宋娜
拋物線動點(diǎn)問題是最近幾年中考的一個(gè)熱點(diǎn)題型,中考常將拋物線的動點(diǎn)問題作為壓軸題出現(xiàn)。所謂“拋物線動點(diǎn)問題”,是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動點(diǎn),它們在拋物線上運(yùn)動的一類開放性題目。解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題,結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的平面圖形的性質(zhì),再根據(jù)已知條件找出動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行求解。既然是動點(diǎn),能否用運(yùn)動的觀點(diǎn)來解決呢?下面用幾個(gè)例子來探究怎樣用運(yùn)動的觀點(diǎn)解決此類問題。
例1:如圖1,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(-3,0)兩點(diǎn)。(1)求該拋物線的解析式; (2)在拋物線上的第二象限上是否存在一點(diǎn)P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由。
分析:(1)由A、B點(diǎn)坐標(biāo)可求出拋物線解析式:y=-x2-2x+3. (2)由題知點(diǎn)B(-3,0),點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)P是第二象限的拋物線上的點(diǎn),△PBC的面積最大值,也就是取決于動點(diǎn)P的位置。
若過點(diǎn)P做x軸的垂線交BC于點(diǎn)G,交x軸于H,則可將△PBC分成兩個(gè)同底的三角形,分別為△PGB與△PGC,同時(shí)這兩個(gè)三角形的高可以平移到x軸上,則S△PBC=S△PGB+S△PGC=■PG×BG+■PG×OG=■PG(BG+OG)=■PG×OB. 題中OB的長度是確定的,也就轉(zhuǎn)化成求PG的最大值。而PG的長度可由P點(diǎn)的縱坐標(biāo)和G點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差求得,可設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x,則P(x,-x2-2x+3),G點(diǎn)的橫坐標(biāo)也是x,而直線BC解析式可由點(diǎn)B、C求得y=x+3. 所以,G(x,x+3),則PG=(-x2-2x+3)-(x+3)=-x2-3x=-(x+■)2+■,可見當(dāng)P(■,■),△PBC的面積最大。此方法適用于在拋物線上尋找一點(diǎn)與已知點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積最大。
另解:(篇幅所限,略)。
例2:如圖2,拋物線y=x2-2x-3與x軸交A、B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)),直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn),其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2。(1)求A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式;(2)點(diǎn)G拋物線上的動點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)F,使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請說明理由。
分析:(1)令y=0,得出A(-1,0),)B(3,0),C(2,-3),直線AC:y=-x-1.(2)此問可以這樣分類考慮,以A、C、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,在圖中已經(jīng)存在一條線段AC,分別以AC為對角線和一條邊來考慮。當(dāng)AC為對角線時(shí),如圖3,此時(shí)CG//x軸,由平行四邊形對邊平行且相等,G點(diǎn)的縱坐標(biāo)與C點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同,都是-3, 點(diǎn)G1坐標(biāo)為(0,-3)??梢?,G點(diǎn)向右平移了兩個(gè)單位得到C點(diǎn),同樣A點(diǎn)向右平移兩個(gè)單位得到F1點(diǎn),即F1(1,0)。
當(dāng)AC為平行四邊形的一條邊時(shí)候,如圖4,AC的對邊FG可看作由AC平移得到,C點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)為F.由于C點(diǎn)縱坐標(biāo)是-3,F(xiàn)點(diǎn)縱坐標(biāo)是0,所以F點(diǎn)由C向上平移3個(gè)單位,同樣G點(diǎn)由A點(diǎn)向上平移3個(gè)單位,A點(diǎn)縱坐標(biāo)是0,則G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3。所以,當(dāng)y=3時(shí),拋物線y=x2-2x-3對應(yīng)的點(diǎn)可求為G2(1+■,3),G3(1-■)。當(dāng)G2(1+■,3)是由A(-1,0)向右平移2+■個(gè)單位得到,同樣C點(diǎn)向右平移2+■個(gè)單位得到2+(2+■)=4+■,F(xiàn)2(4+■,0);當(dāng)G3(1-■,3)是由A(-1,0)向左平移-1-(1-■)=-2+■個(gè)單位得到,同樣C點(diǎn)向左平移-2+■得到2-(-2+■)=4-■,F(xiàn)3(4-■).
如圖5,可將AC向下平移,此時(shí)CG//x軸,C、G關(guān)于對稱軸x=1對稱,則G(0,-3),即C(2,-3)點(diǎn)向左平移兩個(gè)單位,同樣A(-1,0)向左平移兩個(gè)單位得到F4(-3,0).
【解題策略】動點(diǎn)產(chǎn)生的平行四邊形問題:一般已知兩個(gè)點(diǎn),其他兩點(diǎn)具有一定的條件限制,判斷是否存在滿足該條件并能夠成平行四邊形的點(diǎn);或已知三個(gè)點(diǎn),問是否存在第四個(gè)點(diǎn)使這四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為平行四邊形。此時(shí),要先利用平行四邊形的性質(zhì)確定點(diǎn)的存在性,然后分情況討論,再觀察計(jì)算平移的方向和距離。由此例題可見,畫圖這一步很重要,因?yàn)殡S著點(diǎn)(線)的移動,與之相關(guān)的一些圖形肯定隨著改變,而且點(diǎn)(線)平移到不同的位置,我們要研究的圖形可能會改變,同時(shí)可以考慮到多種情況,不容易漏解。所以,一定要畫圖,不能憑空想象。
(遼寧省瓦房店市第三初級中學(xué))