向 陽，劉 洪，吳鎮(zhèn)遠(yuǎn)

（1.上海交通大學(xué) 航空航天學(xué)院，上海 200240；2.上海交通大學(xué) 吳鎮(zhèn)遠(yuǎn)空氣動(dòng)力學(xué)中心，上海 200240）

0 引 言

魚的游動(dòng)和昆蟲等動(dòng)物的飛行所產(chǎn)生的非定常流動(dòng)中，渦的形成和脫落是一種非常重要的現(xiàn)象。根據(jù)Helmholtz原理，由于渦管封閉而形成的渦環(huán)是一種最基本的渦結(jié)構(gòu)。針對(duì)渦環(huán)的流體動(dòng)力以及在生物推進(jìn)中的作用，流體力學(xué)學(xué)者和生物學(xué)學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。Shariff［1］對(duì)渦環(huán)的形成、傳輸以及產(chǎn)生裝置對(duì)渦環(huán)的影響做了全面的回顧和總結(jié)，同時(shí)Dabiri［2］進(jìn)一步揭示了渦環(huán)的生長模式在生物推進(jìn)中的作用以及指出在生物推進(jìn)過程中存在渦環(huán)的最佳形成時(shí)間。除此之外，Dickinson［3－4］和 Fish［5］都指出魚和鳥運(yùn)動(dòng)過程中是不斷產(chǎn)生渦環(huán)的過程并進(jìn)一步分析渦環(huán)的形成和傳輸過程。所以基于渦環(huán)的研究能揭示非定常流體動(dòng)力的機(jī)理和本質(zhì)。

Ruiz［6］通過實(shí)驗(yàn)研究渦環(huán)形成過程中產(chǎn)生的力，分析非定常力的增強(qiáng)主要是因?yàn)闇u環(huán)從周圍流體中不斷夾帶流體以及渦環(huán)本身的附加質(zhì)量。所以渦環(huán)的形成尤其是其夾帶流體的過程一直是研究的重點(diǎn)。Maxworthy［7］通過活塞裝置證實(shí)了渦環(huán)的形成過程不斷夾帶流體，Dabiri［8］通過外流動(dòng)減緩渦環(huán)的傳輸速度研究渦環(huán)的夾帶過程，發(fā)現(xiàn)形成時(shí)間比較小的渦環(huán)的夾帶流體占渦環(huán)總體積的30%～40%。Olcay［9］通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步研究了不同形成時(shí)間下渦環(huán)的夾帶體積的比例，發(fā)現(xiàn)當(dāng)形成時(shí)間比較小時(shí)，隨著形成時(shí)間的增大，渦環(huán)夾帶體積的比例在減小。但是當(dāng)形成時(shí)間進(jìn)一步增大所帶來渦環(huán)的夾帶體積的變化還沒有得到深入的分析。

針對(duì)渦環(huán)的形成和傳輸模式，F(xiàn)raenkel［10］和Saffman［11］基于無粘條件下提出薄核模型，并給渦環(huán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)（渦環(huán)半徑、渦核半徑、傳輸速度）與動(dòng)力學(xué)參數(shù)（環(huán)量、動(dòng)量、能量）之間的關(guān)系。Sullivan［12］根據(jù)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果和理論分析，改進(jìn)了無粘下的薄核理論，提出了有粘下的薄核理論，對(duì)渦環(huán)物理特征參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行了修正。Didden［13］根據(jù)渦頁卷起模型分析了活塞裝置生成渦環(huán)的過程，指出渦環(huán)的環(huán)量主要來自于活塞出口的剪切作用，并對(duì)渦環(huán)的能量、動(dòng)量等物理特征的變化進(jìn)行分析提出Slug模型。由于無法合理的確定渦環(huán)的物理特征參數(shù)，進(jìn)而無法定量的分析渦環(huán)物理特征參數(shù)隨渦環(huán)形成的變化。Akhmetov［14］通過實(shí)驗(yàn)的方法研究渦環(huán)的半徑、渦核半徑等參數(shù)隨形成時(shí)間的變化規(guī)律，獲得一些不同于 Gharib［15］結(jié)論，同時(shí) Akhmetov［14］沒有進(jìn)一步分析渦環(huán)物理特征發(fā)生變化的原因。

Gharib［15］發(fā)現(xiàn)當(dāng)渦環(huán)的形成時(shí)間達(dá)到一個(gè)數(shù)值后，渦環(huán)的環(huán)量不再進(jìn)一步增加，也叫渦環(huán)發(fā)生夾止（Pinch－off）。Gharib［15］利 用 Kelvin－Benjamin 變 分原理存在的能量極值原理解釋，并把渦環(huán)發(fā)生夾止對(duì)應(yīng)的形成時(shí)間稱為最佳的形成時(shí)間。Dabiri［2］、Linden［16］等人認(rèn)為當(dāng)渦環(huán)達(dá)到最佳形成時(shí)間后，其推進(jìn)效率最高。其中Krueger［17］通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)最佳形成時(shí)間下渦環(huán)所產(chǎn)生的無量綱平均推力最大，該研究從力的角度回答了渦環(huán)的最佳生長時(shí)間的意義，從能量的角度研究渦環(huán)的最佳形成時(shí)間意義還需要進(jìn)一步的研究。

在研究渦環(huán)的過程，不能明確的確定渦環(huán)的邊界限制了進(jìn)一步定量研究渦環(huán)的物理特征。Didden［13］、Gharib［15］等人在確定渦環(huán)的物理特征參數(shù)，主要是根據(jù)渦環(huán)的渦量分布情況，模糊的確定渦環(huán)的邊界。該方法在定量化處理渦環(huán)的物理特診參數(shù)存在嚴(yán)重的不足。Dabiri［18］根據(jù)拉格朗日擬序方法（LCS）確定渦環(huán)的邊界，通過該方法確定的渦環(huán)不包括渦環(huán)的虛擬質(zhì)量部分。在確定渦環(huán)的形成過程所對(duì)應(yīng)的非定常瞬時(shí)力，LCS是一種很好的方法，而對(duì)于研究渦環(huán)的物理特征參數(shù)的變化，該方法存在一些不足。

綜合上述分析，由于渦環(huán)自身物理特征的研究還缺乏深入地研究，進(jìn)而無法分析渦環(huán)形成、演化過程以及相對(duì)應(yīng)的流體動(dòng)力，也無法解釋渦環(huán)最佳形成時(shí)間的普遍存在性以及最佳形成時(shí)間對(duì)應(yīng)的能量最優(yōu)利用率。為了定量化分析渦環(huán)的形成和演化過程，本文采用流函數(shù)方法確定渦環(huán)的邊界并根據(jù)渦環(huán)的隨體坐標(biāo)系下的流場(chǎng)信息確定渦環(huán)的物理特征參數(shù)。進(jìn)一步分析渦環(huán)的物理特征參數(shù)隨形成時(shí)間的變化規(guī)律以及渦環(huán)的夾止所帶來的物理參數(shù)的變化。同時(shí)為了研究渦環(huán)的形成和演化所帶來流體動(dòng)力的變化，本文根據(jù)Saffman［19］的沖量定理理解渦環(huán)形成過程瞬時(shí)力的變化，并基于能量分配的觀點(diǎn)，分析不同形成時(shí)間渦環(huán)的傳輸能和渦旋能的分配比例。

1 研究方法

本文通過數(shù)值模擬渦環(huán)的形成和演化過程，進(jìn)而獲得渦環(huán)的速度和渦量分布?；跍u環(huán)隨體坐標(biāo)系，采用流函數(shù)方法確定渦環(huán)的邊界和其它物理特征參數(shù)。通過與Gharib［15］等人的實(shí)驗(yàn)對(duì)比驗(yàn)證計(jì)算和參數(shù)確定的準(zhǔn)確性和合理性。

1.1 數(shù)值計(jì)算

由于渦環(huán)的各向同性的特點(diǎn)，采用不可壓軸對(duì)稱N－S方程求解，獲得一個(gè)截面的流場(chǎng)信息即可分析整個(gè)渦環(huán)的特性。

1.1.1 計(jì)算條件

計(jì)算域的設(shè)置如圖1?；钊陌霃絉p＝1／2D＝7.5mm，L1＝400mm，L2＝50mm，L3＝950mm，H＝200mm。根據(jù)UDF定義活塞的運(yùn)動(dòng)速度函數(shù)Up＝0.1583m／s，采用動(dòng)網(wǎng)格使活塞沿著軸向方向運(yùn)動(dòng)，在活塞的移動(dòng)距離到達(dá)規(guī)定的數(shù)值后，活塞的速度變?yōu)?，進(jìn)而生成的渦環(huán)將繼續(xù)向下游傳輸。在FLUENT6.23下進(jìn)行計(jì)算，網(wǎng)格點(diǎn)的總數(shù)為61197，計(jì)算采用PISO格式，選擇層流，時(shí)間步長為0.5ms。本文驗(yàn)證了網(wǎng)格的無關(guān)性，和時(shí)間步長的選取對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，差別都小于1%。

圖1 計(jì)算域Fig.1 The domain of computation

1.1.2 計(jì)算的準(zhǔn)確性分析

Gharib［15］研究渦環(huán)的形成過程指出，渦環(huán)的無量綱環(huán)量的計(jì)算為：Γ＊＝。圖2是在渦環(huán)的形成時(shí)間為6時(shí)，數(shù)值計(jì)算的結(jié)果與Gharib［15］實(shí)驗(yàn)獲得的結(jié)果的對(duì)比。從圖2中可以看出計(jì)算的誤差小于5%，是可以接受的。

圖2 數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)下的環(huán)量對(duì)比Fig.2 Comparison of the circulation evolution of the numerical and experimental results

1.2 流函數(shù)原理

1.2.1 流函數(shù)的計(jì)算

根據(jù) Akhmetov［14］在文中的介紹，取柱坐標(biāo)（r，θ，z），使z軸為渦環(huán)的對(duì)稱軸線，由于渦環(huán)存在軸對(duì)稱特點(diǎn)，所以＝0，＝0，進(jìn)而渦環(huán)內(nèi)部每一個(gè)點(diǎn)的速度只有兩個(gè)分量即：V（r，z）＝ver＋uez。在固定坐標(biāo)系下引入流函數(shù)ψ，使u＝－，v＝，所以r進(jìn)一步可知：ψ＝（udr－vdz）。在渦環(huán)的隨體坐標(biāo)上，根據(jù) Akhmetov［14］的方法引入流函數(shù)ψ0＝［（u－u0）dr－vdz］＝（udr－vdz）－ru0dr＝ψ－u0r2，u0是渦環(huán)的傳輸速度，根據(jù)渦核內(nèi)部渦量最大值處在單位時(shí)間移動(dòng)的單位距離確定。同時(shí)進(jìn)一步定義在r＝0處即渦環(huán)的對(duì)稱軸上（z軸）流函數(shù)ψ0的值都為0。在計(jì)算流場(chǎng)中任意一點(diǎn)（z1，r1）的流函數(shù)ψ0（z1，r1）值時(shí)，積分線程L的起點(diǎn)為該點(diǎn)在z軸的投影點(diǎn)（z1，0），故線程L即為點(diǎn)（z1，0）和點(diǎn)（z1，r1）之間的直線線段，所以ψ0（z1，r1）＝［（uu0）dr－vdz］＝r·（u（z1，r）－u0）dr。進(jìn)而利用該方法可以計(jì)算出隨體坐標(biāo)系下流場(chǎng)中各點(diǎn)流函數(shù)的值。并畫出在渦環(huán)隨體坐標(biāo)系下，渦環(huán)區(qū)域的流函數(shù)等值線，如圖3。

圖3 隨體坐標(biāo)下的流函數(shù)等值線Fig.3 Streamline pattern

圖3可以看出ψ0＝0的等值線包括z軸和一條半圓線，該半圓線把整個(gè)區(qū)域分成兩個(gè)部分，ψ0＞0的區(qū)域流線封閉，而ψ0＜0的區(qū)域流線不封閉，那么把ψ0＝0的封閉曲線包括一條半圓線和z軸的一部分當(dāng)做渦環(huán)切面的邊界，改邊界繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即得渦環(huán)的邊界。

1.2.2 流函數(shù)方法的合理性

在 Gharib［15］、Maxwothy［7］等人在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，大部分都是根據(jù)渦環(huán)渦量的輪廓來直觀確定渦環(huán)的邊界，圖4是同一個(gè)渦環(huán)的兩種不同方法確定的邊界。

圖4 兩種不同確定渦環(huán)邊界方法的比較Fig.4 The comparison of two different methods to define the boundary of vortex ring

圖4中的虛線為兩種方法確定渦環(huán)的邊界，圖4（a）是根據(jù)流函數(shù)方法定量的確定渦環(huán)的邊界，而圖4（b）是根據(jù)渦量的分布人為畫出渦環(huán)的邊界。從渦量的輪廓和坐標(biāo)可以看出流函數(shù)方法具有合理性，但是直觀方法無法定量確定渦環(huán)的邊界，存在缺陷。

1.2.3 渦環(huán)最佳生長時(shí)間的確定

Gharib［15］在1998年的實(shí)驗(yàn)中分析長沖程活塞的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的渦環(huán)，發(fā)現(xiàn)渦環(huán)的形成時(shí)間存在一個(gè)極值點(diǎn)，達(dá)到該點(diǎn)之后，渦環(huán)的環(huán)量不再進(jìn)一步增加，渦環(huán)開始形成尾跡，如圖5。

圖5 不同形成時(shí)間下渦環(huán)的形成情況Fig.5 The visualization of vortex rings with different formation time

從圖5可以看出當(dāng)L／D達(dá)到4左右時(shí)，前緣渦環(huán)的大小不再變大，即渦環(huán)在此刻發(fā)生了夾止，Gharib［15］在確定渦環(huán)發(fā)生夾止的時(shí)間，是根據(jù)夾斷后的渦環(huán)的環(huán)量向前延長與總環(huán)量增長趨勢(shì)線的交點(diǎn)，下面采用相同的方法在定義渦環(huán)的邊界后進(jìn)一步確定渦環(huán)的最佳形成時(shí)間。如圖6以渦環(huán)的總形成時(shí)間6為例，其中縱坐標(biāo)為無量綱環(huán)量Г＝，橫坐標(biāo)為渦環(huán)的生長時(shí)間T＊，其計(jì)算方法為T＊＝，t為絕對(duì)的物理時(shí)間，單位為s。當(dāng)T＊達(dá)到6時(shí)活塞不再繼續(xù)推進(jìn)，而渦環(huán)還在形成和傳輸?shù)倪^程，故需要持續(xù)觀察，而使T＊的值增加。由于渦環(huán)的總生長時(shí)間為6，故當(dāng)生長時(shí)間達(dá)到6之后，流場(chǎng)中總的環(huán)量不再進(jìn)一步增加，由于停止渦［13］的形成，總環(huán)量有小幅度的下降。而此時(shí)前緣渦環(huán)與其尾跡沒有分開，所以不能容易地計(jì)算出渦環(huán)的環(huán)量，在渦環(huán)繼續(xù)向下游傳輸?shù)倪^程中，與其尾跡分開，而進(jìn)一步利用流函數(shù)方法確定渦環(huán)的邊界，并計(jì)算出其環(huán)量。當(dāng)渦環(huán)生長和向下游傳輸?shù)目偟臒o量綱時(shí)間達(dá)到15之后，渦環(huán)與尾跡完全分開，進(jìn)而計(jì)算其環(huán)量和確定渦環(huán)的最佳生長時(shí)間，如圖6所示確定在該速度函數(shù)下的渦環(huán)最佳形成時(shí)間。

圖6 計(jì)算渦環(huán)的最佳形成時(shí)間Fig.6 Calculate the optimal formation time of vortex ring

從圖6可以看出渦環(huán)的最佳形成時(shí)間是4左右，與Gharib［15］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，由于渦環(huán)在向下游傳輸?shù)倪^程中，渦量有一定的耗散，而使環(huán)量有略微的下降。

從上述比較發(fā)現(xiàn)根據(jù)流函數(shù)方法確定渦環(huán)的邊界是合理的，且能對(duì)渦環(huán)的眾多物理特征提供定量的分析。

1.3 渦環(huán)物理特征參數(shù)的確定

1.3.1 渦環(huán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)

渦環(huán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)包括傳輸速度U0，渦環(huán)的半徑R，渦環(huán)渦核的半徑a，其如圖7所示。

圖7 渦環(huán)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)示意圖Fig.7 Sketch of the kinetic parameter of vortex ring

在計(jì)算隨體坐標(biāo)系下的渦環(huán)的流函數(shù)值時(shí)首先要確定渦環(huán)的傳輸速度，根據(jù)渦環(huán)中心即渦核內(nèi)部渦量最大值的地方，在一定時(shí)間下移動(dòng)的距離計(jì)算渦環(huán)的無量綱傳輸速度U＊＝，在不同形成時(shí)間下渦環(huán)的傳輸速度如圖8所示。

由于渦環(huán)中心的確定存在一定的誤差，所以渦環(huán)的傳輸速度也有一定的誤差。從圖8可以看出渦環(huán)的傳輸速度在未發(fā)生夾止之前類似線性增長，與Shusser［20］依據(jù)Slug模型推出的結(jié)論一致，而當(dāng)渦環(huán)發(fā)生夾止之后渦環(huán)的傳輸速度與生長時(shí)間之間的關(guān)系發(fā)生了變化。根據(jù)Shusser［20］在2003年的文章指出在渦環(huán)發(fā)生夾止時(shí)渦環(huán)的傳輸速度滿足U0＝，從圖8可以發(fā)現(xiàn)在渦環(huán)的形成時(shí)間為4時(shí)，P U＊＝≈。在進(jìn)行一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論值對(duì)比后，該傳輸速度的計(jì)算是比較合理的。

圖8 不同形成時(shí)間下的渦環(huán)的傳輸速度Fig.8 The translational velocity of vortex ring with different formation time

進(jìn)一步確定渦環(huán)的半徑和渦核的半徑，首先使坐標(biāo)隨渦環(huán)的傳輸一起運(yùn)動(dòng)。在z＝0的平面上記錄渦環(huán)的軸向速度如圖9。

從圖9可以看出該平面上的速度存在兩個(gè)拐點(diǎn)，在拐點(diǎn)之間的速度近似線性的分布，該線性的分布區(qū)域即為渦核，所以如上圖a為渦核的半徑，而R為渦環(huán)的半徑。

圖9 z＝0平面上的軸向速度分布Fig.9 Velocity distribution in the plane z＝0

1.3.2 渦環(huán)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)

渦環(huán)的動(dòng)力學(xué)參數(shù)主要是渦環(huán)的環(huán)量、能量和動(dòng)量。根據(jù)流函數(shù)方法確定渦環(huán)的邊界，根據(jù)以下公式即可確定渦環(huán)的環(huán)量、能量和動(dòng)量：

其中A為根據(jù)流函數(shù)確定的渦環(huán)區(qū)域，ρ為流體的密度，ω為渦量。根據(jù)動(dòng)量定理以及Saffman［19］的沖量公式，可以計(jì)算渦環(huán)產(chǎn)生的非定常瞬時(shí)力為：

同時(shí)把渦環(huán)的能量分為傳輸能和渦旋能，其中傳輸能的定義為：與渦環(huán)的等大小等質(zhì)量的剛體以相等的傳輸速度移動(dòng)所具有的能量，其計(jì)算公式如下：

其中，V是根據(jù)流函數(shù)方法確定的渦環(huán)的體積。

2 結(jié)果與分析

在 Sharriff［1］、Maxworthy［2］、Gharib［15］以 及Akhmetov［14］等人對(duì)渦環(huán)的研究中證明渦環(huán)的物理特征主要與其形成時(shí)間（T＊＝L／D）和雷諾數(shù)（Re＝）有關(guān)系。本文主要利用流函數(shù)方法初步研究渦環(huán)的形成時(shí)間如何影響渦環(huán)的物理特征。

2.1 不同形成時(shí)間的渦環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性

采用隨體坐標(biāo)系下的流函數(shù)能較好的確定渦環(huán)的邊界，而由于渦量的耗散以及在確定渦環(huán)的如圖10是不同形成時(shí)間下渦環(huán)的邊界。

圖10可以看出在形成時(shí)間較小時(shí)渦環(huán)無尾跡生成，當(dāng)形成時(shí)間等于5時(shí)，渦環(huán)的尾跡已經(jīng)比較明顯。Maxwothy［6］和 Dabiri［8］的實(shí)驗(yàn)都證明了渦環(huán)的體積主要來自于活塞推出的流體和渦環(huán)生長過程從周圍夾帶的流體，進(jìn)而分析渦環(huán)在不同形成時(shí)間下的體積組成如圖11，其中三角形點(diǎn)表示渦環(huán)的總體積，圓形點(diǎn)表示活塞裝置中的流體，根據(jù)Didden［13］等人的觀點(diǎn)認(rèn)為活塞中的流體基本上都進(jìn)入渦環(huán)內(nèi)部。

圖10 不同形成時(shí)間渦環(huán)的邊界Fig.10 The boundary of vortex ring with different formation time

圖11 渦環(huán)體積及其組成Fig.11 The volumes of vortex and flux

渦環(huán)體積的另一部分來自于渦環(huán)的夾帶過程，不同形成時(shí)間渦環(huán)的體積中夾帶的部分所占的比重不同，如圖12。

圖12 不同形成時(shí)間渦環(huán)的夾帶流體情況Fig.12 Fluid entrainment by vortex ring with different formation time

從圖12可以看出在形成時(shí)間較小時(shí)，渦環(huán)中夾帶的流體的比例在30%～40%之間與Dabiri［8］2005年的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，并且隨著形成時(shí)間的增大，渦環(huán)的夾帶部分所占的比例在逐漸降低，而隨后渦環(huán)的夾帶部分開始增大。尾跡中開始生成新的小的渦環(huán)，而小渦環(huán)的夾帶能力很強(qiáng)，所以使整個(gè)渦環(huán)的夾帶能力增強(qiáng)。

不同形成時(shí)間下渦環(huán)的夾帶能力不同，其它運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)也隨形成時(shí)間變化而變化。根據(jù)前文中提到的方法確定渦環(huán)的半徑，渦核半徑并計(jì)算以下無量綱量：

圖13是渦環(huán)的無量綱參數(shù)隨形成時(shí)間的變化。從圖中可以看出渦環(huán)的半徑隨形成時(shí)間類似線性的變化。渦核的半徑在形成時(shí)間較小時(shí)變化比較明顯，而當(dāng)形成時(shí)間大于4后，增長趨勢(shì)不再明顯。

圖13 不同形成時(shí)間的渦環(huán)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)Fig.13 The parameters of vortex ring with different formation time

2.2 不同形成時(shí)間的渦環(huán)的動(dòng)力學(xué)特性

Gharib［15］在解釋渦環(huán)的夾止現(xiàn)象時(shí)，引用無量綱的能量參數(shù)進(jìn)行解釋，當(dāng)時(shí)渦環(huán)發(fā)生夾止。Krueger［19］等人在以后的研究中進(jìn)一步修正Slug模型，研究渦環(huán)的能量、動(dòng)量和環(huán)量的來源，并研究渦環(huán)的形成過程中產(chǎn)生的非定常力。

在本文計(jì)算驗(yàn)證的部分以渦環(huán)的環(huán)量變化趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)對(duì)比，在此主要討論渦環(huán)的能量分配和動(dòng)量的變化。Akhmetov［14］在解釋在同一介質(zhì)中，渦環(huán)的前進(jìn)距離是渦環(huán)同質(zhì)量同大小同傳輸速度下剛體的很多倍這種現(xiàn)象時(shí)，把渦環(huán)的能量分為傳輸能和渦旋能。進(jìn)一步分析得出渦環(huán)的傳輸能只占渦環(huán)總能量大約1／3，本文進(jìn)一步分析不同形成時(shí)間下渦環(huán)的總能量與傳輸能，如圖14。隨著形成時(shí)間的增加，渦環(huán)的傳輸速度和體積都在不斷增大，所以總能量和傳輸能量也在增大，而進(jìn)一步分析傳輸能所占的比例如見圖15。

圖14 不同的形成時(shí)間渦環(huán)的能量分配Fig.14 The energy distribution of vortex ring with different formation time

圖15 不同形成時(shí)間渦環(huán)的傳輸能所占比例Fig.15 The translational energy ratio of vortex ring with different formation time

從圖15可以看出渦環(huán)的傳輸能在總能量中所占比例較小。在形成時(shí)間較小時(shí)渦環(huán)的傳輸能所占的比例不斷增大，而當(dāng)渦環(huán)發(fā)生夾止后，傳輸能所占的比例不再上升。

從渦環(huán)的能量分配可以看出，渦環(huán)的渦旋能占據(jù)著很重要的一部分，進(jìn)一步根據(jù)公式（3）和（4）計(jì)算渦環(huán)在一個(gè)形成過程中的動(dòng)量及其產(chǎn)生的瞬時(shí)力如圖16。從沖量的曲線可以看出，在渦環(huán)不斷形成過程中，其沖量類似線性的不斷增長。而由于渦環(huán)的沖量變化產(chǎn)生的瞬時(shí)力近似一個(gè)常值，而也可以看出在由于渦環(huán)的夾止對(duì)渦環(huán)產(chǎn)生的瞬時(shí)力產(chǎn)生一定的影響。

圖16 渦環(huán)演化過程的沖量及瞬時(shí)力的變化Fig.16 The changes of impulse and instantaneous force in the evolution of vortex rings

3 結(jié) 論

本文通過數(shù)值模擬計(jì)算不同形成時(shí)間下渦環(huán)的形成和傳輸過程，并基于隨體坐標(biāo)系采用流函數(shù)方法確定渦環(huán)的邊界及其渦環(huán)半徑、渦核半徑、能量等物理特征，然后與 Gharib［15］、Dabiri［8］、Akhmetov［14］等人的實(shí)驗(yàn)對(duì)比，說明基于流函數(shù)的方法確定渦核的邊界以及確定其它物理特征是一種合理和有效的方法。

根據(jù)Gharib［15］的實(shí)驗(yàn)和本文的計(jì)算結(jié)果確定在該活塞的推動(dòng)速度下，渦環(huán)發(fā)生夾止的形成時(shí)間在4左右。根據(jù)流函數(shù)方法確定渦環(huán)的邊界可以看出，在形成時(shí)間為5時(shí)渦環(huán)已經(jīng)形成出尾跡，進(jìn)一步分析渦環(huán)的夾止對(duì)渦環(huán)物理特征的影響。

渦環(huán)的形成過程是流體不斷進(jìn)入和夾帶的過程，不同形成時(shí)間下渦環(huán)夾帶流體的能力不同，在形成時(shí)間在4左右時(shí)出現(xiàn)極小值，而后由于尾跡中出現(xiàn)小渦環(huán)而使夾帶能力提高。同時(shí)形成時(shí)間較小的渦環(huán)（即沒還有發(fā)生夾止）的一些物理參數(shù)（渦環(huán)半徑R＊、渦核半徑a＊、無量綱渦核半徑ε）隨形成時(shí)間類似線性增長，當(dāng)形成時(shí)間大于4之后，渦核半徑不再明顯的增大，而渦環(huán)半徑會(huì)進(jìn)一步增大，說明渦環(huán)的夾止也意味著渦核的夾止。

把渦環(huán)的能量分為傳輸能和渦旋能，其中傳輸能只占總能量的較小一部分，并且在形成時(shí)間較小時(shí)，隨著形成時(shí)間的增大渦環(huán)的傳輸能所占的比例在增大，而當(dāng)形成時(shí)間大于4后，渦環(huán)的傳輸能所占比例不再進(jìn)一步增大。進(jìn)一步根據(jù)沖量定理和Saffman［19］對(duì)流體沖量的定義，分析渦環(huán)形成過程中瞬時(shí)力的變化。由于活塞在該速度函數(shù)下，根據(jù)Slug模型和計(jì)算結(jié)果可知，渦環(huán)的動(dòng)量類似線性的增長，所以其產(chǎn)生的瞬時(shí)力近似一個(gè)常值。

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