甘逸堅

《國家中長期教育改革與發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》指出：要注重學(xué)思結(jié)合，倡導(dǎo)啟發(fā)式、討論式、探究式、參與式教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，創(chuàng)造愛好思考、自由探索、勇于創(chuàng)新的良好環(huán)境.探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式之一.探究式學(xué)習(xí)有利于體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程的積極性，落實課程的三維目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力.探究式學(xué)習(xí)的價值主要體現(xiàn)在探究過程中的主動探索.而忽視探索過程是當(dāng)前教學(xué)中存在的主要問題之一.要按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，關(guān)注探究過程的實施，把探究過程還給學(xué)生.本文根據(jù)筆者多年教學(xué)實踐經(jīng)驗，談?wù)勅绾斡行ч_展探究式教學(xué).

一、努力創(chuàng)設(shè)探究情境，激發(fā)探究欲望

在進(jìn)行探究式教學(xué)時，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)一定的探究情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.例如，通過引入生活實例或進(jìn)行小實驗，設(shè)計認(rèn)知沖突，使學(xué)生帶著疑問，充滿好奇地開始進(jìn)行科學(xué)探究活動.教師對教材進(jìn)行剖析，找準(zhǔn)探究性思維訓(xùn)練與教材內(nèi)容之間的結(jié)合點(diǎn)，并使某些數(shù)學(xué)思想方法融入情境之中，將那些枯燥、抽象的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成若干有趣、誘人且易于接受的探究性問題，使學(xué)生在對這些問題的積極思維中去品嘗探究的樂趣.如，學(xué)習(xí)“勾股定理”時，提出：（用多媒體演示，如圖1）①一電線桿高AB=12米，為穩(wěn)住它，要在桿頂A處和地面上距桿腳B5米的C處牽一條拉線，你能計算拉線的長嗎？（還不能）AB的長確定嗎？為什么？（確定，根據(jù)SAS）……②為了在一條河的兩岸建一座橋，必須測算兩岸橋墩之間的距離AB，在河的一邊選測點(diǎn)C，使∠ABC=90°，∠ACB=60°，量得BC=50米，你能算出AB的長嗎？AB的長確定嗎？為什么？這兩個問題可使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：直角三角形的三邊有一種密切關(guān)系，這種關(guān)系是什么呢？學(xué)生迫不及待地想知道結(jié)果，探究欲很強(qiáng).

寬解題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.

【例】求證：1-cos2θ+sin2θ11+cos2θ+sin2θ=tanθ.

解答此題有多種方法，可啟發(fā)學(xué)生從多角度求證.

方法1：運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度.

證：左邊=2sin2θ+2sinθcosθ12cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ（sinθ+cosθ）12cosθ（sinθ+cosθ）=右邊.

方法2：逆用半角公式統(tǒng)一角度.

證：左邊=1-cos2θ1sin2θ+111+cos2θ1sin2θ+1=tanθ+11cotθ+1=右邊.

方法3：運(yùn)用萬能公式統(tǒng)一函數(shù)種類，設(shè)tanθ=t.

證：左邊=1-1-t211+t2+2t11+t211+1-t211+t2+2t11+t2=2t2+2t12t+2=t=右邊.

方法4：設(shè)tanθ=1-cos2θ1sin2θ（構(gòu)造分母并促使分子重新組合，在運(yùn)算形式上得到統(tǒng)一）.

證：左邊=（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）sin2θ+sin22θ1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）sin2θ+（1-cos22θ）1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）（sin2θ+1+cos2θ）1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ=1-cos2θ1sin2θ=右邊

方法5：由正切半角公式tanθ=1-cos2θ1sin2θ=sin2θ11+cos2θ，利用合分比性質(zhì)得：

1-cos2θ+sin2θ1sin2θ=sin2θ+1+cos2θ11+cos2θ

1-cos2θ+sin2θ1sin2θ+1+cos2θ=sin2θ11+cos2θ=tanθ，即命題得證.

由此可見，一題多解的方式有利于溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，拓寬學(xué)生的思路，幫助學(xué)生學(xué)會多角度思考解題的方法，增強(qiáng)思維的靈活性.需要說明的是，在引導(dǎo)學(xué)生以一題多解的方式歸納證明三角恒等式時，要注意掌握最基本的方法：（1）統(tǒng)一函數(shù)種類；（2）統(tǒng)一角度；（3）統(tǒng)一運(yùn)算.

（責(zé)任編輯黃桂堅）endprint

《國家中長期教育改革與發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》指出：要注重學(xué)思結(jié)合，倡導(dǎo)啟發(fā)式、討論式、探究式、參與式教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，創(chuàng)造愛好思考、自由探索、勇于創(chuàng)新的良好環(huán)境.探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式之一.探究式學(xué)習(xí)有利于體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程的積極性，落實課程的三維目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力.探究式學(xué)習(xí)的價值主要體現(xiàn)在探究過程中的主動探索.而忽視探索過程是當(dāng)前教學(xué)中存在的主要問題之一.要按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，關(guān)注探究過程的實施，把探究過程還給學(xué)生.本文根據(jù)筆者多年教學(xué)實踐經(jīng)驗，談?wù)勅绾斡行ч_展探究式教學(xué).

一、努力創(chuàng)設(shè)探究情境，激發(fā)探究欲望

在進(jìn)行探究式教學(xué)時，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)一定的探究情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.例如，通過引入生活實例或進(jìn)行小實驗，設(shè)計認(rèn)知沖突，使學(xué)生帶著疑問，充滿好奇地開始進(jìn)行科學(xué)探究活動.教師對教材進(jìn)行剖析，找準(zhǔn)探究性思維訓(xùn)練與教材內(nèi)容之間的結(jié)合點(diǎn)，并使某些數(shù)學(xué)思想方法融入情境之中，將那些枯燥、抽象的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成若干有趣、誘人且易于接受的探究性問題，使學(xué)生在對這些問題的積極思維中去品嘗探究的樂趣.如，學(xué)習(xí)“勾股定理”時，提出：（用多媒體演示，如圖1）①一電線桿高AB=12米，為穩(wěn)住它，要在桿頂A處和地面上距桿腳B5米的C處牽一條拉線，你能計算拉線的長嗎？（還不能）AB的長確定嗎？為什么？（確定，根據(jù)SAS）……②為了在一條河的兩岸建一座橋，必須測算兩岸橋墩之間的距離AB，在河的一邊選測點(diǎn)C，使∠ABC=90°，∠ACB=60°，量得BC=50米，你能算出AB的長嗎？AB的長確定嗎？為什么？這兩個問題可使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：直角三角形的三邊有一種密切關(guān)系，這種關(guān)系是什么呢？學(xué)生迫不及待地想知道結(jié)果，探究欲很強(qiáng).

寬解題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.

【例】求證：1-cos2θ+sin2θ11+cos2θ+sin2θ=tanθ.

解答此題有多種方法，可啟發(fā)學(xué)生從多角度求證.

方法1：運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度.

證：左邊=2sin2θ+2sinθcosθ12cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ（sinθ+cosθ）12cosθ（sinθ+cosθ）=右邊.

方法2：逆用半角公式統(tǒng)一角度.

證：左邊=1-cos2θ1sin2θ+111+cos2θ1sin2θ+1=tanθ+11cotθ+1=右邊.

方法3：運(yùn)用萬能公式統(tǒng)一函數(shù)種類，設(shè)tanθ=t.

證：左邊=1-1-t211+t2+2t11+t211+1-t211+t2+2t11+t2=2t2+2t12t+2=t=右邊.

方法4：設(shè)tanθ=1-cos2θ1sin2θ（構(gòu)造分母并促使分子重新組合，在運(yùn)算形式上得到統(tǒng)一）.

證：左邊=（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）sin2θ+sin22θ1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）sin2θ+（1-cos22θ）1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）（sin2θ+1+cos2θ）1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ=1-cos2θ1sin2θ=右邊

方法5：由正切半角公式tanθ=1-cos2θ1sin2θ=sin2θ11+cos2θ，利用合分比性質(zhì)得：

1-cos2θ+sin2θ1sin2θ=sin2θ+1+cos2θ11+cos2θ

1-cos2θ+sin2θ1sin2θ+1+cos2θ=sin2θ11+cos2θ=tanθ，即命題得證.

由此可見，一題多解的方式有利于溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，拓寬學(xué)生的思路，幫助學(xué)生學(xué)會多角度思考解題的方法，增強(qiáng)思維的靈活性.需要說明的是，在引導(dǎo)學(xué)生以一題多解的方式歸納證明三角恒等式時，要注意掌握最基本的方法：（1）統(tǒng)一函數(shù)種類；（2）統(tǒng)一角度；（3）統(tǒng)一運(yùn)算.

（責(zé)任編輯黃桂堅）endprint

《國家中長期教育改革與發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》指出：要注重學(xué)思結(jié)合，倡導(dǎo)啟發(fā)式、討論式、探究式、參與式教學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，創(chuàng)造愛好思考、自由探索、勇于創(chuàng)新的良好環(huán)境.探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式之一.探究式學(xué)習(xí)有利于體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，發(fā)揮學(xué)生參與學(xué)習(xí)過程的積極性，落實課程的三維目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)造能力.探究式學(xué)習(xí)的價值主要體現(xiàn)在探究過程中的主動探索.而忽視探索過程是當(dāng)前教學(xué)中存在的主要問題之一.要按照課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，關(guān)注探究過程的實施，把探究過程還給學(xué)生.本文根據(jù)筆者多年教學(xué)實踐經(jīng)驗，談?wù)勅绾斡行ч_展探究式教學(xué).

一、努力創(chuàng)設(shè)探究情境，激發(fā)探究欲望

在進(jìn)行探究式教學(xué)時，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)一定的探究情境，激發(fā)學(xué)生的探究欲望.例如，通過引入生活實例或進(jìn)行小實驗，設(shè)計認(rèn)知沖突，使學(xué)生帶著疑問，充滿好奇地開始進(jìn)行科學(xué)探究活動.教師對教材進(jìn)行剖析，找準(zhǔn)探究性思維訓(xùn)練與教材內(nèi)容之間的結(jié)合點(diǎn)，并使某些數(shù)學(xué)思想方法融入情境之中，將那些枯燥、抽象的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計成若干有趣、誘人且易于接受的探究性問題，使學(xué)生在對這些問題的積極思維中去品嘗探究的樂趣.如，學(xué)習(xí)“勾股定理”時，提出：（用多媒體演示，如圖1）①一電線桿高AB=12米，為穩(wěn)住它，要在桿頂A處和地面上距桿腳B5米的C處牽一條拉線，你能計算拉線的長嗎？（還不能）AB的長確定嗎？為什么？（確定，根據(jù)SAS）……②為了在一條河的兩岸建一座橋，必須測算兩岸橋墩之間的距離AB，在河的一邊選測點(diǎn)C，使∠ABC=90°，∠ACB=60°，量得BC=50米，你能算出AB的長嗎？AB的長確定嗎？為什么？這兩個問題可使學(xué)生發(fā)現(xiàn)：直角三角形的三邊有一種密切關(guān)系，這種關(guān)系是什么呢？學(xué)生迫不及待地想知道結(jié)果，探究欲很強(qiáng).

寬解題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.

【例】求證：1-cos2θ+sin2θ11+cos2θ+sin2θ=tanθ.

解答此題有多種方法，可啟發(fā)學(xué)生從多角度求證.

方法1：運(yùn)用二倍角公式統(tǒng)一角度.

證：左邊=2sin2θ+2sinθcosθ12cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ（sinθ+cosθ）12cosθ（sinθ+cosθ）=右邊.

方法2：逆用半角公式統(tǒng)一角度.

證：左邊=1-cos2θ1sin2θ+111+cos2θ1sin2θ+1=tanθ+11cotθ+1=右邊.

方法3：運(yùn)用萬能公式統(tǒng)一函數(shù)種類，設(shè)tanθ=t.

證：左邊=1-1-t211+t2+2t11+t211+1-t211+t2+2t11+t2=2t2+2t12t+2=t=右邊.

方法4：設(shè)tanθ=1-cos2θ1sin2θ（構(gòu)造分母并促使分子重新組合，在運(yùn)算形式上得到統(tǒng)一）.

證：左邊=（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）sin2θ+sin22θ1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）sin2θ+（1-cos22θ）1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ

=（1-cos2θ）（sin2θ+1+cos2θ）1（1+cos2θ+sin2θ）sin2θ=1-cos2θ1sin2θ=右邊

方法5：由正切半角公式tanθ=1-cos2θ1sin2θ=sin2θ11+cos2θ，利用合分比性質(zhì)得：

1-cos2θ+sin2θ1sin2θ=sin2θ+1+cos2θ11+cos2θ

1-cos2θ+sin2θ1sin2θ+1+cos2θ=sin2θ11+cos2θ=tanθ，即命題得證.

由此可見，一題多解的方式有利于溝通知識間的內(nèi)在聯(lián)系，拓寬學(xué)生的思路，幫助學(xué)生學(xué)會多角度思考解題的方法，增強(qiáng)思維的靈活性.需要說明的是，在引導(dǎo)學(xué)生以一題多解的方式歸納證明三角恒等式時，要注意掌握最基本的方法：（1）統(tǒng)一函數(shù)種類；（2）統(tǒng)一角度；（3）統(tǒng)一運(yùn)算.

（責(zé)任編輯黃桂堅）endprint