文永奎， 胡九戰(zhàn)， 盧文良

(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044)

引 言

實(shí)際工程中經(jīng)常采用的對(duì)稱(chēng)、準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)或局部對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，往往會(huì)在一窄段頻率范圍內(nèi)存在多階模態(tài)。特別是由空中廊橋聯(lián)接的雙子建筑或處于施工階段由貓道聯(lián)接的懸索橋主塔等結(jié)構(gòu)，會(huì)出現(xiàn)典型的由兩階模態(tài)組成的密集頻率結(jié)構(gòu)[1]，即雙密頻結(jié)構(gòu)；而且該型結(jié)構(gòu)因具有柔性大、阻尼小、低頻等特點(diǎn)，容易在外荷載激勵(lì)下發(fā)生大幅振動(dòng)。因此研究具有對(duì)稱(chēng)形式的雙密頻結(jié)構(gòu)的減振將具有重要工程意義。而作為相對(duì)成熟的減振措施，TMD因能適應(yīng)于多種荷載作用下的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制，被廣泛應(yīng)用。

經(jīng)典的TMD在設(shè)計(jì)時(shí)通常采用單自由度主結(jié)構(gòu)模型，即視結(jié)構(gòu)為單自由度或?qū)⒔Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)。其中，Den hartog 最早給出能使單自由度結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)峰值最小的TMD優(yōu)化頻率和阻尼比[2]；Jacquot采用了廣義質(zhì)量比，將TMD的優(yōu)化結(jié)果推廣到梁結(jié)構(gòu)[3]；Warburton假定結(jié)構(gòu)頻率非密集分布，進(jìn)一步將復(fù)雜連續(xù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單自由度系統(tǒng)以?xún)?yōu)化TMD參數(shù)[4]。此外，為提高TMD減振的魯棒性，多質(zhì)量阻尼器(Mutiple Tuned Mass Dampers, MTMD)的動(dòng)力性能得到研究[5～8]，但MTMD采用中心TMD對(duì)結(jié)構(gòu)某階頻率調(diào)諧，且在該頻率一定范圍內(nèi)分布多個(gè)TMD的方式，仍是針對(duì)單自由度主結(jié)構(gòu)的減振。

研究表明，針對(duì)TMD設(shè)計(jì)的單自由度主結(jié)構(gòu)模型，并不適用于密集頻率結(jié)構(gòu)的減振設(shè)計(jì)[9,10]。為有效實(shí)現(xiàn)對(duì)密集頻率結(jié)構(gòu)的減振，Abé指出需要采用不少于所控模態(tài)數(shù)的多個(gè)TMD，且須考慮TMD的空間分布，并給出了在合理布置條件下TMD參數(shù)的簡(jiǎn)化計(jì)算方法，但未對(duì)TMD的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行探討[1]。近年來(lái)，一些研究通過(guò)定義不同的目標(biāo)函數(shù)并采用梯度優(yōu)化的數(shù)值方法，實(shí)現(xiàn)了對(duì)單自由度主結(jié)構(gòu)減振的MTMD參數(shù)優(yōu)化，大大提高了在參數(shù)較多時(shí)的優(yōu)化效率[6～8]。其中，Warnitchai以梁和板結(jié)構(gòu)為例，將Davidon-Fletcher-Powell優(yōu)化算法進(jìn)一步推廣到多模態(tài)減振的TMD參數(shù)優(yōu)化，給出了相應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果和減振效果[11]。此外，文永奎對(duì)定義的H2性能目標(biāo)，通過(guò)線(xiàn)性矩陣不等式實(shí)現(xiàn)對(duì)多階頻率調(diào)諧的TMD參數(shù)優(yōu)化，但在TMD個(gè)數(shù)多時(shí)優(yōu)化的效率低下[12]。

可見(jiàn)，針對(duì)密集頻率結(jié)構(gòu)的減振，已有的成果對(duì)多個(gè)TMD參數(shù)優(yōu)化的過(guò)程、影響因素以及減振性能評(píng)價(jià)等方面的研究仍有不足，尚待深入探討。本文以經(jīng)典的對(duì)稱(chēng)2自由度雙密頻結(jié)構(gòu)為例，基于H2性能的梯度優(yōu)化法，研究針對(duì)多階模態(tài)減振且空間布置的分布式TMD的參數(shù)優(yōu)化，闡明模態(tài)控制權(quán)重和模態(tài)密集度等因素對(duì)優(yōu)化結(jié)果和減振效果的影響。在建立適合閉環(huán)靜力反饋控制的組合系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)上，將基于H2性能的梯度優(yōu)化法擴(kuò)展至分布式TMD的參數(shù)優(yōu)化；定義結(jié)構(gòu)多模態(tài)振動(dòng)的無(wú)量綱響應(yīng)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，以廣義模態(tài)坐標(biāo)響應(yīng)構(gòu)成控制輸出向量，分析并指出能使評(píng)價(jià)指標(biāo)峰值相等的模態(tài)控制最優(yōu)權(quán)重，給出優(yōu)化參數(shù)和減振性能隨模態(tài)密集度的變化規(guī)律；與經(jīng)典單TMD設(shè)計(jì)等方法相對(duì)比，分析并驗(yàn)證基于H2性能優(yōu)化的分布式TMD的減振效果，并確認(rèn)在TMD個(gè)數(shù)增多時(shí)基于H2性能的梯度優(yōu)化法的優(yōu)化效果。

1 系統(tǒng)模型

為實(shí)現(xiàn)對(duì)密集頻率結(jié)構(gòu)的減振分析，本文考慮一個(gè)典型的2自由度對(duì)稱(chēng)主結(jié)構(gòu)[1,9]。如圖1所示，主結(jié)構(gòu)由2個(gè)相同的主振子組成，每個(gè)振子具有質(zhì)量ms、相對(duì)基礎(chǔ)的剛度ks和粘滯阻尼cs；兩個(gè)振子通過(guò)剛度為βks的彈簧耦聯(lián)。當(dāng)耦聯(lián)彈簧的剛度較小時(shí)，主結(jié)構(gòu)的2個(gè)頻率將呈現(xiàn)密集狀態(tài)，此時(shí)主結(jié)構(gòu)為雙密頻結(jié)構(gòu)。

圖1 雙密頻結(jié)構(gòu)與分布式TMD

φTDTP(t)+φTTTfd(t)

(1)

(2)

式中qdi和udi=Tu(s,t)分別為第i個(gè)TMD的位移以及相應(yīng)位置處的主振子位移；cdi，kdi分別為第i個(gè)TMD的阻尼、剛度。此時(shí)，TMD的運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

將式(2)代入式(1)和(3)，并組合式(1)和(3)得

(4)

式(4)的狀態(tài)空間形式為

(5)

式中x為2p維狀態(tài)向量(p=2+n)；A*為系統(tǒng)矩陣；Bw為外激勵(lì)影響矩陣；w為外激勵(lì)輸入，分別表示為：

(6a)

(6b)

(6c)

(6d)

為使減振系統(tǒng)適應(yīng)于閉環(huán)靜力反饋控制的H2控制理論，將式(5)改寫(xiě)為

(7)

u=Fdy

(8)

y=Cyx

(9)

(10)

2 基于H2性能的梯度優(yōu)化法

采用多個(gè)TMD對(duì)結(jié)構(gòu)多階模態(tài)振動(dòng)減振時(shí)，簡(jiǎn)化的設(shè)計(jì)可通過(guò)經(jīng)典的單TMD參數(shù)優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)。經(jīng)典的單TMD參數(shù)優(yōu)化采用動(dòng)力放大系數(shù)作為性能目標(biāo)函數(shù)；假設(shè)TMD的安裝對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能影響較小或可被忽略，而且所調(diào)諧頻率與鄰近模態(tài)頻率間為非密頻狀態(tài)，進(jìn)而將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為用模態(tài)坐標(biāo)表示的單自由度結(jié)構(gòu)。根據(jù)TMD的安裝位置和所需控制的模態(tài)，依次優(yōu)化各TMD的參數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)多TMD的參數(shù)設(shè)計(jì)[4,13]。

對(duì)穩(wěn)態(tài)隨機(jī)激勵(lì)，系統(tǒng)的H2范數(shù)反映了單位能量輸入時(shí)輸出響應(yīng)的均方根值，并成為能夠衡量結(jié)構(gòu)響應(yīng)程度的指標(biāo)。以H2范數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，可通過(guò)線(xiàn)性矩陣不等式或梯度優(yōu)化法實(shí)現(xiàn)多個(gè)TMD的參數(shù)優(yōu)化[7，12]，其中Zuo采用梯度優(yōu)化法實(shí)現(xiàn)的針對(duì)單自由度主結(jié)構(gòu)減振的MTMD的參數(shù)優(yōu)化，提高了參數(shù)較多時(shí)的優(yōu)化效率，為本文所借鑒。本文進(jìn)一步發(fā)展，實(shí)現(xiàn)針對(duì)多階模態(tài)減振的分布式TMD參數(shù)優(yōu)化，并進(jìn)行相關(guān)的影響因素和減振性能分析。

為建立H2性能目標(biāo)，將外激勵(lì)輸入w假定為單位白噪聲，即外激勵(lì)輸入w的功率譜密度Sw=1。若定義T(jω)為外激勵(lì)輸入w到控制輸出z的傳遞矩陣，則系統(tǒng)的H2范數(shù)T(jω)2為控制輸出z的均方根值， 即

(11)

式中E[]為括號(hào)中量值的期望；tr[]為括號(hào)中矩陣的跡；上標(biāo)H為復(fù)共軛轉(zhuǎn)置。H2范數(shù)可通過(guò)以下求解過(guò)程獲得：

考慮靜力反饋輸入后，式(7)和(10)可表示為

(12)

(13)

(14)

式中J即為H2性能目標(biāo)，是待求參數(shù)矩陣Fd的函數(shù)；K為對(duì)稱(chēng)矩陣(可觀(guān)性格拉姆矩陣)，通過(guò)Lyapunov方程求解

(15)

由此，分布式TMD的參數(shù)優(yōu)化就變成使得式(14)值最小，且滿(mǎn)足約束方程(15)的Fd值。為便于優(yōu)化計(jì)算，需將其轉(zhuǎn)換為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。為此，引入拉各朗日乘子矩陣L(對(duì)稱(chēng)矩陣)，并定義等價(jià)的目標(biāo)函數(shù)得

BuFdCy)+(A+BuFdCy)TK+

(16)

由式(16)通過(guò)矩陣運(yùn)算，性能目標(biāo)J對(duì)參數(shù)矩陣Fd的梯度可表達(dá)為

(17)

式中 運(yùn)算符“⊙”表示矩陣中的對(duì)應(yīng)元素相乘；FP與參數(shù)矩陣Fd同維，且與Fd中非零元素相對(duì)應(yīng)的元素值為1，其余值為零而形成的矩陣。式(16)中的矩陣K由式(15)求出，而矩陣L可由下式(Lyapunov方程)求解，即

(18)

式(15)和(18)為線(xiàn)性方程，易于求解。為確保剛度和阻尼參數(shù)非負(fù)，在求解過(guò)程中可通過(guò)將Fd中元素改寫(xiě)為平方的形式，再進(jìn)行梯度矩陣計(jì)算來(lái)實(shí)現(xiàn)[7]。進(jìn)而，由式(17)得到的梯度矩陣，可便于采用梯度優(yōu)化法求解。其過(guò)程如下：

步1：給出Fd初始值Fd,k，F(xiàn)d中分量kdi和cdi可通過(guò)經(jīng)典單TMD設(shè)計(jì)給定，下標(biāo)i表示迭代步；令k=0。

步2：由給定的Fd,k，通過(guò)式(15)和式(18)求解矩陣K和L；進(jìn)而由式(17)計(jì)算矩陣梯度Gk=?L/?Fd,k，若‖?L/?Fd,k‖足夠小則停止，其中‖·‖表示求Euclidean范數(shù)。

步3：用BFGS或修正的BFGS等方法求解搜索方向Pk；用Armijo或Wolfe準(zhǔn)則求解搜索步長(zhǎng)λk；反饋增益更新為Fd,k+1=Fd,k+λkPk； 令k=k+1，轉(zhuǎn)步2。

3 雙密頻結(jié)構(gòu)減振

與單自由度主結(jié)構(gòu)的MTMD參數(shù)優(yōu)化不同，對(duì)圖1所示的雙密頻結(jié)構(gòu)，因具有2個(gè)自由度，構(gòu)成H2性能目標(biāo)的控制輸出向量z中的分量及其權(quán)重，直接影響了分布式TMD的優(yōu)化參數(shù)。根據(jù)控制目標(biāo)的需要，z中的分量可選擇為結(jié)構(gòu)的位移、速度或加速度響應(yīng)。當(dāng)主結(jié)構(gòu)發(fā)生雙密頻模態(tài)振動(dòng)時(shí)，無(wú)論選擇何種結(jié)構(gòu)響應(yīng)，結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)對(duì)該響應(yīng)的影響都不可忽略。因此為實(shí)現(xiàn)對(duì)主結(jié)構(gòu)雙密頻振動(dòng)減振，分布式TMD在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)直接取兩階模態(tài)的廣義坐標(biāo)，定義控制輸出向量z=[α1][q1q2]T，其中α為模態(tài)控制權(quán)重。

此外，雙密頻結(jié)構(gòu)的頻率密集程度也是影響分布式TMD參數(shù)設(shè)計(jì)和減振性能的重要因素。為定量判別頻率密集程度，定義頻率密集度為[14]

(19)

(20)

若主結(jié)構(gòu)為單自由度，則式(20)即為結(jié)構(gòu)的動(dòng)力放大系數(shù)。

4 參數(shù)優(yōu)化及減振性能

針對(duì)密頻結(jié)構(gòu)的多TMD減振問(wèn)題時(shí)，Abé在研究中已指出就結(jié)構(gòu)每階密集模態(tài)的振動(dòng)至少需要安裝一個(gè)TMD以實(shí)現(xiàn)有效減振，且TMD的安裝位置也非常重要[1]。本文先采用2個(gè)TMD分布安裝在雙密頻結(jié)構(gòu)的振子上，以簡(jiǎn)單實(shí)例來(lái)研究分布式TMD參數(shù)優(yōu)化的過(guò)程和影響因素，再進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)分布式TMD在TMD個(gè)數(shù)較多時(shí)的減振設(shè)計(jì)。

4.1 給定密集度時(shí)的減振

在主結(jié)構(gòu)的2個(gè)振子上各安裝一個(gè)TMD，并取md1=md2=0.01ms。取小值β=0.04，此時(shí)2個(gè)振子通過(guò)彈簧弱耦聯(lián)，主結(jié)構(gòu)的兩階頻率滿(mǎn)足ω2=1.04ω1，為雙密頻結(jié)構(gòu)。假設(shè)2個(gè)TMD分別對(duì)主結(jié)構(gòu)1階和2階頻率調(diào)諧，采用基于H2性能的梯度優(yōu)化法進(jìn)行2個(gè)TMD的參數(shù)設(shè)計(jì)。并以頻率范圍0.8ω1～1.2ω1對(duì)第一個(gè)主振子進(jìn)行諧荷載掃頻激勵(lì)，對(duì)減振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

圖2 不同模態(tài)控制權(quán)重時(shí)的無(wú)量綱響應(yīng)

圖3 無(wú)量綱響應(yīng)最大值隨權(quán)重的變化

圖4 TMD的頻率比和阻尼比隨權(quán)重的變化

圖5 基于H2性能設(shè)計(jì)的優(yōu)化減振效果

圖5分別給出了基于H2性能、經(jīng)典方法和密頻均值調(diào)諧法對(duì)2個(gè)TMD優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，主結(jié)構(gòu)的無(wú)量綱響應(yīng)隨激振頻率比的變化[1]。采用經(jīng)典方法時(shí)，忽略密集頻率的影響，依據(jù)主結(jié)構(gòu)的兩階模態(tài)將其簡(jiǎn)化為2個(gè)單自由度系統(tǒng)，由TMD安裝位置和所控制的模態(tài)，通過(guò)動(dòng)能理論計(jì)算每個(gè)單自由度系統(tǒng)的等效質(zhì)量[4,13]，進(jìn)而計(jì)算TMD質(zhì)量比，分別優(yōu)化2個(gè)TMD的參數(shù)；經(jīng)計(jì)算得出，每個(gè)TMD質(zhì)量與結(jié)構(gòu)的等效質(zhì)量之比均為0.005，2個(gè)TMD的優(yōu)化頻率比和阻尼比分別為0.995和0.044。采用密頻均值調(diào)諧法時(shí)，2個(gè)TMD對(duì)主結(jié)構(gòu)的兩階頻率的均值調(diào)諧，并取經(jīng)典方法中的優(yōu)化頻率比和阻尼比。由圖5可見(jiàn)基于H2性能優(yōu)化設(shè)計(jì)的TMD能夠使控制系統(tǒng)的無(wú)量綱響應(yīng)峰值最小，減振效果明顯優(yōu)于經(jīng)典方法和密頻均值調(diào)諧法。

4.2 不同密集度時(shí)的減振

圖6 最優(yōu)權(quán)重隨頻率密集度的變化

圖7 TMD優(yōu)化頻率比和阻尼比隨頻率密集度的變化

圖8 優(yōu)化后的無(wú)量綱響應(yīng)值隨頻率密集度的變化

②當(dāng)β值在0.02～0.08區(qū)間變化時(shí)，由圖7可知基于H2性能的2個(gè)TMD的優(yōu)化頻率值在主結(jié)構(gòu)的2個(gè)密頻間分布，與經(jīng)典方法優(yōu)化的TMD頻率分布相異；與采用經(jīng)典方法時(shí)相比，圖8顯示基于H2性能優(yōu)化所得的TMD的減振性能明顯優(yōu)于前者；

③當(dāng)β向高值趨近時(shí)(如由0.08向0.09變化時(shí))，β值與期望的附加模態(tài)阻尼比相比顯然已較大，主結(jié)構(gòu)將變?yōu)榉敲茴l結(jié)構(gòu)，由圖7可見(jiàn)基于H2性能的2個(gè)TMD的優(yōu)化頻率比都小于1，與經(jīng)典方法優(yōu)化的TMD頻率分布規(guī)律趨近；圖8顯示，相比經(jīng)典方法，基于H2性能優(yōu)化結(jié)果仍能取得優(yōu)于前者的減振效果。

④由圖8可見(jiàn)，密頻均值調(diào)諧法作為一種簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)方法，僅在β值較小時(shí)適用；相比于基于H2性能優(yōu)化和經(jīng)典方法，所設(shè)計(jì)的TMD的減振效果較差，并隨β值的變大減振效果急劇降低。

4.3 分布式TMD個(gè)數(shù)多時(shí)的減振

圖9 各TMD優(yōu)化的頻率比和阻尼比

圖10 不同TMD個(gè)數(shù)時(shí)的無(wú)量綱響應(yīng)

5 結(jié) 論

以典型的2自由度雙密頻結(jié)構(gòu)為例，建立了適合閉環(huán)靜力反饋控制的組合系統(tǒng)模型，將基于H2性能的梯度優(yōu)化法擴(kuò)展至分布式TMD的參數(shù)優(yōu)化；通過(guò)定義針對(duì)密集模態(tài)振動(dòng)的控制輸出和無(wú)量綱評(píng)價(jià)指標(biāo)，闡明了模態(tài)控制權(quán)重和模態(tài)密集度對(duì)分布式TMD參數(shù)優(yōu)化和減振效果的影響；確認(rèn)了基于H2性能的梯度優(yōu)化法設(shè)計(jì)分布式TMD的高效性。研究發(fā)現(xiàn)：

(1)對(duì)密集頻率結(jié)構(gòu)，以模態(tài)響應(yīng)為控制輸出并通過(guò)合理選擇模態(tài)控制權(quán)重，可使得評(píng)價(jià)指標(biāo)峰值相等，此時(shí)分布式TMD達(dá)到最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)和減振效果。

(2)相對(duì)于經(jīng)典方法，基于H2性能優(yōu)化的分布式TMD在一定模態(tài)密集度范圍內(nèi)減振效果更佳；在密集度減小至重頻結(jié)構(gòu)，或增大至非密頻結(jié)構(gòu)時(shí)，雖仍能取得優(yōu)于前者的減振效果，但減振效果趨近于經(jīng)典方法。

(3)基于H2性能的梯度優(yōu)化法具有良好的優(yōu)化效率，特別是在分布式TMD的個(gè)數(shù)較多時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的峰值也增多，減振效果更佳。

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