敖 薇，劉海龍

(上海交通大學安泰經(jīng)濟與管理學院，上海200030)

近年來，將市場微觀結構和控制優(yōu)化理論相結合，探討機構投資者最優(yōu)執(zhí)行指令策略(optimal order execution)正成為新的研究熱點.執(zhí)行算法的設計主要集中在3個方面:第一，如何拆單，以及最優(yōu)的執(zhí)行時間;第二，拆單后如何在小區(qū)間內執(zhí)行市價或限價指令，限價指令在什么樣的價格上執(zhí)行;第三，給定市價或限價指令，選擇最優(yōu)執(zhí)行時點.

針對第1種算法設計，以往研究認為下單速度越快，股價波動的風險越小，但沖擊成本就越大.Bertsimas和Lo［1］假定投資者有單位的股票要在T時刻前變現(xiàn)，給定股價波動風險的約束，求解了最小化總執(zhí)行成本的變現(xiàn)策略.在靜態(tài)策略的基礎上，Almgren和 Chriss［2］研究了股價變動因素對變現(xiàn)策略的影響.類似地，Obizhaeva和 Wang［3］在假定市場沖擊為線性且價格沖擊隨時間呈現(xiàn)指數(shù)衰退的條件下求解了最優(yōu)變現(xiàn)策略.

針對第2種算法設計，Alfonsi［4］等研究了限價指令簿(LOB)彈性模型的最優(yōu)執(zhí)行策略，將限價單數(shù)量和買賣價差為自變量的LOB彈性模型與市價單對LOB沖擊模型相結合，求解了相應的變現(xiàn)策略.

在以上最優(yōu)變現(xiàn)策略的研究中，沖擊成本函數(shù)的構造是一個關鍵點.Gatheral［5］綜合考慮了線性、指數(shù)和冪函數(shù)三種衰減方式，通過實證研究發(fā)現(xiàn)非線性的沖擊函數(shù)與數(shù)據(jù)較為符合.Almgren［6］估計了非線性沖擊函數(shù)的參數(shù)，美國市場數(shù)據(jù)表明價格沖擊約為交易速率的0.6次冪函數(shù).

本文將研究基于限價指令簿的最優(yōu)變現(xiàn)策略，而不考慮拆單方式.考慮投資者試圖通過限價指令在T時刻前變現(xiàn)份額的頭寸，報價越高，則成交概率越低，但收益越高.投資者的目標是選擇最優(yōu)報價機制使預期收益最大.在限價指令下，風險主要體現(xiàn)為可能無法在T時刻前變現(xiàn)要求的頭寸，價格波動和沖擊成本的影響都不存在.Guéant［7］等和Bayraktar和 Ludkovski［8］在研究限價指令簿的清算策略中采用市場交易密度函數(shù)來刻畫市場流動性，假定投資者通過選擇高于一檔買價的價差來控制交易頻率.本文的研究將采用市場交易密度函數(shù)的方法討論限價指令簿下最優(yōu)變現(xiàn)策略，在現(xiàn)有理論基礎上將波動率引入模型，一方面，將賣價報價高一檔買價的價差標準化，解決了絕對價格的不同帶來的差異，另一方面也體現(xiàn)出，隨著股價波動率的增大，賣價被“觸及”的可能性增加，相同價差的成交的概率也可能提高.本文將分為模型創(chuàng)建、數(shù)值求解最優(yōu)變現(xiàn)策略、蒙特卡洛模擬交易曲線以及參數(shù)的敏感性分析等幾部分進行闡釋.

1 模型

定義概率空間(Ω，F(xiàn)，P)，濾波(Ft)t≥0服從常用條件.假設所有隨機變量和隨機過程都基于該概率空間.股價服從帶漂浮率的布朗運動，定義如下:

其中:St為第一檔買價，μ為漂移率，σ為波動率，Wt服從標準正態(tài)分布.

為避免沖擊成本，投資者采用下限單的報價方式，q0為其需要變現(xiàn)的股票頭寸.令為賣價，s為賣價高于一檔買價的價差.那么投資者的賣出掛單是否能夠順利成交，就取決于是否存在足夠多的市價買單或是愿意購買的“激進的買單”.因此，投資者的最優(yōu)變現(xiàn)策略問題就歸結為研究如何選擇最優(yōu)的基于一檔買價的賣出限價.本文將針對不同的約束條件對這一問題進行探討.

1.1 市場交易密度函數(shù)

假定成交以單位數(shù)量進行(單位數(shù)量為1，或某一整數(shù))，則掛單的狀態(tài)分為兩種:成交、未成交并繼續(xù)留在限價訂單簿中.可使用伯努力函數(shù)刻畫掛單的狀態(tài)，設為Λ(s)成交的概率密度，并定義:

其中:s為高于一檔買價的價差，λ和κ是用來衡量流動性的兩個參數(shù)，與股票一一對應，在實際運用中用數(shù)據(jù)校準得出.顯然，密度函數(shù)與價差負相關，價差越低則賣價越便宜，掛單的執(zhí)行速度越快.

1.2 最大化期望收益目標函數(shù)

Nt為t時刻前已成交的掛單數(shù)量，Nt與Λ(s)密切相關.則t時的剩余持倉量為qt=q0－Nt.因此，投資者收益Xt的動態(tài)形式為:

假設投資者需要在T時刻內賣出所有的股票，目標是最大化T時刻的收益，那么構造如下效用最大化目標函數(shù):

其中:A為價差可選集合，γ為絕對風險規(guī)避系數(shù)，qγ為在T時刻尚未成交的股票，ST為在T時刻的市價，b為清算剩余持倉所需的單位成本.不難發(fā)現(xiàn)，效用函數(shù)為收益XT的增函數(shù)，T時刻剩余持倉qT的減函數(shù).最大化目標函數(shù)就是用來求解價差s，即投資者在每一個時刻新提交的賣單價格高于一檔買價的價差.目標函數(shù)的求解可以使用Hamilton－Jacobi－Bellman方程的方法.

1.3 Hamilton－Jacobi－Bellman方程轉換

Hamilton－Jacobi－Bellman(以下簡稱 HJB)方程是用來解決最優(yōu)控制問題的偏微分方程，它的解是給出了控制系統(tǒng)的最優(yōu)成本的價值方程.將HJB方程引入最優(yōu)化方程的求解，假設方程u是一個未知的價值方程，并且滿足:

引入一組常微分方程，則HJB的價值方程可用這一組常微分方程來寫出.定義(Wq)q∈N為一組常微分方程滿足:

邊界條件:

那么價值方程 u(t，x，q，s)= － exp(－ γ(X+qs))wq就是HJB方程的解.根據(jù)常微分形式的解，用數(shù)值方法進一步分解得到:

根據(jù)假設，知道邊界條件是

那么，當q=1時，代入方程wq(t)，得到:

根據(jù)w1(T)倒推可以得到一組W1(t)，t=1，2…，T.同理，根據(jù)w1(t)可以推到出w2(t)，然后得出一個矩陣 wq(t)，q=1，2…q0，t=1，2…，T.

在 HJB 價值方程等于 u(t，x，q，s)= －exp(－γ(x+qs))wq的情況下，最優(yōu)價差可以表示為:

由此，通過以上推導可以看出，在給定的輸入變量(1)初始時刻待交易數(shù)量q0;(2)交易時間T;3)描述成交概率的參數(shù)λ和κ;4)絕對風險規(guī)避系數(shù)γ;5)清算剩余持倉所需的單位成本b;6)股票漂移率μ和波動率σ，就可以求出指令交易中的高于一檔買價的賣價價差，進而投資者可以據(jù)此賣價下限價單.

圖1 最優(yōu)報價與時間、持倉量的關系

2 數(shù)值求解

2.1 最優(yōu)限價單報價

HJB方程給出了在不同條件下的最優(yōu)報價.圖1(A)描述了給定時間內(1～5 min)賣出相應數(shù)量股票(橫坐標，1至5份額)的最優(yōu)價差情況(縱坐標).可以發(fā)現(xiàn)，股票待交易數(shù)量越多，價差越小，是為了保證更快的執(zhí)行;隨著清算時間的變短，價差也在變小，也是為了在給定時間內賣出更多的股票.圖1中可以發(fā)現(xiàn)，當時間只有1 min，而仍然持有5份額的股票時，模型隱含的最優(yōu)價差為零值;而當持有超過5份額以上的股票時，模型給出的最優(yōu)價差將為負值(圖1中未顯示)，這在現(xiàn)實中是不可能的，然而由于在模型中并未對價差的符號做出限制，因此價差為負值時我們將它視為即時市價交易指令.負價差的出現(xiàn)與指令簿密度函數(shù)系數(shù)γ、λ，股票波動率σ，未成交的成本b有關.我們可以將成本b當作未及時成交的懲罰，當b很大時，價差是容易出現(xiàn)負值的;當投資者是對風險嫉妒厭惡的，或者股票的波動率很大時，投資者都急于清倉，甚至是不惜成本的，所以價差在模型中也會變成負值.

圖1(B)描述了在5 min內(橫坐標300 s)分別按限價單賣出1到5份額股票的各個交易時刻的報價差(縱坐標).在零時刻，持倉量越小，報價越高，投資者不急于立刻成交，想要在更高的價位上賣出以得到更高的回報;而持倉越多的投資者會降低報價，減少不能及時成交的風險.從時間的角度而言，價差最終都會趨于一個定值:

2.2 蒙特卡洛模擬與交易曲線

根據(jù)HJB模型可以求解最大化效用函數(shù)的報價，本部分將對這一報價的交易結果進行檢驗.由于缺乏可供使用的限價單數(shù)據(jù)，本文采用蒙特卡洛方法模擬市場情況和報價路徑，求得交易的期望值.

圖2(A)給出了一次隨機模擬的交易情況，描述了投資者在零時刻有8份額的持倉，如何在5 min內變現(xiàn)的交易曲線.我們可以看出交易成跳躍式，并在240 s左右就已經(jīng)完全變現(xiàn).一方面由于股票的價格是隨機波動的，另一方面最優(yōu)報價的成交情況也是服從一定概率分布的，所以需要根據(jù)蒙特卡洛模擬得出N次交易的均值，才能描繪出相對連續(xù)的交易曲線.圖2(A)為在5 min內，不同的持倉量下按限價單報價方式的交易曲線.

圖2 基于限價單的最優(yōu)變現(xiàn)策略的執(zhí)行情況

Almgren和Chriss表明，在不考慮價格波動風險的情況下，最優(yōu)市價交易策略是按均勻速率交易，對應的交易曲線應為一條直線.與此相比，基于限價單的最優(yōu)報價而形成的交易曲線偏凹形，即在開始交易得更快，并逐漸趨于平緩.這也是由于我們考慮了股票的波動風險以及無法及時變現(xiàn)的風險.另外，在T時刻，q并沒有減少到0，這是因為未完全變現(xiàn)的懲罰b數(shù)值不夠大，假如b趨向正無窮，那么在T時刻前將會完全變現(xiàn).

2.3 敏感性分析

本節(jié)討論各參數(shù)對最優(yōu)價差的影響.基本參數(shù)設定為5 min內分別變現(xiàn)1到5份額股票，最優(yōu)價差結果見圖3.

測試的參數(shù)分為3類:

1)描述股票性質的μ，σ

漂浮率μ描述的是股票的預期的漲跌情況，μ越大，股票有升值預期，此時的報價會偏高，因為交易越晚，可能收益越高.波動率σ的影響則分為2部分:一方面，波動增大意味著在給定報價水平上成交的概率變大，從圖3可以看出，當待交易數(shù)量較少(即變現(xiàn)壓力較小)時，σ越大，價差越大;另一方面，波動率也代表了交易不確定性，所以當待變現(xiàn)數(shù)量較多(圖3中數(shù)量大于3份額)時，波動率越大，報價越低，投資者偏向迅速成交，及時變現(xiàn).

2)密度函數(shù)參數(shù)κλ

成交密度函數(shù)定義為:Λ(s)= λe－κs/σλ ＞ 0，κ＞0.所以κ與Λ(s)成反比，λ與Λ(s)成正比.因此，κ越大，λ越小，相同價差下成交的概率越小，為保證及時變現(xiàn)，只能降低報價.

3)效用函數(shù)參數(shù)γ，b

絕對厭惡系數(shù)γ既與股票價格波動風險有關，又與未執(zhí)行風險相關.所以當越大，投資者更厭惡風險，就會選擇更快地賣出股票，降低報價.b作為未變現(xiàn)的懲罰，在圖3中影響不大，是因為b已經(jīng)足夠大使得交易在T時刻前完全執(zhí)行.

3 結語

本文就限價單的報價策略展開了研究，目的是使得期望收益最大化的同時又盡量保證交易的完全執(zhí)行.本文以指數(shù)函數(shù)刻畫了市場成交密度函數(shù)，探討了基于限價交易的最優(yōu)報價策略.該策略適用于希望鎖定成交價格并減少市場沖擊的投資者，在其他算法交易(如VWAP策略等)拆單后的小區(qū)間的限價交易中也有應用.

圖3 參數(shù)對最優(yōu)變現(xiàn)策略的敏感性影響

在給定的輸入變量(1)初始時刻待交易數(shù)量q0(2)交易時間T，模型參數(shù)(3)描述成交概率的參數(shù)λ和κ(4)絕對風險規(guī)避系數(shù)γ(5)清算剩余持倉所需的單位成本b(6)股票漂移率μ和波動率σ，利用HJB方程能夠將最優(yōu)策略的求解問題轉換為一組常微分方程，就可以求出指令交易中的高于一檔買價的賣價價差，進而投資者可以據(jù)此賣價下限價單.使用數(shù)值方法可以獲得數(shù)值解，發(fā)現(xiàn)當持倉越高或交易時間越短時，報價越接近一檔買價;當模型給出的報價價差在貼近期末變?yōu)樨撝禃r，需要轉化為市價交易信號.另外，本文結合蒙特卡羅模擬方法模擬市場交易曲線并討論了各個參數(shù)的變化對結果的影響.將股價波動率加入市場成交密度函數(shù)，既避免了絕對價格的不同帶來的影響，又考慮了股價波動幅度的增大可能提高給定限價賣單成交的概率.

目前國內外的限價單策略研究還剛剛起步，最優(yōu)執(zhí)行策略的研究在理論和實踐中都存在明顯的價值.在將來的研究方向中，一方面可以尋找其他的密度函數(shù)方程來刻畫市場深度，另一方面，從掛單數(shù)量角度考慮，當掛單過多時，也會給市場以反向的信號，這時投資者應該尋求適當?shù)膾靻螖?shù)量.

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