(中船重工第710研究所，湖北 宜昌 443000)

0 引言

飛行體的姿態(tài)測量是實現(xiàn)飛行體精確控制的關(guān)鍵技術(shù)之一，它直接關(guān)系著高速旋轉(zhuǎn)條件下飛行體本身的抗干擾能力和運行的穩(wěn)定性[1-2]。由于飛行體的控制部分具有狹小的安裝空間和較高的運行速度，這使得常規(guī)的姿態(tài)角測量方案變得不可行。

地磁場具有的固有指向性使其可以作為天然的姿態(tài)參考坐標(biāo)系，通過安裝在飛行體上的巨磁阻(giant magneto resistive,GMR)磁傳感器可清晰地反映出飛行體在運行過程中的姿態(tài)變化。隨著地磁理論的不斷完善以及傳感器、微處理器和解算算法的日趨成熟，地磁測姿更以其成本低、可靠性高、抗過載能力高和誤差不隨時間積累等優(yōu)點成為當(dāng)前測姿和導(dǎo)航領(lǐng)域的一個研究熱點[3]。本文在地磁測姿法的基礎(chǔ)上，建立飛行體俯仰角和滾轉(zhuǎn)角測量模型，分析影響測量精度的因素，推導(dǎo)出誤差校正模型，并采用改進(jìn)的最小二乘法求解補(bǔ)償系數(shù)。同時針對隨機(jī)磁干擾信號，提出了去極值的滑動平均濾波算法。

1 飛行體姿態(tài)角測量的數(shù)學(xué)模型

飛行體的姿態(tài)角可用三個歐拉角表示：滾轉(zhuǎn)角γ、俯仰角θ和偏航角ψ[4-5]。為了尋求姿態(tài)角與地磁場的對應(yīng)關(guān)系，建立起原點在飛行體重心上的東-北-天的大地坐標(biāo)系o-xyz[6]；假設(shè)飛行體沿著它的軸向運動，建立地面坐標(biāo)系o-x′y′z′；以圓柱形的飛行體為例，建立飛行體發(fā)射坐標(biāo)系o-ζηξ；沿著飛行體的軸向運動，建立飛行體隨動坐標(biāo)系o-ζ′η′ξ′。將上述四種坐標(biāo)系統(tǒng)一在一個坐標(biāo)系上，得到的姿態(tài)角測量模型如圖1所示。

圖1 姿態(tài)角測量模型

圖1中，MM′為飛行體的橫截面與水平面之間的交線且過飛行體的重心o。根據(jù)四種坐標(biāo)系的定義可知，四個坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點o重合在一起，oz軸與oz′軸重合在一起，豎直向上；oζ、oζ′重合在一起為飛行體軸的方向；ox、oy、ox′、oy′在水平面內(nèi)；ox′和oζ重合在MM′上；oζ、oη、oζ′、oη′在飛行體的橫截面上?！夕恰鋙η即為所求的滾轉(zhuǎn)角γ，∠ξoy′為俯仰角θ，∠yoy′為偏航角ψ。

根據(jù)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從大地坐標(biāo)系o-xyz到飛行體發(fā)射坐標(biāo)系o-ζηξ的變換矩陣為：

(1)

(2)

飛行體在發(fā)射前處于靜止?fàn)顟B(tài)，聯(lián)立式(1)和式(2)可得：

由上式可推出初始狀態(tài)下的偏航角ψ0和俯仰角θ0，即：

(3)

(4)

從大地坐標(biāo)系o-xyz到飛行體隨動坐標(biāo)系o-ζ′η′ξ′的變換矩陣為：

(5)

當(dāng)飛行體處于高速旋轉(zhuǎn)狀態(tài)時，聯(lián)立式(2)和式(5)得：

(6)

對于中、短距離的飛行體的飛行軌跡，可以認(rèn)為它所經(jīng)過的區(qū)域的地磁場不變，即BT、D、I為定值，則由式(6)可得動態(tài)下的俯仰角θ和滾轉(zhuǎn)角γ表達(dá)式為：

在俯仰角θ的表達(dá)式中，BT、D、I是定值，Bξ′為傳感器Z軸的輸出，偏航角ψ處于變動狀態(tài)下。假設(shè)Bξ′是正弦變化的，對俯仰角θ的解算進(jìn)行仿真，分析不同偏航角ψ的誤差對俯仰角θ的影響，仿真結(jié)果如圖2所示。

由圖2可知，偏航角ψ的偏差在10°以內(nèi)對俯仰角θ的解算影響幾乎可以忽略。由于飛行體在中、短距離飛行時，飛行時間短，偏航角ψ與初始狀態(tài)下相比變化通常不會超過10°，因此，偏航角ψ可作為常量，影響俯仰角θ精度的參數(shù)主要是Bξ′。

由上述滾轉(zhuǎn)角的表達(dá)式可知，影響滾轉(zhuǎn)角γ測量精度的因素主要是Bζ′和Bη′。因此，后續(xù)的誤差分析與校正就是圍繞這幾個參數(shù)來進(jìn)行的。

圖2 偏航角對俯仰角解算的影響

2 姿態(tài)角誤差分析與校正

2.1 三軸磁傳感器誤差分析與校正

影響GMR傳感器輸出量Bξ′、Bζ′、Bη′準(zhǔn)確度的因素主要有兩類，第一類是系統(tǒng)的硬件誤差，第二類是飛行體在運行過程中由復(fù)雜的電磁環(huán)境引起的隨機(jī)誤差[7-8]。

硬件誤差屬于系統(tǒng)誤差，它主要包括GMR磁傳感器的零點誤差、靈敏度誤差和非正交性誤差[9]。修正順序為零點誤差、非正交性誤差和靈敏度誤差，修正表達(dá)式為：

(7)

將K、A、δ代入式(7)可得：

由上式可知Bζ″、Bη″、Bξ″以及系數(shù)的準(zhǔn)確求解涉及到超定方程組的求解，它的實現(xiàn)可采用“誤差平方和最小”原理，其計算模型為：

(8)

具體方法是：在平面的0°～360°之間每隔15°共24個試驗點分別測試GMR傳感器每個軸的輸出，得到24組磁場在x、y、z軸方向上的輸出信號，求出補(bǔ)償系數(shù)；然后將測得的數(shù)據(jù)代入修正表達(dá)式得到超定方程組；最后根據(jù)最小二乘法的矩陣形式就可計算出補(bǔ)償后的GMR傳感器輸出值Bζ″、Bη″、Bξ″以及系數(shù)。

記誤差方程為：

B′H=B″

(9)

將24組試驗所測數(shù)據(jù)代入式(9)，根據(jù)矩陣性質(zhì)即可求得補(bǔ)償系數(shù)：

(10)

由于實際中我們不可能知道任意方向上的地磁三分量的確切值，即B′未知，但在某一確定地點的總的磁場強(qiáng)度BT是恒定的，因此可通過下式來進(jìn)一步修正：

Bζ″2+Bξ″2+Bη″2=BT2

(11)

進(jìn)一步求得：

k1Bζ′2+k2Bζ′+k3Bζ′Bξ′+k4Bη′2+k5Bη′+k6Bη′Bξ′+k7Bξ′2k8Bξ′+P=BT2

(12)

根據(jù)這一改進(jìn)方法，可通過測量任意位置的磁場來計算補(bǔ)償參數(shù)，而不需要指定位置的磁場，減小了測量的復(fù)雜度。采用Matlab仿真，得到修正前后所測得的磁場值如圖3所示。

圖3 三維磁場校正前后對比圖

由圖3可知，通過算法修正系統(tǒng)誤差后所得出的仿真結(jié)果近似為圓球而非橢圓，較好地實現(xiàn)了對硬件誤差的修正。

2.2 隨機(jī)磁干擾補(bǔ)償與校正

由于隨機(jī)磁干擾的存在，A/D模塊采集的信號會疊加周期或者非周期性的磁干擾，為了剔除混入地磁信號中的干擾，除了硬件濾波外，還需軟件濾波。考慮到飛行體在運行過程中的高速性和姿態(tài)角解算的實時性，復(fù)雜的濾波算法顯得不可行。常用的濾波方式有：中位值濾波法、算術(shù)平均濾波法、滑動平均濾波法和去極值濾波法[10-11]。中位值和算術(shù)平均濾波法每次要采集多個數(shù)據(jù)點再進(jìn)行濾波處理，不能滿足實時控制的要求，而且濾波效果較差。滑動平均濾波法每采集一個數(shù)據(jù)點后即進(jìn)行濾波處理，操作相對簡單，處理速度快，它對周期性的干擾具有較好的抑制作用，但對偶然出現(xiàn)的脈沖性干擾抑制作用差，難以消除偶然因素引起的采樣值的偏差。去極值濾波法結(jié)合滑動平均濾波法則可以很好地解決這一問題。因此，本文采用去極值的滑動平均濾波法來減小隨機(jī)磁干擾。

動態(tài)測試數(shù)據(jù)y(t)由確定性成分f(t)和隨機(jī)成分e(t)組成，經(jīng)離散化后可表示為：

yi=fi+eii=1,2,…,N

(13)

假設(shè)在時間t內(nèi)的采樣值為y0,y1,y2,…，yN-1，在下一時刻的采樣值為yN，則去極值的滑動平均濾波法的算法模型為：

(14)

假設(shè)f(t)為正弦信號，e(t)為隨機(jī)噪聲磁干擾信號。當(dāng)e(t)的幅值為f(t)的1/2時，e(t)為隨機(jī)小噪聲磁干擾信號；當(dāng)e(t)的幅值為f(t)的2倍時，e(t)為隨機(jī)大噪聲磁干擾信號。采用滑動平均濾波法和去極值的滑動平均濾波法對其進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4和圖5所示。

圖4 信號受小噪聲干擾的濾波曲線

圖5 信號受大噪聲干擾的濾波曲線

通過對仿真數(shù)據(jù)結(jié)果的分析可知，原始數(shù)據(jù)經(jīng)過兩種方法濾波并做出誤差曲線;采用滑動平均濾波法和去極值的滑動平均濾波法求出的均值和方差分別為0.083 0、0.062 3、0.117 4、0.064 2和0.027 1、0、029 8、0.049 1、0.036 4。對比可知，無論隨機(jī)磁干擾信號大于還是小于真實信號，去極值的滑動平均濾波算法都優(yōu)于滑動平均濾波算法，尤其對偶然性誤差，去極值的滑動平均濾波法可起到較好的修正作用。

3 試驗驗證

基于以上理論分析和仿真，在無磁實驗轉(zhuǎn)臺下進(jìn)行測量，測量范圍為：俯仰角θ在-60°～60°內(nèi)變化，滾轉(zhuǎn)角γ在0°～360°內(nèi)變化。

實測數(shù)據(jù)如表1所示。由表1可知，俯仰角θ的誤差在3°以內(nèi)，滾轉(zhuǎn)角γ的誤差在5°以內(nèi)，滿足所要求的參數(shù)指標(biāo)。

表1 理論值與實測值的比較

4 結(jié)束語

本文通過建立俯仰角和滾轉(zhuǎn)角的測量模型，推導(dǎo)出解算算法，并對系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差進(jìn)行分析，采用最小二乘法和去極值的滑動平均濾波法來提高測量精度。經(jīng)Matlab仿真，理論上該方法可很好地實現(xiàn)校正，實際測試結(jié)果也驗證了該方法的可行性。

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