(武漢科技大學信息科學與工程學院，湖北 武漢 430081)

0 引言

網(wǎng)絡控制系統(tǒng)(network control system,NCS)是目前研究的熱點問題，研究的熱點之一在于考慮網(wǎng)絡時延、數(shù)據(jù)丟包、量化誤差等對系統(tǒng)性能的影響。文獻[1]～[2]分別研究了數(shù)據(jù)丟包和亂序NCS穩(wěn)定性問題，建立了Markov模型，設計了狀態(tài)反饋控制器;文獻[3]采用一種新的隨機計算方法，針對時變時延，研究了丟包、通信約束下NCS的穩(wěn)定性；文獻[4]針對前向通道具有網(wǎng)絡時延，研究了系統(tǒng)的最優(yōu)性能跟蹤問題。

本文在文獻[4]的基礎上考慮了反饋通道具有數(shù)據(jù)丟包的情形，不僅分析了跟蹤性能與非最小相位(non-minimum phase,NMP)零點、不穩(wěn)定極點、時延和數(shù)據(jù)丟包等單個參數(shù)的關系，而且還研究了這些參數(shù)相互耦合時六種情形下對跟蹤性能的影響。這對于了解控制系統(tǒng)的性能極限與對象特性之間的關系，理解設計的權(quán)衡和限制起著重要的指導作用。

1 有關基礎知識

當且僅當存在多項式x(s)和y(s)，使得式(1)成立時，則稱多項式f(s)和g(s)是互質(zhì)的。

fx+gy=1

(1)

式(1)稱為Bezout等式[5]。對任意正則實有理傳遞函數(shù)矩陣G屬于RH的八個矩陣，滿足如下關系[6]：

(2)

(3)

20世紀70年代后期，針對線性時不變系統(tǒng)，Youla等人給出了使得系統(tǒng)穩(wěn)定的所有控制器的參數(shù)化方法，得出如下結(jié)論：對于使系統(tǒng)達到漸進穩(wěn)定的控制器K，都可以通過Youla參數(shù)化進行分解。

2 跟蹤問題描述

系統(tǒng)的跟蹤性能通過參考輸入信號和輸出能量之差來衡量。假設系統(tǒng)的初態(tài)為零，系統(tǒng)的跟蹤性能指標定義為：

(4)

(5)

3 最優(yōu)跟蹤設計

系統(tǒng)框圖如圖1所示，G(s)與K(s)分別為對象模型和控制器的傳遞函數(shù)，τ為網(wǎng)絡時延，r和y分別為參考輸入和系統(tǒng)輸出，e為跟蹤誤差。本文將丟包的情形模擬為一個伯努利事件，用開關T來模擬反饋通道數(shù)據(jù)傳輸過程：當T閉合時(為1)，數(shù)據(jù)成功傳輸，概率為Psuc；當T斷開時(為0)，數(shù)據(jù)丟失，概率為Pdrop，其中，Psuc=1-Pdrop。為了書寫方便，令q為數(shù)據(jù)成功傳輸?shù)母怕省?/p>

圖1 具有時延和丟包的系統(tǒng)框圖

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

考慮r為單位階躍信號,即當t≥0時，r(t)=1；當t<0時，r(t)=0,則有：

(6)

當N(s)、M(s)∈RH時，對qG(s)進行右互質(zhì)分解，有：

(7)

根據(jù)全通理論，進一步分解M(s)、N(s)，可得：

M(s)=Bp(s)Mm(s)N(s)=qBz(s)Nn(s)

(8)

(9)

式中：Bp和Bz為全通因子，Bp包含對象所有不穩(wěn)定極點pj∈C+，j=1,…,m，Bz包含對象右半平面所有零點zi∈C+，i=1,…,n；Mm和Nn為最小相位部分。

對于任意X(s)、Y(s)∈RH滿足Bezout[7]，證明見Meinsma和Zwart[8]文中定理3.2。

M(s)X(s)-e-τsN(s)Y(s)=1

(10)

當Q(s)∈RH時，通過Youla參數(shù)化[7]可將所有鎮(zhèn)定控制器的集合表示為：

(11)

由式(6)、式(7)、式(10)和式(11)可得：

(12)

為求出系統(tǒng)跟蹤性能J的最優(yōu)值，在前向通道有延遲環(huán)節(jié)的基礎上[4]，引入定理1。

定理1 對于圖1所示網(wǎng)絡反饋控制系統(tǒng),系統(tǒng)的最優(yōu)性能為：

(13)

定理1證明如下。

根據(jù)式(5)和式(12)可得：

(14)

令T=eτs+q-1N(Y-MQ)，則求解系統(tǒng)跟蹤最優(yōu)性能Jopt等價于求解Topt。

(15)

(16)

(17)

(18)

式中：L(s)∈RH；

根據(jù)Bezout等式(10)，由M(pj)=0，可得：

(19)

則可得：

由于Nn和Mm均為外部函數(shù)和最小相位部分，因此容易得出：

(20)

至此完成定理1的證明。定理1說明考慮網(wǎng)絡時延和數(shù)據(jù)丟包,線性時不變單輸入單輸出(single input single output,SISO)系統(tǒng)最優(yōu)跟蹤性能指標由控制對象的NMP零點a、不穩(wěn)定極點c、網(wǎng)絡時延τ和數(shù)據(jù)丟包概率(1-Psuc)共同決定。

4 仿真示例

考慮不穩(wěn)定模型對象：

(21)

式中：a∈(0,10);c∈(0,10)。

根據(jù)定理1，系統(tǒng)最優(yōu)跟蹤性能Jopt的表達式為：

(22)

4.1 單變量研究

分別研究Jopt曲線和非最小相位零點a、不穩(wěn)定極點c、網(wǎng)絡時延τ和數(shù)據(jù)丟包概率(1-Psuc)的關系，仿真曲線如圖2所示。

圖2 最優(yōu)性能Jopt隨單變量變化曲線

從圖2可以看出，NMP零點、不穩(wěn)定極點對Jopt的影響類似，當零極點絕對值較小時，Jput隨著零極點離坐標軸的距離變遠而變差，較大時影響變??；存在時延的NCS，其跟蹤性能隨著網(wǎng)絡時延的增加、數(shù)據(jù)丟包概率的增大而惡化，所能允許的時延和丟包有一定的范圍限制。

4.2 多變量研究

考慮兩個變量對Jopt的影響,分以下六種情形進行仿真研究。

① 當z1=a=2、p1=c=1時，研究Jopt和Psuc、τ的關系，仿真曲線如圖3所示。

圖3 最優(yōu)性能Jopt和τ、Psuc仿真曲線

② 當τ=0、Psuc=1時，研究Jopt和a、c的關系，仿真曲線如圖4所示。

圖4 最優(yōu)性能Jopt和a、c仿真曲線

③ 當Psuc=1、c=1時，研究Jopt和a、τ的關系，仿真曲線如圖5所示。

圖5 最優(yōu)性能Jopt和a、τ仿真曲線

④ 當τ=0、c=1時，研究Jopt和a、Psuc的關系,仿真曲線如圖6所示。

圖6 最優(yōu)性能Jopt和a、Psuc仿真曲線

⑤ 當Psuc=1、a=2時，研究Jopt和c、τ的關系，仿真曲線如圖7所示。

圖7 最優(yōu)性能Jopt和c、τ仿真曲線

⑥ 當τ=0、a=2時，研究Jopt和c、Psuc的關系，仿真曲線如圖8所示。

圖8 最優(yōu)性能Jopt和c、Psuc仿真曲線

從圖3可以看出,數(shù)據(jù)成功傳輸?shù)母怕试酱螅顑?yōu)性能Jopt越好，時延越大，性能越差，當數(shù)據(jù)丟包和時延超過一定范圍時，性能明顯變壞。圖4反映了Jopt隨著的NMP零點、不穩(wěn)定極點離坐標軸的距離變化而變差，當零極點相消時，性能被破壞。圖5和圖6分別反映了NMP零點和時延、丟包的關系，圖7和圖8則分別反映了不穩(wěn)定極點和時延、丟包的關系。圖6～圖8說明，當零極點為某一分布時，所能允許的時延和數(shù)據(jù)丟包均只能在某一范圍內(nèi)。

5 結(jié)束語

本文主要研究了網(wǎng)絡控制系統(tǒng)的最優(yōu)跟蹤性能與網(wǎng)絡時延、數(shù)據(jù)丟包、NMP零點、不穩(wěn)定極點之間的相互關系。首先建立了系統(tǒng)模型，然后進行最優(yōu)跟蹤設計，最后通過七組仿真試驗驗證本文方法的有效性和可行性，表明控制對象的NMP零點、不穩(wěn)定極點、網(wǎng)絡時延和數(shù)據(jù)丟包的概率共同決定了最優(yōu)跟蹤性能，以及它們是如何從根本上影響最優(yōu)跟蹤性能的。該方法還可以推廣到帶寬、量化誤差、信噪比、參考信號等情形。

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