王 芬，徐穎吾

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院，西安710048)

1 引言與預(yù)備知識

本文所涉及的群都是有限群.有限群子群的性質(zhì)和群的結(jié)構(gòu)之間有著非常密切的關(guān)系，長期以來，利用有限群的各種子群描述群的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)，在有限群的研究中占據(jù)著重要地位，具有方法上的意義.1939 年，O·Ore［1］提出了比正規(guī)子群更弱的概念，稱群G的一個子群H在G中擬正規(guī)，如果H同G的每個子群相乘可交換.1962年，O·H·Kegel［2］引進(jìn)了擬正規(guī)子群的推廣概念S－擬正規(guī)子群，稱G的子群H在G中S－擬正規(guī)的，如果H同G的每個Sylow子群相乘可交換.S－擬正規(guī)子群有許多比擬正規(guī)子群更有趣的性質(zhì)，比如，若H為G的S－擬正規(guī)子群，那么H為G的次正規(guī)子群［2］且H/HG為冪零群，再者，如果，H≤K≤G，那么H為K的S－擬正規(guī)子群.關(guān)于S－擬正規(guī)性還有其他更有趣的推廣［4－8］.何宣麗 2006［9］年提出了 Md(P)的概念:設(shè)d為p－群P的最小生成系所含元素個數(shù)，定義集合 Md(P)={P1，…，Pd}，其中 P1，…=，Pd是P的極大子群且滿足 Φ(P)，Φ(P)為P的Frattini子群.利用Md(P)研究有限群的結(jié)構(gòu)，很大程度上改進(jìn)了一些最近的相關(guān)結(jié)果.例如，對一有限群G，有兩個等價結(jié)論:1)G是超可解的;2)存在G的正規(guī)子群H使得G/H是超可解的且對于H的任意Sylow子群P，對某個固定的Md(P)，該集合的任一元素在G中是c正規(guī)(或S－擬正規(guī)嵌入的)并且還給出了關(guān)于Md(P)的其他的應(yīng)用.本文不再論述.本文在關(guān)于研究S－擬正規(guī)子群的性質(zhì)的思路上，利用有限群的具有某些性質(zhì)的子集具有－擬正規(guī)性來刻畫有限群的結(jié)構(gòu).

正是因為S－擬正規(guī)子群具有各種各樣的性質(zhì)，對于S－擬正規(guī)子群做以下推廣:

定義1［9］設(shè)d為p－群p的最小生成系所含元素個數(shù)，定義集合 Md(P)={P1，…，Pd}，其中P=1，…，Pd是的極大子群且滿足 Φ(P)，Φ(P)為P的Frattini子群.

引理2［10］若G是一有限群，G的任意一Sylow子群的所有極大子群是S－擬正規(guī)的，則G是超可解的.

定義3［11］群G的子群A叫做G的半正規(guī)子群，如果存在一個子群B，使得AB=G，且對于B的任意真子群B1有AB1＜G.B叫做A在G中的S－補，A在G中的S－補的全體記為:SG(A).

定義4［12］設(shè)G是有限群，稱Z是群G的一個Sylow子群完全集.如果對|G|的每個素因子p，Z包含G的一個Sylow－p且僅一個子群.

引理5 設(shè)Z是群G的一個Sylow子群完全集.如果對任意Gp∈Z，Gp的每個極大子群都是Z－半置換的，則G是超可解.

何先應(yīng)［12］于2006年提出了Sylow子群完全集的定義，并且利用其刻畫有限群的結(jié)構(gòu).Asaad M和Heliel A A［13］指出:設(shè)Z是群G的一個Sylow子群完全集，U是G的一個Z可置換的子群，N是G的正規(guī)子群，則Z∩N和ZN/N分別是N和G/N的Sylow子群完全集.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1 設(shè) Md(P)={M1，M2，…Md}?M=Φ(P)，且(P)，若Md(P)在G中具有S－擬正規(guī)性，則G超可解.

證明:Md(P)在G中S－擬正規(guī)，即對?Q∈Syld(G)，有QMd(P)=Md(P)Q即有對?i，存在j(1≤i≤d，1≤j≤d)使得 QMi=MjQ.

1)若 i=j;即 Mi=Mj，有 QMi=MiQ，由于 Q 是G的任意的Sylow子群，從而Mi有在G中S－擬正規(guī)，又由i的任意性知，G的任意Sylow子群的極大子群是G的S－擬正規(guī)子群，由引理2，得G為超可解群.

2)若 i≠j;Mi，Mj都是 P 的極大子群，QMd(P)=Md(P)Q，存在 j(1≤i≤d，1≤j≤d)使得 QMi=MjQ，Mi＜·P，Mj＜ ·P，故有 Mi?P，Mj?P，又由于PQ=QP，則 MiQ?PQ，MiQ?QP，QMiQ?QP，而 MiQ≤PQ=QP=QMiP=MjQP，故 QMjP≤MjQP，從而有 QMj≤MJQ.同理有 MjQ≤QMj，從而得MjQ=QMj，即G為超可解群.

綜上可得，G為超可解群.

定理2 S－擬正規(guī)子群必為半正規(guī).

證明:設(shè)H≤G，且H為G的S－擬正規(guī)子群，即對?P∈Sylp(G)，有HP=PH，故存在G的包含P的極大子群M(P＜M＜·G)，使得HP＜HM＜HG=G，而M＜HM＜G，故HM=G，從而M為H在G中的補，且對于?M1＜M，有?HM1＜HM=G，由定義3，得H叫做G的半正規(guī)子群.

推論1 有限群的S－擬正規(guī)子群或者是次正規(guī)的，或者是半正規(guī)的.

證明:根據(jù)(文獻(xiàn)3)和定理2可得.

定理3 若集合的每一元素都是G的S－擬正規(guī)子群，則群G是超可解.

證明:令 Z={Gp1，Gp2，…Gpd}是 G 的 Sylow 子群完全集，且 p1＜p2＜ … ＜pd，設(shè)任意 Gp∈Z，M 為Gp的任一極大子群，Gq∈Z，Gq∈Sylp(G)，由于 Gp在中S－擬正規(guī)的，故 GpGq=GqGp，而 M ＜MGq＜Gp＜Gq=GqGp＜G，故有 MGq=G，M ＜GqM ＜GpGq=GqGp＜ G，有 GqM=G，從而 GqM=MGq，由于 Gq為G的任意Sylow子群，而Gp為Z中的任意元素，從而Gp的極大子群M在G中是Z－半置換子群，由Gp和M的任意性可知;G的任意Sylow子群的極大子群在G中都是Z－半置換的，由引理5，有G為超可解群.

3 結(jié)語

本文主要討論了關(guān)于S－擬正規(guī)性的部分應(yīng)用，定理1減少了之前關(guān)于超可解群的要求，使得我們判斷一個群是否為超可解群提供了方便.由定理2，可知S－擬正規(guī)子群擁有半正規(guī)子群的所有性質(zhì).定理3將S－擬正規(guī)性進(jìn)一步推廣到完全分類集中，更加方便了之后關(guān)于S－擬正規(guī)子群的研究.

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