高廣運(yùn)， 王 非， 陳功奇， 張 博

(1.同濟(jì)大學(xué)地下建筑與工程系， 上海 200092；2．同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 上海 200092；3.北京方興地產(chǎn)有限公司， 北京 100022)

引 言

近年來(lái)，多層的高架道路、地下鐵道、輕軌交通正日益形成一個(gè)立體空間交通體系。鐵路“十二五”規(guī)劃表明，中國(guó)將有30個(gè)左右的城市有發(fā)展城市軌道交通的可能，投入運(yùn)營(yíng)的城市軌道交通線路可能達(dá)到2 000～2 500 km。列車(chē)運(yùn)行引起的振動(dòng)對(duì)周?chē)h(huán)境的影響為成為人們關(guān)注的問(wèn)題。

列車(chē)荷載引起的沿地面?zhèn)鞑サ恼駝?dòng)，可以采用不同隔振和減振措施。其中屏障隔振較為常見(jiàn)，高廣運(yùn)將屏障分為兩類(lèi)[1]：連續(xù)屏障(空溝、填充溝、鋼筋混凝土墻等)和非連續(xù)屏障(孔列、樁列和板樁等)。Woods在大量試驗(yàn)的基礎(chǔ)上[2]，提出有關(guān)屏障隔振設(shè)計(jì)的基本準(zhǔn)則，并給出了衡量屏障隔振效果的參數(shù)——振幅衰減系數(shù)。

一種可供選擇的隔振措施是在振源或被保護(hù)結(jié)構(gòu)下一定深度內(nèi)埋置波阻板進(jìn)行隔振。研究表明，基巖上單一土層的振動(dòng)存在截止頻率，當(dāng)?shù)乇碜饔玫暮?jiǎn)諧線荷載的頻率低于這個(gè)截止頻率時(shí)，土層中沒(méi)有波的傳播；僅當(dāng)激振頻率大于截止頻率時(shí)，土層中才會(huì)出現(xiàn)波的傳播現(xiàn)象。根據(jù)土層中波的傳播存在截止頻率這個(gè)現(xiàn)象，Chouw等建議人工設(shè)置一個(gè)有限尺寸的人工基巖來(lái)進(jìn)行隔振[3]，并稱(chēng)之為波阻板(簡(jiǎn)寫(xiě)為WIB)。Peplow等采用邊界積分方程法研究了二維雙層地基波阻板主動(dòng)隔振的隔振效果[4]。Takemiya提出了采用蜂窩形柱狀波阻屏障(Honeycomb WIB)[5]，對(duì)高架鐵路樁基振動(dòng)Honeycomb WIB隔振進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，得到了令人滿(mǎn)意的隔振效果。李偉采用薄層法-邊界元建立三維層狀地基模型[6]，分析了波阻板的隔振。高廣運(yùn)和李寧等對(duì)波阻板進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)模型試驗(yàn)[7]，得出了一些有益的結(jié)論。

上述研究均假設(shè)土體為單相介質(zhì)，忽略了孔隙水的影響，實(shí)際上孔隙水的存在對(duì)列車(chē)荷載作用下土體內(nèi)波的傳播有很大影響。因此采用飽和多孔土體模型比線彈性模型更符合實(shí)際。高廣運(yùn)等采用2.5維有限元法對(duì)飽和地基上列車(chē)運(yùn)行引起的地面振動(dòng)進(jìn)行了分析[8]。徐斌采用積分方程法分析了飽和地基上移動(dòng)荷載引起的排樁隔振效果[9]。

本文對(duì)列車(chē)-軌道子結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，求得車(chē)輛對(duì)地基的激振力，對(duì)飽和土三維Biot波動(dòng)方程進(jìn)行積分變換，求解獲得飽和半空間表面位移的積分解答，最終得到飽和層狀地基的薄層法基本解答。同時(shí)運(yùn)用旁軸近似原理，對(duì)飽和空間頻域-波數(shù)域內(nèi)的剛度矩陣進(jìn)行二階Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，獲得適應(yīng)于薄層法底部邊界的旁軸近似解答。將軌道交通荷載作用下薄層法基本解作為格林函數(shù)，代入飽和土半解析邊界元中，編制相應(yīng)的程序，針對(duì)飽和均質(zhì)地基WIB隔振體系，詳細(xì)研究了影響隔振效果的主要參數(shù)(波阻板寬度、厚度、埋深和彈性模量)，得到了軌道交通荷載作用下飽和地基WIB主動(dòng)隔振的規(guī)律。

1 列車(chē)激振荷載的計(jì)算

軌道道床體系由鋼軌、軌枕、連接零件、道床、防爬設(shè)備及道渣等部件組成，直接承受由車(chē)輪傳來(lái)的巨大壓力，并將其傳遞給路基，故是十分復(fù)雜的系統(tǒng)。本文基于環(huán)境振動(dòng)預(yù)測(cè)的需要，采用一種基于實(shí)測(cè)結(jié)果確定軌道交通荷載的方法，通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可獲取列車(chē)通過(guò)軌道時(shí)的激振荷載。井上賸夫等在現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的基礎(chǔ)上提出了軌道激振力的合成方法[10]，即通過(guò)對(duì)不同列車(chē)以不同車(chē)速通過(guò)無(wú)縫鋼軌時(shí)作用在道床上動(dòng)力荷載的實(shí)測(cè)結(jié)果，得到以下主要結(jié)論：列車(chē)車(chē)輪對(duì)軌道產(chǎn)生的激振荷載主要由兩部分組成——隨列車(chē)移動(dòng)的低頻豎向準(zhǔn)靜荷載和車(chē)-軌共振產(chǎn)生的高頻動(dòng)荷載?；谶@兩部分動(dòng)力荷載合成所得的作用在道床上的動(dòng)力荷載與實(shí)測(cè)結(jié)果表明，二者在50 Hz以?xún)?nèi)十分接近。蔣通等同樣利用該法[11]，對(duì)上海市軌道交通列車(chē)激振力進(jìn)行計(jì)算，得到一些有益的結(jié)論。故本文采用文獻(xiàn)[10]的列車(chē)激振力的合成方法生成軌道交通的列車(chē)激振荷載。

根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知單輪通過(guò)軌道時(shí)作用在道床上的激振力時(shí)程

P1(t)=P1msin(2πf1t)+P2msin(2πf2t)

(1)

當(dāng)n個(gè)輪子的列車(chē)通過(guò)軌道時(shí)，作用在道床上的激振荷載可以疊加求得。

設(shè)xi為第i個(gè)輪子與第一個(gè)輪子的距離，x1=0。則n個(gè)輪子的列車(chē)通過(guò)軌道時(shí)在激振點(diǎn)處作用在道床上的激振荷載為

(2)

式中P1(t)為式(1)所示單輪通過(guò)軌道時(shí)作用在道床上的激振力時(shí)程。

2 飽和地基的薄層法基本解答

薄層法屬于一種半解析半數(shù)值方法，即對(duì)波動(dòng)微分方程在豎向進(jìn)行與有限單元法(或采用其它數(shù)值逼近方法)類(lèi)似的離散，將土層劃分為有限個(gè)薄層，而在其余坐標(biāo)方向進(jìn)行解析求解。

考慮簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(eiωt)的形式， 以孔壓和土骨架位移為基本量的Biot方程為

(3)

考慮水平面上的應(yīng)力，并定義水平面上的“等效力”T={τrz,τθz,σz,qz}T，qz為孔隙流體的流量，故有

(4)

首先對(duì)豎向坐標(biāo)z進(jìn)行有限元離散，將半空間地基離散為ns個(gè)水平薄層。當(dāng)每一層的厚度較小時(shí)，對(duì)于該層內(nèi)的位移可采用線形插值模擬。假定沿薄層厚度方向的位移為二次分布，即對(duì)層內(nèi)位移采用二次插值。第i層內(nèi)的土體位移ur，uθ，uz，p為

(5)

(6a)

(6b)

式(6)可以通過(guò)振型疊加法求解，得頻域波數(shù)域內(nèi)力和位移的關(guān)系式。對(duì)給定的力P先進(jìn)行切向坐標(biāo)的Fourier分解，然后進(jìn)行軸向坐標(biāo)r的Hankel變換，可得頻域波數(shù)域內(nèi)的位移表達(dá)式，再對(duì)該表達(dá)式進(jìn)行Hankel逆變換和Fourier綜合，可求得頻域笛卡兒坐標(biāo)系內(nèi)的位移表達(dá)式，即薄層法的基本解。

以上推導(dǎo)和計(jì)算是在柱坐標(biāo)系下進(jìn)行的，根據(jù)坐標(biāo)變換有

(7)

通過(guò)坐標(biāo)變換即可求出直角坐標(biāo)系下薄層法基本解。

對(duì)豎向坐標(biāo)z進(jìn)行的有限元離散，僅能將半空間離散為一定深度的有限個(gè)薄層，若這些薄層的總深度較小，則會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。為了提高計(jì)算精度，且采用較少數(shù)量的離散結(jié)點(diǎn)，需要采取某些方法模擬底層半空間。旁軸近似是Kausel和Seale為解決薄層法模擬半空間的難題而提出的一種精度較高的措施[12]，但僅給出了適用于彈性介質(zhì)中底層半空間的旁軸近似解答。時(shí)剛等結(jié)合類(lèi)似上述的推導(dǎo)[13]，對(duì)飽和半空間波數(shù)域內(nèi)的剛度矩陣進(jìn)行二階Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到適合于薄層法的底層半空間的近似解答，提高了薄層法的計(jì)算效率。推導(dǎo)方法見(jiàn)文獻(xiàn)[13]。

3 飽和地基半解析邊界元法

研究飽和土地基的波動(dòng)問(wèn)題時(shí)，常規(guī)邊界元法一般采用全空間動(dòng)力Green函數(shù)。因此，在進(jìn)行邊界單元?jiǎng)澐謺r(shí)，不僅需要在結(jié)構(gòu)-土體交界面上進(jìn)行離散，還需要在半空間表面及不同土層的交界面上進(jìn)行離散，從而大大增加了未知自由度的個(gè)數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間和計(jì)算成本急劇增加，計(jì)算效率較低。為了減少未知量的個(gè)數(shù)，提高邊界元的計(jì)算效率，采用飽和半空間的位移、孔壓基本解答作為飽和土邊界元法的Green函數(shù)。這樣，在分析上述問(wèn)題時(shí)，只需要在土與結(jié)構(gòu)物的表面進(jìn)行離散，而不需要在半空間表面和土層交界面上劃分單元，從而使邊界元法更好的適用于飽和半空間的情況。將飽和地基的薄層法基本解答與飽和土邊界元法結(jié)合起來(lái)，就構(gòu)成了半解析邊界元法。所謂的半解析，就是指邊界元中采用的土骨架位移、孔壓、面力和流量的基本解是由薄層法所獲得的數(shù)值解答。

首先，將邊界Γ離散成E個(gè)單元，單元中任意點(diǎn)的位移、孔壓、面力和流量可以用單元節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)量通過(guò)形函數(shù)來(lái)進(jìn)行近似：

(8)

將式(8)代入邊界積分方程中，最終得到邊界元方程如下

(9)

(10)

利用給定的邊界條件，即將給定的邊界節(jié)點(diǎn)上的位移、面力、孔壓和流量帶入上述方程組中，分離已知量與未知量及其相應(yīng)的系數(shù)，得到可以求解的線性代數(shù)方程組，求解這個(gè)方程組即可得到所有邊界節(jié)點(diǎn)上的未知量。最后，可利用邊界單元的插值函數(shù)及各節(jié)點(diǎn)上的位移、面力、孔壓和流量來(lái)獲得邊界上任意點(diǎn)的對(duì)應(yīng)量。

若飽和土的ρf→0和n→0時(shí)，則退化成彈性介質(zhì)。因此可以采取退化的方法對(duì)飽和土半解析邊界元法進(jìn)行驗(yàn)證。為驗(yàn)證薄層法基本解的正確性，這里選取Lamb問(wèn)題進(jìn)行對(duì)比分析[14]。王貽蓀利用突加力問(wèn)題的閉合解求得了Lamb問(wèn)題的精確解答[15]。針對(duì)Lamb問(wèn)題，運(yùn)用本文的算法與王貽蓀的解答進(jìn)行了對(duì)比，如圖1示，計(jì)算結(jié)果較接近，因此驗(yàn)證了本文的薄層算法。為了驗(yàn)證半解析邊界元法的正確性，選取文獻(xiàn)[16]進(jìn)行對(duì)比分析。Ahmad采用了常規(guī)邊界單元法求解出了均質(zhì)地基中的三維空溝隔振問(wèn)題[16]。從圖2中可以看出，兩者結(jié)果非常接近。

圖1 SH荷載激振地表位移解答對(duì)比

圖2 空溝隔振結(jié)果對(duì)比

4 列車(chē)荷載下飽和地基波阻板主動(dòng)隔振分析

利用本文推導(dǎo)的結(jié)果，可以對(duì)軌道交通荷載作用下三維飽和地基中波阻板隔振效果進(jìn)行分析。波阻板隔振計(jì)算模型如圖3所示。

圖3 波阻板隔振示意圖

考慮上海市軌道交通列車(chē)通過(guò)軌道時(shí)對(duì)道床產(chǎn)生的激振荷載，每節(jié)車(chē)廂有2個(gè)輪對(duì)，各輪對(duì)質(zhì)量為2 808 kg，空車(chē)質(zhì)量為24 t，載重12.3 t(考慮定員的一半)，車(chē)廂的長(zhǎng)度為22.8 m，轉(zhuǎn)向架的間距為15.7 m，輪距為2.5 m，車(chē)速取60 km/h。軌道為60 kg/m的無(wú)縫鋼軌，取軌道結(jié)構(gòu)計(jì)算寬度為3.0 m，鋼軌彈性模量取2.06×105MPa，軌道的彎曲剛度EI=6.627×106N·m2，將其代入式(2)即可得到列車(chē)激振荷載。飽和土體計(jì)算參數(shù)如下：土骨架密度為1 800 kg/m3，剪切波速為100 m/s，材料阻尼為0.05，泊松比為0.40，動(dòng)力滲透系數(shù)為1×10-7m2，孔隙率為0.47，孔隙流體密度為1 000 kg/m3，流體體積模量為2×109Pa。假定下邊界為不透水基巖，則土骨架位移為零?？紤]基礎(chǔ)為無(wú)質(zhì)量的剛性基礎(chǔ)，WIB的寬度和厚度分別記為w，h；WIB頂面埋深為d，WIB的彈性模量記為E。WIB密度取ρb=2 000 kg/m3，泊松比取νb=0.20，WIB的粘滯阻尼比取ξb=0.05。

在分析某一模型參數(shù)時(shí)，其余參數(shù)則固定不變。用振幅衰減系數(shù)評(píng)價(jià)隔振效果[2]

(11)

4.1 WIB彈性模量對(duì)隔振效果的影響

圖4表示h=0.667B，w=6B，d=0.333B，B=3 m，為列車(chē)荷載作用寬度。WIB的彈性模量E變化時(shí)，地表水平向和豎向隔振效果隨距離的變化曲線。 由圖可知， 在軌道交通荷載作用下，豎向隔振效果略?xún)?yōu)于水平向隔振效果。隨著WIB彈性模量的增加，其隔振效果增加；即使當(dāng)波阻板的彈性模量趨近于地基土的彈性模量時(shí)，其隔振效果也大于30%；當(dāng)WIB的彈性模量E≥200 MPa時(shí)，豎向隔振效果可達(dá)50%以上。

圖4 波阻板彈性模量對(duì)隔振效果的影響

4.2 WIB寬度對(duì)隔振效果的影響

圖5表示h=0.667B，d=0.333B，E=20 000 MPa，WIB的寬度w變化時(shí)，地表水平向和豎向隔振效果隨距離的變化。由圖可知，飽和地基采用WIB可取得理想的隔振效果。在軌道交通荷載作用下，豎向隔振效果略?xún)?yōu)于水平向隔振效果。如圖示，水平向隨WIB寬度的增加隔振效果增大；豎向的隔振效果略為復(fù)雜，當(dāng)WIB的寬度較小(w≤6B)時(shí)，隨WIB寬度的增加，隔振效果增大，當(dāng)WIB的寬度較大(w=9B和12B)時(shí)，隔振效果反而小于w=6B的工況，距軌道中心15 m外又小于w=4B的工況，但是總體來(lái)說(shuō)，隔振效果均可達(dá)50%以上。

圖5 波阻板寬度對(duì)隔振效果的影響

4.3 WIB厚度對(duì)隔振效果的影響

圖6為w=6B，d=0.333B，E=20 000 MPa，WIB的厚度h變化時(shí)，地表水平向和豎向隔振效果隨距離的變化。由圖可知，在軌道交通荷載作用下，隨著WIB厚度的增加，隔振效果明顯增加；當(dāng)WIB的厚度較小(h=0.333B)時(shí)，水平向和豎向位移隔振效果分別達(dá)40%和45%；當(dāng)h≥0.667B時(shí)，豎向隔振效果增幅明顯減小，而水平向仍保持好的增幅。

圖6 波阻板厚度對(duì)隔振效果的影響

4.4 WIB埋深對(duì)隔振效果的影響

圖7為h=0.667B，w=6B，E=20 000 MPa，WIB的埋深d變化時(shí)，地表水平向和豎向隔振效果隨距離的變化。由圖可知，在軌道交通荷載作用下，隨WIB埋深的增加，其隔振效果逐漸變差。當(dāng)WIB的埋深較小(d≤0.667B)時(shí)，水平向和豎向隔振效果均可達(dá)60%，當(dāng)WIB的埋深為0.667B

圖7 波阻板埋深對(duì)隔振效果的影響

5 結(jié) 論

本文首先建立了列車(chē)-軌道子結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化計(jì)算，得到了列車(chē)的激振荷載，在飽和土頻域半解析邊界元法的基礎(chǔ)上詳細(xì)分析了軌道交通荷載作用下飽和地基WIB隔振體系的主動(dòng)隔振效果，研究了參數(shù)變化時(shí)WIB的隔振性狀，結(jié)論如下：

(1)利用薄層法基本解答建立的半解析邊界單元法，是分析土與結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用的一種有效方法。在求解飽和三維地基中WIB隔振問(wèn)題時(shí)，只需在土與WIB交界面進(jìn)行離散，與常規(guī)邊界元法和有限元法相比，可以大大提高計(jì)算效率。

(2)增加WIB彈性模量和厚度均可增大其隔振效果。計(jì)算表明當(dāng)WIB的彈性模量和厚度較小時(shí)，WIB也會(huì)達(dá)到理想的隔振效果。

(3)隨WIB寬度的增加，隔振效果增大；豎向隔振效果較復(fù)雜，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)充分考慮。分析表明，即使WIB寬度取小值時(shí)，隔振效果也可達(dá)50%以上。

(4)WIB埋深越小，隔振效果越好。計(jì)算表明當(dāng)WIB的埋深較小時(shí)，水平向和豎向隔振效果均可達(dá)60%，當(dāng)WIB的埋深變大時(shí)，隔振效果稍差。

參考文獻(xiàn):

[1] 高廣運(yùn).非連續(xù)屏障地面隔振理論與應(yīng)用[D].杭州：浙江大學(xué)，1998．Gao Guang-yun. Theory and application of ground vibration isolation by discontinuous barriers[D]. Hangzhou: Zhejiang University, 1988.

[2] Woods R D. Screening of surface waves in soils[J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE,1968,94(4):951—979.

[3] Schmid G, Chouw N, Le R. Shielding of structures from soil vibrations[J]. Proceedings of Soil Dyn. and Earth. Eng. V, Computational Mechanics Publications,1992:651—662.

[4] Peplow A T, Jones C J C, Petyt M. Surface vibration propagation over a layered elastic half-space with an inclusion[J]. Applied Acoustics, 1999,56:283—296.

[5] Takemiya H. Field vibration mitigation by honeycomb WIB for pile foundations of a high-speed train viaduct[J]. Soil Dyn. Earth. Engin., 2004,24:69—87.

[6] 高廣運(yùn),馮世進(jìn),李偉,等.三維層狀地基豎向激振波阻板主動(dòng)隔振分析[J].巖土工程學(xué)報(bào),2007,29(4):471—476.Gao Guang-yun, Feng Shi-jin, Li Wei, Zheng Jian-guo. 3D analysis of active vibration isolation with wave impeding block in layered ground under vertical loading[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2007,29(4):471—476.

[7] Gao G Y, Li N, Yue Z Q. Experimental study on active vibration isolation by WIB in layered ground under vertical loading[A]. 4th Int. Symposium on Environmental Vibration: Prediction, Monitoring and Evaluation[C]. Beijing, China. Beijing: Science Press, Xia and Takemiya (ed.) 2009:245—253.

[8] 高廣運(yùn)，何俊峰，楊成斌，等.2.5維有限元分析飽和地基列車(chē)運(yùn)行引起的地面振動(dòng)[J].巖土工程學(xué)報(bào)，2011,33(2):234—241.Gao Guang-yun, He Jun-feng, Yang Cheng-bin, et al. Ground vibration induced by trains moving on saturated ground using 2.5D FEM[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2011,33(2):234—241.

[9] 徐斌.移動(dòng)荷載引起飽和土動(dòng)力響應(yīng)及排樁隔振研究[D].上海：上海交通大學(xué)，2009.Xu Bin. A moving loads and analysis of vibration isolation effectiveness with pile rows[D]. Shanghai: Shanghai Jiao Tong University, 2009.

[10] 井上勝夫，木村翔，北村訓(xùn)久. 軌道上建築物に対する固體音制御のための列車(chē)走行時(shí)の加振力特性に関する研究[A]. 日本建築學(xué)會(huì)計(jì)畫(huà)系論文集[C].1992,432:11—20.

[11] 蔣通，田治見(jiàn)宏.地基-結(jié)構(gòu)動(dòng)力相互作用分析方法—薄層法原理及應(yīng)用[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2009.Jiang Tong, TAJIMI Hiroshi. Soil-structure Dynamic Interaction Method: Principle and Application of Thin Layered Method[M]. Shanghai: Tongji Press,2009.

[12] Kausel E, Seale S H. Dynamic and static impedances of cross-anisotropic halfspaces[J]. Soil Dyn. Earthq. Engrg., 1990,9(4):172—178.

[13] 時(shí)剛,高廣運(yùn),馮世進(jìn).飽和層狀地基的薄層法基本解及其旁軸邊界[J].巖土工程學(xué)報(bào),2010,32(5):664—671.Shi Gang, Gao Guang-yun, Feng Shi-jin. Basic solution of saturated layered ground by thin layered method and its paraxial boundary[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2010,32(5):664—671.

[14] Lamb H. On the propagation of tremors over the surface of an elastic solid[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society, London (SerA), 1904,203:1—42.

[15] 王貽蓀.地面波動(dòng)分析若干問(wèn)題[J].建筑結(jié)構(gòu)學(xué)報(bào)，1982,4(2):16—17.Wang Yi-sun. Some issues about analysis of ground surface wave-motion[J]. Journal of Building Structures, 1982,4(2):56—67.

[16] Ahmad S, Al-Hussaini T M. Simplified design for vibration screening by open and in-filled trenches[J]. Journal of Geotechnical Engineering Division, ASCE, 1991,117:67—88.