張學(xué)雷

二次函數(shù)作為一種重要的基本初等函數(shù)在初高中數(shù)學(xué)教學(xué)中都有很重要的地位.對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行詳細(xì)研究，對(duì)于初高中數(shù)學(xué)教學(xué)都有重要的意義.在初中，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)函數(shù)知識(shí)的理解還不夠深入，所以這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)多是機(jī)械性和記憶性的.進(jìn)入高中以后，尤其是高三復(fù)習(xí)階段，要對(duì)二次函數(shù)的知識(shí)靈活應(yīng)用，就必須對(duì)它的基本概念和基本性質(zhì)（定義域、值域、圖像、單調(diào)性、奇偶性、有界性）進(jìn)行深入研究.

一、引導(dǎo)學(xué)生在掌握了函數(shù)定義的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入理解二次函數(shù)的概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上又學(xué)習(xí)了映射，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例以更深刻地認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念.二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax■+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記為f（x）=ax■+bx+c（a≠0）.這里ax■+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理以下問題.

類型I：已知f（x）=2x■+x+2，求f（x+1）.

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值.

類型Ⅱ：設(shè)f（x+1）=x■-4x+1，求f（x）.

這個(gè)問題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1的象是x■-4x+1，求定義域中元素X的象，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則.

一般有兩種方法：（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式.f（x+1）=x■-4x+1=（x+1）■-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x■-6x+6.（2）變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都適用.令t=x+1，則x=t-1，∴f（t）=（t-1）■-4（t-1）+1=t■-6t+6，從而f（x）=x■-6x+6.

二、結(jié)合二次函數(shù)的圖像深化學(xué)生對(duì)于單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等基本性質(zhì)的理解

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax■+bx+c在區(qū)間（-∞，-■]及[-■，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺地利用圖像學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)單調(diào)性.

類型Ⅲ：畫出下列函數(shù)的圖像，并通過圖像研究其單調(diào)性.

（1）y=x■+2|x-1|-1

（2）y=|x■-1|

（3）y=x■+2|x|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系.掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)表示，然后畫出其圖像.

類型Ⅳ：設(shè)f（x）=x■-2x-1在區(qū)間[t，t+1]上的最小值是g（t）.

求：g（t）并畫出y=g（t）的圖像

解：f（x）=x■-2x-1=（x-1）■-2，在x=1時(shí)取最小值-2

當(dāng)1∈[t，t+1]，即0≤t≤1，g（t）=-2

當(dāng)t>1時(shí)，g（t）=f（t）=t■-2t-1

當(dāng)t<0時(shí)，g（t）=f（t+1）=t■-2

g（t）=t■-2，（t<0）-2，（0≤t≤1）t■-2t-1，（t>1）

首先要使學(xué)生弄清楚題意，一般地，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大值或最小值的情況隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面的知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí).

如：y=3x■-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域.

三、強(qiáng)化學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的知識(shí)的綜合理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平

類型Ⅴ：設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax■+bx+c（a>0）方程f（x）-x=0的兩個(gè)根x■，x■滿足0

（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，x■）時(shí)，證明x

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=x■對(duì)稱，證明：x■<■.

解題思路：

本題要證明的是x

因?yàn)?0，又a>0，所以f（x）>0，即f（x）-x>0.至此，證得x

根據(jù)韋達(dá)定理，有x■x■=■，∵0f（0），所以當(dāng)x∈（0，x■）時(shí)f（x）

（Ⅱ）∵f（x）=ax■+bx+c=a（x+■）■+（c-■） （a>0）

函數(shù)f（x）的圖像的對(duì)稱軸為直線x=-■，且是唯一的對(duì)稱軸，因此，依題意，得x■=-■，因?yàn)閤■，x■是二次方程ax■+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)韋達(dá)定理得，x■+x■=-■，∵x■-■<0，∴x■=-■=■（x■+x■-■）<■，即x■=■.

總之，二次函數(shù)作為最基本的初等函數(shù)之一，它有著豐富的內(nèi)涵和外延.以它為代表研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和綜合數(shù)學(xué)素質(zhì)，特別是能從解答的深入程度中，區(qū)分出學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力.