吳寧寧，羅紀(jì)生

（天津大學(xué) 力學(xué)系，天津 300072）

0 引 言

高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測是飛行器設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵問題之一，該問題的研究具有重要理論意義。目前比較常用的轉(zhuǎn)捩預(yù)測方法是以流動穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)的eN方法，該方法一般用于邊界層流向變化緩慢的流動。

由于設(shè)計(jì)需要，飛行器表面存在小折角，包括小擴(kuò)張角和壓縮角。由于邊界層中的流動在折角處變化較快，導(dǎo)致在邊界層中傳播的小擾動經(jīng)過折角時(shí)，其幅值、波長都會受到影響。因此，在折角附近不滿足流動穩(wěn)定性理論，穩(wěn)定性計(jì)算得到的N值存在誤差。工程上采用的eN方法是忽略流場在折角處的突變，直接積分增長率得到N值。這樣簡單的處理會引起誤差，進(jìn)而對轉(zhuǎn)捩位置產(chǎn)生影響。因此，研究壁面小折角對高超聲速邊界層中擾動演化的影響，并對eN方法進(jìn)行修正，具有重要的工程應(yīng)用價(jià)值［1－6］。

本文采用數(shù)值模擬和流動穩(wěn)定性的方法，研究了來流馬赫數(shù) Ma＝4.5，折角分別為±1°，±2°，±3°（正為壓縮角、負(fù)為擴(kuò)張角）的擾動演化情況，考察了不同折角角度對不同頻率的擾動波的影響，根據(jù)流動穩(wěn)定性理論預(yù)測了折角前后不穩(wěn)定擾動波的演化，并對某些影響eN方法的情況進(jìn)行分析，給出了N值的修正系數(shù)。

1 控制方程和數(shù)值方法

1.1 計(jì)算模型及控制方程

計(jì)算模型如圖1所示，定義壓縮角為正，擴(kuò)張角為負(fù)。

圖1 擴(kuò)張角和壓縮角模型Fig.1 Expansion angle and compression angle model

控制方程為可壓縮守恒型Navier－Stokes方程組，將直角坐標(biāo)系（x，y）變換到貼體坐標(biāo)系（ξ，η）下，貼體坐標(biāo)系下的控制方程的形式為：

為了敘述方便，采用（x，y）表示貼體坐標(biāo)系下流向和壁面法向坐標(biāo)。

1.2 數(shù)值格式

計(jì)算基本流時(shí)采用守恒型N－S方程中，對流項(xiàng)采用通量分裂，五階WENO格式進(jìn)行計(jì)算，粘性項(xiàng)采用六階中心差分格式，時(shí)間項(xiàng)采用三階TVD的Runge－Kutta格式。壁面采用無滑移絕熱條件，出口采用外推邊界條件。計(jì)算擾動演化時(shí)采用擾動方程進(jìn)行計(jì)算，即將N－S方程中的守恒變量看作基本流加擾動的形式帶入方程，去掉基本流的項(xiàng)，通過化簡得到擾動方程，直接求解擾動量。在求解時(shí)，對流項(xiàng)差分格式采用McCormack格式，粘性項(xiàng)采用六階中心差分格式，時(shí)間項(xiàng)采用6階Runge－Kutta格式。計(jì)算域出口采用嵌邊函數(shù)邊界條件［7－8］。

基本流的計(jì)算：采用直接數(shù)值模擬進(jìn)行計(jì)算，先計(jì)算折角上下游比較長范圍內(nèi)的流場，流向、法向均采用非均勻網(wǎng)格，在折角附近及壁面附近網(wǎng)格較密。然后，從所得稀流場中選取折角附近的流場，再進(jìn)行加密計(jì)算，得到用于研究小擾動演化的基本流場。這樣做是為了排除入口馬赫波的影響。定義折角處為坐標(biāo)原點(diǎn)，計(jì)算域入口為x＝－50。

1.3 線性穩(wěn)定性理論

得到基本流后，在計(jì)算域入口引入給定頻率的不穩(wěn)定擾動波，不穩(wěn)定擾動波是以計(jì)算域入口的流場為基本流，采用線性穩(wěn)定性理論計(jì)算得到的。設(shè)小擾動可以寫成行進(jìn)波的形式，本文研究二維擾動，所以，入口處的小擾動波可以寫成如下形式：

其中，φ′＝ ｛ρ′，u′，v′，T′，p′｝表示擾動量，A0為小擾動幅值，ω 為頻率，α為線性擾動方程的特征值，為相應(yīng)的特征函數(shù)。計(jì)算采用空間模式，α為復(fù)數(shù)，實(shí)部αr表示流向波數(shù)，負(fù)的虛部 －αi為擾動幅值的增長率，記為σ。

對某一流向站位采用線性穩(wěn)定性理論（LST）計(jì)算其特征值和特征函數(shù)，調(diào)整擾動波頻率，得到增長率為零的頻率即為此站位的中性曲線點(diǎn)。計(jì)算不同的站位的中性曲線點(diǎn)，即可得到整個(gè)流場的中性曲線［9－10］。

1.4 修正系數(shù)ΔN

根據(jù)擾動方程數(shù)值模擬（DNS）的結(jié)果可以得到擾動幅值A(chǔ)沿流向的演化，由此得到擾動幅值沿流向的增長率。在折角上游，由于流動是漸變的，線性穩(wěn)定性理論（LST）預(yù)測的擾動幅值的增長率與數(shù)值模擬（DNS）是一致的；在折角的附近，由于折角突變的影響，LST得到的結(jié)果與DNS不一致；當(dāng)流動到達(dá)折角下游，流場恢復(fù)漸變的性質(zhì)，因此在折角下游某一站位后，LST的計(jì)算結(jié)果將會與DNS一致，即從此位置開始，擾動幅值的增長率可以采用LST方法計(jì)算。

σDNS、σLST分別為采用DNS和LST計(jì)算得到的擾動幅值增長率，在折角附近處Δσ不為零，其它位置處為零。因此，當(dāng)x達(dá)到過折角后某一站位，ΔN將趨于常數(shù)，稱其為折角對N值的修正。對于給定的來流條件，N值修正與折角和擾動頻率有關(guān)。

1.5 計(jì)算工況

為了工程的需要，應(yīng)該對N值修正進(jìn)行系統(tǒng)計(jì)算。作為初步研究，本文針對來流馬赫數(shù)Ma＝4.5，溫度T∞＝255.7K，以入口邊界層位移厚度δ為特征長度無量綱化，其雷諾數(shù)Re＝1×105，折角θ＝±1°，±2°，±3°，初始擾動幅值A(chǔ)0＝1×10－6，研究了第一模態(tài)、第二模態(tài)不穩(wěn)定擾動波過折角的線性演化，并分析折角θ對修正系數(shù)ΔN（x）的影響，給出了不同折角和頻率下的N值修正。

2 計(jì)算結(jié)果及分析

2.1 程序驗(yàn)證及網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)

首先，對數(shù)值模擬計(jì)算程序進(jìn)行驗(yàn)證，采用平板邊界層擾動演化進(jìn)行驗(yàn)證。圖2（a）為頻率ω＝2.2，DNS和LTS計(jì)算所得到的平板邊界層中擾動幅值演化結(jié)果。由圖可知，DNS與LST的計(jì)算結(jié)果吻合的很好，驗(yàn)證了數(shù)值模擬程序的正確性。其次，進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性檢驗(yàn)，分別采用法向網(wǎng)格數(shù)為251、401，流向網(wǎng)格相等的兩套網(wǎng)格進(jìn)行擴(kuò)張角1°，頻率ω＝1.92的擾動波演化計(jì)算。

圖2（b）為兩套網(wǎng)格所計(jì)算的擾動波幅值演化結(jié)果。結(jié)果表明，法向網(wǎng)格取251時(shí)，可以滿足計(jì)算精度要求。下述計(jì)算結(jié)果都采用此網(wǎng)格。

圖2 平板邊界層及不同網(wǎng)格的擾動幅值演化Fig.2 Disturbance amplitude evolutions

2.2 擴(kuò)張角對第二模態(tài)擾動波的影響

來流馬赫數(shù)為4.5時(shí)，根據(jù)模態(tài)分析理論，第二模態(tài)擾動波的增長率較大，是引起轉(zhuǎn)捩的主要因素。首先考慮第二模態(tài)擾動波的情況。

為了便于分析，在計(jì)算擾動波的演化之前，采用流動穩(wěn)定性理論（LST）計(jì)算帶擴(kuò)張角流動的中性曲線，其中所用基本流采用直接數(shù)值模擬（DNS）計(jì)算，由中性曲線可得擾動經(jīng)過擴(kuò)張角后的演化情況，為進(jìn)一步數(shù)值模擬提供依據(jù)。圖3（a）給出了擴(kuò)張角為1度的邊界層中第二模態(tài)不穩(wěn)定擾動的中性曲線（DNS）和平板邊界層（BLXS）中性曲線對比。其中，虛線為采用平板布拉修斯解作為基本流，采用流動穩(wěn)定性理論所求得的中性曲線；實(shí)線為采用直接數(shù)值模擬求得的擴(kuò)張角流動作為基本流，采用流動穩(wěn)定性理論所求得的中性曲線。由圖可知，在x＝0處，即擴(kuò)張角站位，由于基本流局部變化較快，流動穩(wěn)定性理論不再適用。在擴(kuò)張角上下游，如x＜－20、x＞50的范圍內(nèi)，中性曲線變化比較平緩，可以采用流動穩(wěn)定性理論計(jì)算擾動演化。

由圖3可知，當(dāng)存在擴(kuò)張角時(shí)，中線曲線在過擴(kuò)張角后，其上下兩支同時(shí)向頻率減小的方向偏折，表明擴(kuò)張角使原來高頻的不穩(wěn)定擾動波變成穩(wěn)定狀態(tài)，而原來處于穩(wěn)定狀態(tài)的低頻擾動波變成不穩(wěn)定狀態(tài)，即擴(kuò)張角前的不穩(wěn)定擾動波經(jīng)過擴(kuò)張角后很快就變?yōu)樗p波。經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，頻率ω＝1.92是增長區(qū)間最長的不穩(wěn)定波。圖3（b）、（c）、（d）分別為頻率ω＝1.92的擾動波幅值、增長率和修正系數(shù)ΔN沿流向的演化，實(shí)線和虛線分別代表直接數(shù)值模擬（DNS）和流動穩(wěn)定性理論（LST）的計(jì)算結(jié)果。

由圖3（c）可得，在擴(kuò)張角之前，DNS和LST計(jì)算的擾動增長率吻合的很好，即擾動波的演化規(guī)律符合線性穩(wěn)定性理論；在擴(kuò)張角處，由于基本流流向變化急劇，不滿足流動穩(wěn)定性理論，DNS和LST計(jì)算的增長率差別很大；在擴(kuò)張角后的某流向站位，流動變化漸趨平緩，DNS和LST計(jì)算的增長率相符合。根據(jù)1.4節(jié)公式（4）可以計(jì)算出修正系數(shù)ΔN 為－0.2左右，如圖3（d）所示。由于頻率ω＝1.92是增長區(qū)間最長的不穩(wěn)定波，其它頻率不穩(wěn)定擾動波的增長區(qū)間都比較短，擾動波很快就衰減，因此不需要對N值進(jìn)行修正。

圖4為擴(kuò)張角2°、3°的計(jì)算結(jié)果。圖4（a）和（b）分別為2°、3°的中性曲線對比，實(shí)線和虛線的計(jì)算方法和所代表的意義同擴(kuò)張角1°類似。由圖中可知，中性曲線上下兩支的下移程度隨擴(kuò)張角的增大而增大，即擴(kuò)張角之前的增長波過擴(kuò)張角后變?yōu)樗p波。圖4（c）和圖4（d）為頻率ω＝2.0的擾動波的幅值演化，其增長衰減趨勢滿足中性曲線。由于擴(kuò)張角前增長的擾動波過擴(kuò)張角后全部衰減，因此采用eN方法預(yù)測轉(zhuǎn)捩時(shí)，不用對N值進(jìn)行修正。

圖3 擴(kuò)張角為1°的第二模態(tài)擾動的中性曲線和ω＝1.92擾動的演化Fig.3 Neutral curves in second mode and the curves of disturbance evolution（θ＝－1°，ω＝1.92）

綜上所述，通過對不同擴(kuò)張角的計(jì)算分析可得，對上游不穩(wěn)定擾動波，擴(kuò)張角相當(dāng)于一個(gè)阻斷器，阻斷了不穩(wěn)定波的增長；對下游穩(wěn)定擾動波，擴(kuò)張角相當(dāng)于擾動發(fā)生器，使得原來一些低頻的穩(wěn)定擾動波變成不穩(wěn)定狀態(tài)。因此，采用eN方法計(jì)算帶有小擴(kuò)張角流動的N值時(shí)，擴(kuò)張角之前可以按eN方法計(jì)算N值；在擴(kuò)張角之后，會出現(xiàn)新的低頻不穩(wěn)定波，計(jì)算N值時(shí)要考慮這些新的低頻不穩(wěn)定波。總之，遇到小擴(kuò)張角時(shí)，可以采用常規(guī)eN方法計(jì)算N值預(yù)測轉(zhuǎn)捩位置，但是需要考慮新出現(xiàn)的低頻不穩(wěn)定波。

2.3 壓縮角對第二模態(tài)擾動波的影響

圖5給出了壓縮角為1°的第二模態(tài)擾動波的中性曲線及其沿流向的幅值演化。其中，圖5（a）為中性曲線，兩條中性曲線的計(jì)算方法如2.2節(jié)擴(kuò)張角所述。由圖5（a）可得，與擴(kuò)張角所得結(jié)論相反，壓縮角使得中性曲線上下兩支向上偏折，即壓縮角后的不穩(wěn)定擾動波頻率增大，產(chǎn)生了高頻不穩(wěn)定波。

選擇過壓縮角后有足夠增長區(qū)間的不穩(wěn)定擾動波進(jìn)行計(jì)算，在此選擇頻率為2.1、2.2、2.3的擾動波，分別采用數(shù)值模擬（DNS）和流動穩(wěn)定性（LST）方法計(jì)算幅值演化。圖5（b～d）為相應(yīng)頻率擾動波的幅值演化，圖5（e～g）為相應(yīng)的擾動幅值增長率演化。由圖可知，在壓縮角后某一站位，即x＞100處，線性穩(wěn)定性理論（LST）和直接數(shù)值模擬（DNS）計(jì)算出的增長率完全吻合，僅僅在壓縮角附近產(chǎn)生差別。這表明從此站位開始可以采用流動穩(wěn)定性理論（LST）預(yù)測擾動演化，即可以采用eN方法計(jì)算N 值預(yù)測轉(zhuǎn)捩，但在壓縮角附近需要對N值進(jìn)行修正。采用1.4節(jié)公式（4）可以計(jì)算得到不同頻率的修正系數(shù)ΔN，如圖5（h）所示。可知，當(dāng)x＞100時(shí)，修正系數(shù)ΔN為常數(shù)，即為該頻率下的修正系數(shù)值。在此工況下，修正系數(shù)ΔN 的范圍為－0.6～0.6。由于無法對所有頻率進(jìn)行計(jì)算，在此所得的范圍僅為本文所計(jì)算頻率下的數(shù)值，只是一個(gè)定性的結(jié)果，定量的結(jié)果有待于進(jìn)一步計(jì)算。

采用同樣的方法，計(jì)算壓縮角為2°、3°對第二模態(tài)擾動波的影響。圖6給出了壓縮角為2°、3°的中性曲線和幅值演化。圖6（a）和（b）分別是壓縮角為2°、3°的中性曲線。其中，實(shí)線和虛線的計(jì)算方法同2.2節(jié)擴(kuò)張角。由圖可得，過壓縮角后中性曲線向上偏移程度隨壓縮角的增大而增大。壓縮角前不穩(wěn)定擾動波過壓縮角后全部衰減，中性曲線閉合。進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在下游距離壓縮角較遠(yuǎn)的位置處不穩(wěn)定擾動區(qū)域再次出現(xiàn)，形成中性曲線在壓縮角下游斷開的現(xiàn)象。這是因?yàn)殡S著壓縮角的增大，其對下游的速度剖面產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響擾動的增長特性。在距離壓縮角較遠(yuǎn)的下游，流動受壓縮角影響較小，不穩(wěn)定區(qū)域再次形成。選取頻率為2.0的不穩(wěn)定擾動波，分別采用直接數(shù)值模擬（DNS）和流動穩(wěn)定性理論（LST）進(jìn)行計(jì)算。圖6（c）和（d）為幅值演化結(jié)果，實(shí)線和虛線分別代表DNS和LST的計(jì)算結(jié)果。擾動波的增長和衰減趨勢與中性曲線的預(yù)測相吻合。

圖4 擴(kuò)張角為2°、3°第二模態(tài)擾動的中性曲線及幅值演化曲線（ω＝2.0）Fig.4 Neutral curves in second mode and the curves of amplitude evolution（ω＝2.0）

圖5 壓縮角為1°第二模態(tài)擾動的計(jì)算結(jié)果（θ＝1°）Fig.5 Computational results of second mode（θ＝1°）

圖6 壓縮角為2°、3°的中性曲線和擾動幅值演化曲線（ω＝2.0）Fig.6 Neutral curves in second mode and the curves of amplitude evolution（ω＝2.0，θ＝2°、3°）

由上述分析可知，當(dāng)壓縮角為2°、3°時(shí)，不穩(wěn)定擾動波過壓縮角后全部衰減。因此，碰到壓縮角大于1度的流場時(shí)，采用eN方法計(jì)算N 值時(shí)，不需要考慮對N值進(jìn)行修正，可以采用常規(guī)方法計(jì)算，即忽略壓縮角的影響，分別計(jì)算壓縮角上下游的N值即可。

2.4 擴(kuò)張角對第一模態(tài)擾動波的影響

如前所述，當(dāng)馬赫數(shù)為4.5時(shí)，依據(jù)模態(tài)分析理論，第二模態(tài)在轉(zhuǎn)捩中占主導(dǎo)地位。采用eN方法計(jì)算N值時(shí)，主要考慮第二模態(tài)擾動波的增長率。為了研究擾動過擴(kuò)張角和壓縮角演化的機(jī)理，下面計(jì)算分析擴(kuò)張角對第一模態(tài)擾動波的影響。

圖7給出了擴(kuò)張角為1°、2°、3°第一模態(tài)擾動波的中性曲線及頻率ω＝0.65擾動波的幅值演化曲線。圖7（a～c）中實(shí)線和虛線的計(jì)算方法如前2.2節(jié)所述。實(shí)線代表帶擴(kuò)張角的平板第一模態(tài)的中性曲線，虛線代表平板第一模態(tài)的中性曲線。可看出，擴(kuò)張角對第一模態(tài)中性曲線的下支影響很小，這與靠近壁面部分的流向速度剖面過擴(kuò)張角變化不大有關(guān)。擴(kuò)張角使得中性曲線的上支向下偏折，即過擴(kuò)張角后不穩(wěn)定擾動波的頻率范圍變窄，其偏折程度隨擴(kuò)張角的增大而增大。當(dāng)擴(kuò)張角為3°時(shí)，在下游站位x＝180處中性曲線閉合，不穩(wěn)定擾動波全部衰減。進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x＝460時(shí)不穩(wěn)定擾動區(qū)域重新出現(xiàn)，即出現(xiàn)了中性曲線斷開的現(xiàn)象。這種現(xiàn)象與壓縮角為3°第二模態(tài)的中性曲線類似。選取頻率為0.65的擾動波，分別采用直接數(shù)值模擬（DNS）和流動穩(wěn)定性（LST）計(jì)算幅值演化。圖7（d～f）分別為頻率ω＝0.65擾動波過擴(kuò)張角為1°、2°、3°的幅值演化結(jié)果。過擴(kuò)張角后擾動幅值雖然出現(xiàn)調(diào)制，但LST與DNS所計(jì)算的幅值演化趨勢基本吻合，這表明，在擴(kuò)張角后可以采用流動穩(wěn)定性理論（LST）預(yù)測擾動的幅值演化。

由圖7（d～f）可以看到，擴(kuò)張角后擾動的幅值演化不再是單調(diào)的，而是在空間上被調(diào)制了。為了深入分析這一現(xiàn)象，我們特別研究了圖7（f）的工況。根據(jù)波的傳播理論，當(dāng)小擾動波在空間傳播時(shí)，如果傳播介質(zhì)隨空間變化，擾動波的波數(shù)α將發(fā)生變化；如果傳播介質(zhì)隨時(shí)間變化，將引起頻率ω的變化。由于擴(kuò)張角將會引起流場空間變化，因此頻率ω不變，波數(shù)α發(fā)生變化。從計(jì)算結(jié)果分析，擴(kuò)張角下游的擾動中有兩個(gè)波數(shù)的擾動波。

為了證實(shí)ω不發(fā)生變化的結(jié)論，我們考察了擴(kuò)張角后邊界層中空間某一點(diǎn)（x＝55.3，y＝0.763）的擾動速度隨時(shí)間的演化。圖8（a）給出了擾動速度隨時(shí)間的演化，圖8（b）為時(shí)間域傅立葉變換的結(jié)果?？芍?，擾動波的周期T＝9.67、頻率ω＝2π／9.67＝0.65，與計(jì)算域入口所加的擾動波頻率一致。

下面給出擴(kuò)張角對擾動波長影響的分析。由圖7（f）可得，當(dāng)邊界層中存在擴(kuò)張角時(shí)，幅值產(chǎn)生調(diào)制現(xiàn)象。在離擴(kuò)張角較遠(yuǎn)的下游，調(diào)制是由兩個(gè)波數(shù)的擾動引起的，這兩個(gè)波數(shù)及擾動可以由直接數(shù)值模擬（DNS）所計(jì)算的特征值和特征函數(shù)得到，即我們將擴(kuò)張角后的擾動形式寫為

其中α1、α2為擾動方程的不同特征值，為對應(yīng)的歸一化后的特征函數(shù)，A、B分別為擾動的幅值。根據(jù)對圖7（f）的分析可得｜B｜／｜A｜≈0.045，｜Δα｜＝｜αr1－αr2｜≈2π／34≈0.18，如圖8（c）所示。

為了驗(yàn)證上述分析，我們對擾動速度進(jìn)行空間域的傅里葉變換，變換的范圍為x1＝41.2859到x2＝186.474，變換的基本波數(shù)α0＝2π／（x2－x1）＝0.04328。變換的結(jié)果如圖8（d）所示，波數(shù)空間中出現(xiàn)兩個(gè)峰值，分別對應(yīng)n＝13，17，波數(shù)為0.5626和0.7357，波數(shù)差為0.1731，兩波數(shù)幅值比為0.05，與分析的結(jié)果基本一致。

圖7 擴(kuò)張角為－1°、－2°、－3°的第一模態(tài)擾動波的中性曲線和擾動幅值演化曲線Fig.7 Neutral curves in first mode and the curves of amplitude evolution（θ＝－1°，－2°，－3°）

圖8 時(shí)間域傅里葉變換和空間域傅里葉變換Fig.8 Time domain of Fourier transform and Fourier transform on spatial domain

為了驗(yàn)證這兩個(gè)波數(shù)可以由線性穩(wěn)定性理論（LST）的特征值得到，我們?nèi)＝49.03處的流動作為基本流，用線性穩(wěn)定性理論（LST）計(jì)算了該處的特征值和特征函數(shù)，對應(yīng)頻率ω＝0.65得到的兩個(gè)特征值分別為：α1＝0.7384＋0.000242i，α2＝0.5414＋0.000056i，與數(shù)值模擬得到的波數(shù)基本一致，這兩個(gè)特征值都是衰減的，但衰減率很小，特征函數(shù)分布如圖9（a，b）所示。

圖9（c）為將兩個(gè)波數(shù)的波疊加，并與直接數(shù)值模擬進(jìn)行對比的結(jié)果。帶三角符號的虛線是兩個(gè)波數(shù)的波疊加的結(jié)果（YZ），帶正方形符號的虛線數(shù)值模擬（DNS）計(jì)算的結(jié)果。由圖可知，兩者吻合的很好，再一次證明上述分析是正確的。

總之，擾動通過擴(kuò)張角后，可能產(chǎn)生不同波數(shù)的擾動，數(shù)值模擬得到的波數(shù)與用流動穩(wěn)定性理論給出的結(jié)果基本一致，表明可以用流動穩(wěn)定性理論的方法預(yù)測這些不同波數(shù)。流動穩(wěn)定性理論給出的兩個(gè)擾動波的衰減率都很小，因此在擴(kuò)張角下游的一定區(qū)域內(nèi)這些擾動波能同時(shí)存在，它們相互作用就會出現(xiàn)擾動幅值被調(diào)制的現(xiàn)象。如果擴(kuò)張角下游只有一個(gè)擾動波是增長的或者衰減很慢，其它的擾動波衰減都較快，則在演化中這個(gè)擾動波的幅值將遠(yuǎn)大于其它擾動波的幅值，因而調(diào)制現(xiàn)象將會變得相對很弱，表現(xiàn)為擴(kuò)張角后開始有調(diào)制的現(xiàn)象，但在遠(yuǎn)離下游處調(diào)制現(xiàn)象就會變得不明顯，如圖6（c，d）所示。

圖9 特征函數(shù)和結(jié)果驗(yàn)證Fig.9 Eigen－function and Verification of results

圖7（d～f）的結(jié)果表明，對于給定的頻率，擴(kuò)張角對擾動幅值的調(diào)制隨角度增大而增大，但調(diào)制引起的幅值改變總量較小，不影響擾動總的增長或衰減的趨勢。

綜上，擴(kuò)張角使得第一模態(tài)的不穩(wěn)定波范圍減小，擾動過擴(kuò)張角后產(chǎn)生衰減。同時(shí)，在此工況下，第一模態(tài)擾動波的增長率很小，對轉(zhuǎn)捩不起主導(dǎo)作用。所以，當(dāng)采用eN方法計(jì)算帶有小擴(kuò)張角流場的第一模態(tài)N值時(shí)，不需要對N值進(jìn)行修正。

2.5 壓縮角對第一模態(tài)擾動波的影響

圖10為壓縮角1°、2°、3°第一模態(tài)擾動波的中性曲線、幅值演化和修正系數(shù)曲線。其中，圖10（a～c）為中性曲線對比，圖中實(shí)線和虛線分別為帶壓縮角的中性曲線和平板的中性曲線，計(jì)算方法同2.2節(jié)擴(kuò)張角。由圖可知，與擴(kuò)張角類似，壓縮角對第一模態(tài)中線曲線的下支影響也很小，原因如2.4節(jié)所述。上支則同擴(kuò)張角相反，壓縮角使其向上偏折，即不穩(wěn)定波的頻率范圍變大，偏折程度隨壓縮角的增大而增大。

選取頻率為0.65的擾動波，分別采用直接數(shù)值模擬（DNS）和流動穩(wěn)定性理論（LST）方法計(jì)算擾動過壓縮角為1°、2°、3°的幅值演化。圖10（d～f）給出了頻率ω＝0.65的擾動波的幅值演化曲線。其中，實(shí)線代表數(shù)值模擬結(jié)果，虛線代表流動穩(wěn)定性的計(jì)算結(jié)果。由圖可知，三幅圖中DNS和LST所計(jì)算的擾動幅值增長趨勢一致，與中性曲線的預(yù)測結(jié)果吻合。圖10（g～i）分別為壓縮角1°、2°、3°的修正系數(shù)曲線。由圖可知，在同一頻率下，修正系數(shù)隨壓縮角的不同而不同，修正量范圍為－0.085～0.025，修正系數(shù)很小。

同擴(kuò)張角類似，壓縮角對第一模態(tài)擾動波也產(chǎn)生了幅值調(diào)制，如圖10（d）所示。其原因如前2.4節(jié)所述。由圖10（d）、（e）、（f）可得，對于同一頻率的擾動波，擾動幅值的調(diào)制隨角度的增大而減弱，這與擴(kuò)張角正好相反。這是由于過壓縮角后，中性曲線上支向上偏折嚴(yán)重，進(jìn)而使得增長率增大，從而導(dǎo)致其幅值遠(yuǎn)大于其他波數(shù)的波，調(diào)制現(xiàn)象減弱，不影響擾動總的增長或衰減趨勢。

由圖10（a～c）可知，第一模態(tài)擾動波過壓縮角后，不穩(wěn)定波頻率范圍變大，即原來穩(wěn)定的高頻擾動波變成不穩(wěn)定狀態(tài)。在此工況下，采用eN方法計(jì)算N值預(yù)測轉(zhuǎn)捩時(shí)，如果考慮第一模態(tài)擾動波的影響，需要對N值進(jìn)行修正。

圖10 壓縮角為1°，2°，3°第一模態(tài)擾動波中性曲線和幅值演化Fig.10 Neutral curves in first mode and the curves of amplitude evolution（θ＝1°，2°，3°）

3 結(jié) 論

本文采用數(shù)值模擬結(jié)合線性穩(wěn)定性分析的方法對折角分別為±1°，±2°，±3°（正為壓縮角、負(fù)為擴(kuò)張角）的高超聲速邊界層中擾動波的線性演化進(jìn)行了初步研究，分別考慮擴(kuò)張角和壓縮角對第一模態(tài)和第二模態(tài)擾動波的影響。同時(shí)，對采用eN方法計(jì)算帶有小折角工況下的N 值進(jìn)行驗(yàn)證分析，提出當(dāng)存在小折角時(shí)，需要對N值修正的概念，并對具體的工況給出了修正系數(shù)。通過計(jì)算分析，所得結(jié)論如下：

（1）擴(kuò)張角對第一模態(tài)和第二模態(tài)擾動波具有阻斷作用。第二模態(tài)中性曲線過擴(kuò)張角后向下偏折，偏折程度隨擴(kuò)張角的增大而增大。當(dāng)擴(kuò)張角為1°時(shí)，中性曲線偏折較小，擴(kuò)張角前的不穩(wěn)定波具有足夠的增長區(qū)間。在本文所計(jì)算的工況下，頻率為1.92的擾動波采用eN方法時(shí)需要對N 值進(jìn)行修正，修正系數(shù)為－0.2。當(dāng)擴(kuò)張角為2°、3°時(shí)，由于中性曲線偏折嚴(yán)重，不需要對N值進(jìn)行修正，可以采用常規(guī)eN方法計(jì)算N值。

（2）擴(kuò)張角對第一模態(tài)的中性曲線下支影響很小，這是由于靠近壁面附近的速度剖面過擴(kuò)張角時(shí)變化很小。中性曲線的上支在擴(kuò)張角后向下偏折，程度隨擴(kuò)張角的增大而增大。當(dāng)擴(kuò)張角為3°時(shí)，在擴(kuò)張角下游產(chǎn)生中性曲線間斷的現(xiàn)象。由于不穩(wěn)定擾動波過擴(kuò)張角后全部衰減，采用eN方法時(shí)不需要對N值進(jìn)行修正。

（3）同擴(kuò)張角相反，第二模態(tài)的中性曲線過壓縮角后向上偏折，程度隨壓縮角的增大而增大。當(dāng)壓縮角為1°時(shí)，中性曲線向上偏折較小，壓縮角前的不穩(wěn)定波具有有效的增長區(qū)間。在本文所計(jì)算的工況下，當(dāng)采用eN方法計(jì)算帶壓縮角的流場時(shí)，需要對N值進(jìn)行修正，修正范圍為－0.6～0.6。當(dāng)壓縮角為2°、3°時(shí)，中性曲線向上偏折更加嚴(yán)重，甚至出現(xiàn)中性曲線間斷的現(xiàn)象，不需要對N值進(jìn)行修正，可以采用常規(guī)eN方法進(jìn)行計(jì)算。

（4）壓縮角對第一模態(tài)中性曲線的下支影響很小，這與擴(kuò)張角所得結(jié)論一致。但是其上支與擴(kuò)張角相反，在壓縮角后向上偏折，程度隨壓縮角的增大而增大。即不穩(wěn)定波的頻率范圍增大，所以當(dāng)考慮計(jì)算第一模態(tài)的N值時(shí)，需要對其進(jìn)行適當(dāng)修正。

（5）計(jì)算發(fā)現(xiàn)第一模態(tài)擾動波通過折角演化時(shí)出現(xiàn)幅值調(diào)制現(xiàn)象，這是由于擾動波通過折角時(shí)，激發(fā)出不同波數(shù)的擾動波相互疊加所導(dǎo)致的。但是調(diào)制所引起的幅值變化很小，不影響擾動總的增長或衰減趨勢。

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