗(yàn)室空閑時(shí)，再去請(qǐng)求借用。約翰教授沒有充足的理由拒絕，只得答應(yīng)，但只給了2個(gè)月的時(shí)間。在這段時(shí)間里，班亭用狗和牛做實(shí)驗(yàn)，切除它們的胰腺，搗碎后，提取出液體部分，注射到患糖尿病的狗和牛的身上，結(jié)果都達(dá)到降血糖的目的。假期結(jié)束，約翰回到學(xué)校，班亭向這位教授報(bào)告自己的實(shí)驗(yàn)成果，但他都不相信。當(dāng)班亭再次用實(shí)驗(yàn)來證明時(shí)，約翰教授這才改變了看法，并和班亭一起做實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)今天我們所知的治療糖尿病的激素——胰島素。所以不管面臨什么困境，我們要相信自己的實(shí)力，充分開發(fā)自己的潛能，相信自己一定能行。

總之，我們只要有心，就可以充分挖掘教材內(nèi)涵，有效進(jìn)行心理健康教育，使學(xué)生能在身體健康的同時(shí)保持心理健康，成為完整意義上的健康人。

（責(zé)任編輯黃春香）種群上升；當(dāng)r等于0時(shí)，種群穩(wěn)定；當(dāng)r小于0時(shí)，種群下降。該模型的特點(diǎn)是：隨著時(shí)間的推移，增長(zhǎng)率保持不變，增長(zhǎng)速度逐漸增加，曲線呈“J”型。

（三）自然情況下種群增長(zhǎng)模型

在有限的自然環(huán)境中，隨著種群密度的增加，資源匱乏，天敵增加，種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)加劇，出生率下降，死亡率增加，所以增長(zhǎng)率隨之下降，直到停止增長(zhǎng)，種群不可能呈指數(shù)式增長(zhǎng)。在自然環(huán)境中的種群增長(zhǎng)模型同樣可分為世代不重疊的離散增長(zhǎng)模型和世代重疊的連續(xù)增長(zhǎng)模型。

自然條件，離散增長(zhǎng)模型是與密度相關(guān)的。由于環(huán)境資源和空間有限，隨著種群密度增加，增長(zhǎng)率下降。該模型的假設(shè)是：1.環(huán)境條件有限；2.增長(zhǎng)率的變化與密度是線性關(guān)系，種群中存在1個(gè)平衡密度（Neq）；3.不考慮環(huán)境條件的變化，沒有遷入和遷出；4.種群有年齡結(jié)構(gòu)。λ=1.0-B（Nt-Neq），B是與密度變化有關(guān)的常數(shù)，λ表示增長(zhǎng)率，Neq表示種群平衡密度。當(dāng)Nt小于Neq時(shí)，λ大于1，種群上升；當(dāng)Nt=Neq時(shí)，λ等于1，種群穩(wěn)定；當(dāng)Nt大于Neq時(shí)，λ小于1，種群下降。該模型的方程是：Nt+1=[1.0-B（Nt-Neq）]Nt，由于B的不同，種群曲線的變化往往是不規(guī)則的，即種群的增長(zhǎng)率隨密度的增加而改變，種群模型呈多樣性變化。endprint

自然情況下，種群連續(xù)增長(zhǎng)模型的代表為邏輯斯諦增長(zhǎng)模型。該模型有以下幾個(gè)假設(shè)：1.有一個(gè)環(huán)境容納量（K值），當(dāng)種群密度得到環(huán)境容納量時(shí)，種群的增長(zhǎng)率為零，即當(dāng)Nt=K時(shí)，dN/dt=0；2.增長(zhǎng)率隨密度的上升而下降的變化是呈比例的，種群增長(zhǎng)率與種群密度呈線性函數(shù)關(guān)系；3.種群在空間上分布均勻，沒有遷入和遷出；4.不區(qū)分種群個(gè)體的大小、年齡和性別；5.環(huán)境資源是有限的，且每個(gè)個(gè)體對(duì)資源的分配是均等的[1]。由于K值的存在，每個(gè)個(gè)體利用了1/K的“空間”，N個(gè)個(gè)體利用了N/K的“空間”，種群的“剩余空間”只有（1-N/K）。所以在指數(shù)增長(zhǎng)模型（dN/dt=rN）的基礎(chǔ)上再增加一項(xiàng)，得到指數(shù)增長(zhǎng)方程（如下左側(cè)方程）以及積分式方程（如下右側(cè)方程）：

dN1dt=rN（1-N1K）Nt=K11+ea-rt

N代表種群數(shù)量，r代表瞬時(shí)增長(zhǎng)率，K表示環(huán)境容納量，a表示參數(shù)，其值取決于N0，是表示曲線對(duì)原點(diǎn)的相對(duì)位置，這就是邏輯斯諦方程[2]。該種群數(shù)量增長(zhǎng)對(duì)于時(shí)間的曲線不是指數(shù)式的“J”型增長(zhǎng)，而是呈“S”型增長(zhǎng)，增長(zhǎng)率逐漸下降直至零。當(dāng)種群數(shù)量小于K/2時(shí)，種群增長(zhǎng)速率逐漸增加；當(dāng)數(shù)量大于K/2時(shí)，種群增長(zhǎng)速率逐漸下降；在數(shù)量等于K/2時(shí)種群增長(zhǎng)速率最大，最終在N=K時(shí)種群得到相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)，隨著密度的增加，增長(zhǎng)率逐漸呈比例下降。此曲線是平滑的，呈“S”型，所以稱為“S”型增長(zhǎng)模型。

三、數(shù)學(xué)模型構(gòu)建教學(xué)策略

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法，掌握構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的一般步驟。建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟是：觀察分析，提出問題，提出合理的假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，最后對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)和修正。

提出問題：課本以細(xì)菌的繁殖為例，提出以下問題。

1.若細(xì)菌每20分鐘繁殖一代，72小時(shí)后一個(gè)分裂產(chǎn)生細(xì)菌的數(shù)量是多少？

2.在培養(yǎng)基中，細(xì)菌會(huì)一直成倍地增加嗎？

3.其他生物（如野兔）也和細(xì)菌一樣成倍地繁殖嗎？

提出假設(shè)：以細(xì)菌為例，假設(shè)在資源空間充足、沒有天敵、氣候適宜的條件下，種群數(shù)量的增加不受本身密度的制約和環(huán)境阻力的影響，要求學(xué)生計(jì)算繁殖n代以后一個(gè)細(xì)菌繁殖后代的個(gè)數(shù)，并建立數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)表達(dá)：種群數(shù)量與繁殖的時(shí)間關(guān)系式是Nt=N02t，t表示繁殖的代數(shù)，Nt表示一個(gè)細(xì)菌繁殖t代以后種群的數(shù)量。

檢驗(yàn)和修正：如果開始時(shí)種群數(shù)量是N0，t代以后種群的數(shù)量為Nt=N02t；教學(xué)對(duì)于實(shí)驗(yàn)室培養(yǎng)的細(xì)菌種群就是這樣的。

如果對(duì)于一年生的植物呢？種群的增長(zhǎng)率不是100%，而是λ，t代以后種群的數(shù)模型就是：Nt=N0λt。

如果環(huán)境條件和資源是無限的話，結(jié)果一樣嗎？對(duì)模型進(jìn)一步修正。引導(dǎo)學(xué)生思考：在環(huán)境條件和資源是有限的情況下，種群的增長(zhǎng)率如何變化？增長(zhǎng)速度如何變化？會(huì)出現(xiàn)“J”型增長(zhǎng)嗎？帶著這些問題指導(dǎo)學(xué)生分析種群的“S”型增長(zhǎng)模型。

最后，總結(jié)“S”型種群增長(zhǎng)模型的要點(diǎn)：隨著種群密度的增加，出生率下降，死亡率增加，增長(zhǎng)率下降；種群增長(zhǎng)速率先增加，然后減小，當(dāng)數(shù)量達(dá)到K/2時(shí)增長(zhǎng)速率最大；K值隨環(huán)境的改變而改變，因而種群可能出現(xiàn)穩(wěn)定、波動(dòng)、下降、消亡等趨勢(shì)，在此基礎(chǔ)上分析“S”型種群增長(zhǎng)模型在生產(chǎn)中的應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1]何禮平.邏輯斯諦方程與人口分形[J].云南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1998，14（5）：59-60.

[2]人民教育出版社課程教材研究所.生物必修3（穩(wěn)態(tài)與環(huán)境）教師教學(xué)用書[M].北京：人民教育出版社，2007.

（責(zé)任編輯黃春香）endprint