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        二次函數(shù)圖象在解題中的應(yīng)用

        2014-04-10 09:14:35劉曉輝
        關(guān)鍵詞:值域對(duì)稱軸對(duì)稱性

        劉曉輝

        二次函數(shù)是一種重要的函數(shù),它有很多重要的性質(zhì),其中對(duì)稱性和根的存在性就是其中的兩個(gè)重要的性質(zhì).本文基于這兩個(gè)重要的性質(zhì)得出兩個(gè)推論,旨在拋磚引玉,引起大家對(duì)二次函數(shù)圖象的探究.

        一、基本理論1

        根據(jù)對(duì)稱性知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若對(duì)稱軸為x=x0,則f(x0-t)=f(x0+t)(其中t為常數(shù)).

        推論:對(duì)于f(x)=ax2+bx+c,若對(duì)稱軸為x=x0,則

        (1)當(dāng)a>0時(shí),若|t1-t0|>|t2-x0|,則f(t1)>f(t2);

        (2)當(dāng)a<0時(shí),若|t1-x0|>|t2-x0|,則f(t1)

        【例1】已知f(x)=ax2+bx+c,且f(-3)=f(2),求a與b的關(guān)系.

        解:∵f(-3)=f(2),

        ∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

        ∴b12a=-3+212.

        ∴b1a=-1,即b=-a.

        【例2】已知函數(shù)f(x)=3x2+2x+b,試比較5+b與b+1的大小關(guān)系.

        解:由題意可知5+b=f(1),b+1=f(-1).

        又∵f(x)=3x2+2x+b的對(duì)稱軸為x=-213,

        顯然有|1-213|<|-1-213|.

        故由理論可知f(1)

        二、基本理論2

        若f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù),且f(a)·f(b)<0,則必存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.

        推論:若f(x)=0為一元二次方程,且x=x1根的范圍是a

        【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件:較小的根小于1,較大的根在1和3之間,求a的取值范圍.

        解:設(shè)f(x)=ax2-2x+1,則f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),當(dāng)然在(-∞,1),及(1,3)上也連續(xù),由基本理論2知,必有f(1)·f(3)<0,即(a-1)(9a-5)<0,∴519

        評(píng)析:本題的解法避免了用判別式的繁雜計(jì)算,使解題過程大大簡(jiǎn)化.

        【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件:一根在0與1之間,另一根在1與2之間,求m的集合.

        分析:由上述理論可知,應(yīng)有f(0)·f(1)<0,

        f(1)·f(2)<0,

        即(3-m)·(4-2m)<0,

        (4-2m)·(7-3m)<0,

        解得2

        三、利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性特征還可求一些可化為二次函數(shù)型的函數(shù)的值域

        【例5】求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域.

        分析:若令cosx=t,則y=3t2-4t+1,這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù),從而可求值域.

        解:令cosx=t,則-1≤x≤1,y=3t2-4t+1,這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù),從而可利用圖象求值域.

        由前述理論可知,當(dāng)t=-1時(shí),ymax=3×(-1)2-4×(-1)+1=8;

        當(dāng)t=213時(shí),ymin=-113.

        ∴函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域?yàn)閇-113,8].

        評(píng)析:對(duì)于定義域不全為全體實(shí)數(shù)集的二次函數(shù),若用配方法求值域,尚需分類討論,顯然不如用圖象來得簡(jiǎn)便.

        (責(zé)任編輯金鈴)

        二次函數(shù)是一種重要的函數(shù),它有很多重要的性質(zhì),其中對(duì)稱性和根的存在性就是其中的兩個(gè)重要的性質(zhì).本文基于這兩個(gè)重要的性質(zhì)得出兩個(gè)推論,旨在拋磚引玉,引起大家對(duì)二次函數(shù)圖象的探究.

        一、基本理論1

        根據(jù)對(duì)稱性知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若對(duì)稱軸為x=x0,則f(x0-t)=f(x0+t)(其中t為常數(shù)).

        推論:對(duì)于f(x)=ax2+bx+c,若對(duì)稱軸為x=x0,則

        (1)當(dāng)a>0時(shí),若|t1-t0|>|t2-x0|,則f(t1)>f(t2);

        (2)當(dāng)a<0時(shí),若|t1-x0|>|t2-x0|,則f(t1)

        【例1】已知f(x)=ax2+bx+c,且f(-3)=f(2),求a與b的關(guān)系.

        解:∵f(-3)=f(2),

        ∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

        ∴b12a=-3+212.

        ∴b1a=-1,即b=-a.

        【例2】已知函數(shù)f(x)=3x2+2x+b,試比較5+b與b+1的大小關(guān)系.

        解:由題意可知5+b=f(1),b+1=f(-1).

        又∵f(x)=3x2+2x+b的對(duì)稱軸為x=-213,

        顯然有|1-213|<|-1-213|.

        故由理論可知f(1)

        二、基本理論2

        若f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù),且f(a)·f(b)<0,則必存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.

        推論:若f(x)=0為一元二次方程,且x=x1根的范圍是a

        【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件:較小的根小于1,較大的根在1和3之間,求a的取值范圍.

        解:設(shè)f(x)=ax2-2x+1,則f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),當(dāng)然在(-∞,1),及(1,3)上也連續(xù),由基本理論2知,必有f(1)·f(3)<0,即(a-1)(9a-5)<0,∴519

        評(píng)析:本題的解法避免了用判別式的繁雜計(jì)算,使解題過程大大簡(jiǎn)化.

        【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件:一根在0與1之間,另一根在1與2之間,求m的集合.

        分析:由上述理論可知,應(yīng)有f(0)·f(1)<0,

        f(1)·f(2)<0,

        即(3-m)·(4-2m)<0,

        (4-2m)·(7-3m)<0,

        解得2

        三、利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性特征還可求一些可化為二次函數(shù)型的函數(shù)的值域

        【例5】求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域.

        分析:若令cosx=t,則y=3t2-4t+1,這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù),從而可求值域.

        解:令cosx=t,則-1≤x≤1,y=3t2-4t+1,這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù),從而可利用圖象求值域.

        由前述理論可知,當(dāng)t=-1時(shí),ymax=3×(-1)2-4×(-1)+1=8;

        當(dāng)t=213時(shí),ymin=-113.

        ∴函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域?yàn)閇-113,8].

        評(píng)析:對(duì)于定義域不全為全體實(shí)數(shù)集的二次函數(shù),若用配方法求值域,尚需分類討論,顯然不如用圖象來得簡(jiǎn)便.

        (責(zé)任編輯金鈴)

        二次函數(shù)是一種重要的函數(shù),它有很多重要的性質(zhì),其中對(duì)稱性和根的存在性就是其中的兩個(gè)重要的性質(zhì).本文基于這兩個(gè)重要的性質(zhì)得出兩個(gè)推論,旨在拋磚引玉,引起大家對(duì)二次函數(shù)圖象的探究.

        一、基本理論1

        根據(jù)對(duì)稱性知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若對(duì)稱軸為x=x0,則f(x0-t)=f(x0+t)(其中t為常數(shù)).

        推論:對(duì)于f(x)=ax2+bx+c,若對(duì)稱軸為x=x0,則

        (1)當(dāng)a>0時(shí),若|t1-t0|>|t2-x0|,則f(t1)>f(t2);

        (2)當(dāng)a<0時(shí),若|t1-x0|>|t2-x0|,則f(t1)

        【例1】已知f(x)=ax2+bx+c,且f(-3)=f(2),求a與b的關(guān)系.

        解:∵f(-3)=f(2),

        ∴|-3-b12a|=|2-b12a|且-3<-b12a<2.

        ∴b12a=-3+212.

        ∴b1a=-1,即b=-a.

        【例2】已知函數(shù)f(x)=3x2+2x+b,試比較5+b與b+1的大小關(guān)系.

        解:由題意可知5+b=f(1),b+1=f(-1).

        又∵f(x)=3x2+2x+b的對(duì)稱軸為x=-213,

        顯然有|1-213|<|-1-213|.

        故由理論可知f(1)

        二、基本理論2

        若f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù),且f(a)·f(b)<0,則必存在x0∈(a,b),使得f(x0)=0.

        推論:若f(x)=0為一元二次方程,且x=x1根的范圍是a

        【例3】若方程ax2-2x+1=0的兩根滿足條件:較小的根小于1,較大的根在1和3之間,求a的取值范圍.

        解:設(shè)f(x)=ax2-2x+1,則f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),當(dāng)然在(-∞,1),及(1,3)上也連續(xù),由基本理論2知,必有f(1)·f(3)<0,即(a-1)(9a-5)<0,∴519

        評(píng)析:本題的解法避免了用判別式的繁雜計(jì)算,使解題過程大大簡(jiǎn)化.

        【例4】若方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足條件:一根在0與1之間,另一根在1與2之間,求m的集合.

        分析:由上述理論可知,應(yīng)有f(0)·f(1)<0,

        f(1)·f(2)<0,

        即(3-m)·(4-2m)<0,

        (4-2m)·(7-3m)<0,

        解得2

        三、利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性特征還可求一些可化為二次函數(shù)型的函數(shù)的值域

        【例5】求函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域.

        分析:若令cosx=t,則y=3t2-4t+1,這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù),從而可求值域.

        解:令cosx=t,則-1≤x≤1,y=3t2-4t+1,這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù),從而可利用圖象求值域.

        由前述理論可知,當(dāng)t=-1時(shí),ymax=3×(-1)2-4×(-1)+1=8;

        當(dāng)t=213時(shí),ymin=-113.

        ∴函數(shù)y=3cos2x-4cosx+1的值域?yàn)閇-113,8].

        評(píng)析:對(duì)于定義域不全為全體實(shí)數(shù)集的二次函數(shù),若用配方法求值域,尚需分類討論,顯然不如用圖象來得簡(jiǎn)便.

        (責(zé)任編輯金鈴)

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