●馬文杰

高中生數(shù)學(xué)解題錯誤探析及其矯正研究

●馬文杰

高中生在數(shù)學(xué)解題中出現(xiàn)的各種錯誤有一定的必然性與合理性，并具有重要的教學(xué)價值，是在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中可資借鑒的重要的教學(xué)資源之一。面對高中生在解題中出現(xiàn)的形形色色的錯誤，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)該持有積極的態(tài)度，運(yùn)用科學(xué)的方法引導(dǎo)學(xué)生分析產(chǎn)生錯誤的認(rèn)識根源，揭示錯誤的類型與程度，探究相應(yīng)的矯正方法，并通過必要的正誤對比，逐步加深學(xué)生對錯誤解法的認(rèn)識，及其對正確解法的理解。在綜合相關(guān)研究的基礎(chǔ)上，提出了矯正高中生數(shù)學(xué)解題錯誤的4條教學(xué)策略。

高中生；數(shù)學(xué)解題錯誤；認(rèn)識根源；矯正策略

解題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要活動之一，在解題過程中學(xué)生難免會出現(xiàn)各種各樣的錯誤。不少高中數(shù)學(xué)教師對學(xué)生在解題中出現(xiàn)的錯誤缺乏正確的認(rèn)識與足夠的重視，對其解題錯誤的分析與矯正往往乏善可陳，缺乏效果。在教學(xué)過程中有時候會出現(xiàn)教師辛辛苦苦地糾錯，學(xué)生依然故我地出錯的尷尬局面。心理學(xué)家蓋耶（A.Guyer）說：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學(xué)生犯錯誤，就將錯過最富有成效的學(xué)習(xí)時刻?！盵1]錯誤本身并不可怕，可怕的是無視學(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤，或?qū)W(xué)生的學(xué)習(xí)錯誤持有消極的態(tài)度與錯誤的對待方式，比如在教學(xué)過程中對學(xué)生學(xué)習(xí)錯誤的嚴(yán)重忽視，或者片面化歸因與簡單化處理，等等。在教學(xué)中教師如果能夠以積極的態(tài)度和科學(xué)的方式對待學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（包括解題過程）中出現(xiàn)的各種錯誤，必能使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤發(fā)揮出其應(yīng)有的教育價值。本文綜合高中生解題錯誤的相關(guān)研究，并在教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上對高中生數(shù)學(xué)解題錯誤的原因進(jìn)行深入探析，并提出相應(yīng)的矯正策略。

一、在教學(xué)中對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤常見的認(rèn)識誤區(qū)

在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，在對待學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯誤上，有些教師還存在一些誤區(qū)：[2]（1）粗暴對待錯誤；（2）沒有足夠耐心；（3）害怕學(xué)生出錯；（4）通過反復(fù)訓(xùn)練糾正錯誤。另外，我們認(rèn)為教師在對待學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯誤上還存在以下誤區(qū)：（1）對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤歸因的簡單化、片面化、表面化與靜態(tài)化，沒有認(rèn)識到學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯誤的歷史性、復(fù)雜性、多樣性、反復(fù)性、個體性、群體性，以及動態(tài)性，更沒有認(rèn)識到學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)的某些錯誤的必然性與合理性。比如把學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤總是簡單地歸結(jié)為：學(xué)習(xí)不積極、聽課不認(rèn)真、解題不仔細(xì)，等等；（2）對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤的簡單否定，及其錯誤矯正方式的直接化與簡單化，和由此導(dǎo)致的錯誤矯正的低效性與無效性。比如很多教師糾正學(xué)生解題錯誤的方式就是在課堂教學(xué)中把正確解法直接講解一遍，缺乏對錯誤根源的探析，正誤解法的必要對比，以及適當(dāng)?shù)淖兪骄毩?xí)，學(xué)生改正解題錯誤很多時候也只是把老師講解的“正確解答”依葫蘆畫瓢地重新書寫一遍，缺乏對錯解的深入分析與必要反思，等等；（3）缺乏對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤及其教育價值的辯證認(rèn)識。只看到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤的惡的一面，比如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的干擾與阻滯，等等，而看不到其善的一面，比如數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤的合理性、資源性價值與可利用性，及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤對學(xué)生數(shù)學(xué)思維特征與數(shù)學(xué)思維水平的揭示，對數(shù)學(xué)教學(xué)的診斷與反饋功能，等等。

二、對高中生數(shù)學(xué)解題錯誤應(yīng)持有的基本認(rèn)識

陳丹（2006年）[3]認(rèn)為教師對學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯誤應(yīng)該持有以下一些基本的態(tài)度：（1）尊重學(xué)生的見解；（2）幫助學(xué)生比較不同觀念；（3）要有足夠的耐心；（4）要懂得學(xué)生的心理；（5）幫助學(xué)生形成對待學(xué)習(xí)錯誤的積極態(tài)度。

我們認(rèn)為對待高中生數(shù)學(xué)解題錯誤應(yīng)該持有以下的基本認(rèn)識：（1）數(shù)學(xué)解題錯誤具有一定的必然性與合理性。由于高中數(shù)學(xué)的抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性，以及知識容量大，習(xí)題難度高（題目類型多，解題技巧強(qiáng)，計算量大，等等）等特點(diǎn)，和高中生認(rèn)知發(fā)展的不平衡性與個體差異性等，因此，一直以來數(shù)學(xué)都是高中各科中較為難學(xué)的一門學(xué)科，也是較易造成兩極分化的一門學(xué)科。另一方面，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過程中，許多數(shù)學(xué)家也犯過形形色色的錯誤，現(xiàn)在來看，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家所犯的有些錯誤堪稱“低級”，但由歷史相似性原理可知，高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中也會在一定程度上“重蹈歷史覆轍”，因此，他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）中所發(fā)生的各種錯誤有一定的必然性與合理性；（2）數(shù)學(xué)解題錯誤的資源性價值與可利用性。學(xué)生在解題中出現(xiàn)的各種錯誤并不是一無是處，而是具有重要的教育價值。如果教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中能夠充分發(fā)掘與有效利用學(xué)生的各種錯誤資源，完全可以實(shí)現(xiàn)變廢為寶。有些解題錯誤具有一定的偶發(fā)性，是由粗心大意或一時疏漏所造成的，對這類偶發(fā)性的錯誤完全可以通過引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析題意，仔細(xì)運(yùn)算或進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕忸}檢驗(yàn)等解決。有些解題錯誤包含一定的正確因素，在教學(xué)過程中進(jìn)行錯誤分析時既要指出其錯誤之處，分析其錯誤的性質(zhì)，又要積極利用其正確因素，合理構(gòu)建糾錯過程，使學(xué)生對其解題錯誤的認(rèn)識更加辯證、全面、深入和客觀。有些解題錯誤具有典型性、普遍性與根本性，比如題目類別的錯誤識別、解題方向的錯誤確定、解題方法（策略）的不當(dāng)選擇、數(shù)學(xué)性質(zhì)的錯誤運(yùn)用，等等。對此類具有一定普遍性與根本性的錯誤，在教學(xué)過程中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考，或共同探究與討論的基礎(chǔ)上，從認(rèn)識根源上揭示錯解的根本原因，以及錯誤的性質(zhì)與程度，提出相應(yīng)的矯正方法，并通過必要的正誤對比加深學(xué)生對正確解題方法的認(rèn)識與理解；（3）數(shù)學(xué)解題錯誤的教學(xué)診斷功能。不管學(xué)生的解題過程與解題結(jié)果正確與否，都能揭示有關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的大量信息。比如普遍性和典型性的解題錯誤可以揭示學(xué)生在數(shù)學(xué)認(rèn)知上存在的普遍性問題，偶發(fā)性和個別性錯誤可以揭示個別學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與不足，等等。在備課前通過專門設(shè)計的測試題，及其對學(xué)生解答過程的正誤分析，可以較為準(zhǔn)確地了解其已有的知識儲備，認(rèn)知特點(diǎn)和思維水平，為教學(xué)預(yù)設(shè)與教學(xué)定向奠定堅實(shí)的基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中，學(xué)生所出現(xiàn)的各種理解錯誤，包括解題錯誤，可以為教學(xué)效果的及時診斷與教學(xué)過程的即時調(diào)整提供基本依據(jù)，而在課后教師還可以通過專門設(shè)計的測試題，或者有針對性的作業(yè)等對教學(xué)效果進(jìn)行進(jìn)一步的檢驗(yàn)，這可為后續(xù)教學(xué)的調(diào)整與改變提供更為全面和深入的依據(jù)?？傊?，不論是哪一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤，都能在一定程度上揭示學(xué)習(xí)者的知識貯備、認(rèn)知特點(diǎn)、思維水平，以及非智力因素等方面的重要信息。

三、對高中生數(shù)學(xué)解題錯誤（失?。┑脑蛱轿?/h2>

吳茜（2011年）[4]認(rèn)為對高中生數(shù)學(xué)解題失敗的成因及矯正策略的分析，具有以下的基本意義：（1）使教師的教學(xué)過程更具有針對性；（2）有助于揭示學(xué)生解題的思維過程；（3）有助于發(fā)展學(xué)生的自我批判能力；（4）有助于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心；（5）有助于完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并認(rèn)為高中生在數(shù)學(xué)解題中失敗的主要原因有：[5]（1）已有知識不充足；（2）概念理解不透徹；（3）公式掌握不到位；（4）解題反思不到位；（5）最初審題不細(xì)致；（6）不善歸納與整理；（7）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣方面；（8）數(shù)學(xué)解題心理方面。胡望秋（2007年）[6]認(rèn)為造成初中學(xué)生解題錯誤的干擾主要來自以下兩方面：（1）小學(xué)數(shù)學(xué)的干擾；（2）初中數(shù)學(xué)前后知識的干擾，并提出了相應(yīng)的應(yīng)對策略：（1）課前準(zhǔn)備要有預(yù)見性；（2）課內(nèi)講解要有針對性；（3）課后講評要有總結(jié)性。

綜合吳茜（2011年）、[7]胡望秋（2007年）[8]等有關(guān)學(xué)生解題錯誤的研究，我們認(rèn)為高中生數(shù)學(xué)解題錯誤的基本原因從大的方面可以概括為：（1）數(shù)學(xué)教材本身的原因。比如高中數(shù)學(xué)教材的抽象性與嚴(yán)謹(jǐn)性等都比較高，知識容量比較大，對數(shù)學(xué)知識（方法）多以簡縮化、靜態(tài)化的方式呈現(xiàn)，缺乏對數(shù)學(xué)思維過程的有效揭示，等等。另外，數(shù)學(xué)課程在素材選擇、內(nèi)容安排與組織等方面的缺陷與不足，又進(jìn)一步加大了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出錯的可能性。另一方面，在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中當(dāng)時的數(shù)學(xué)家所犯的各種錯誤，在高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中也會不同程度的“重現(xiàn)”，再加上高中生認(rèn)知水平與思維水平的差異性與不平衡性等特點(diǎn)，因此，從某種意義上來說，高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（包括數(shù)學(xué)解題）過程中發(fā)生一些錯誤，有一定的必然性與合理性；（2）數(shù)學(xué)教學(xué)過程本身的原因。比如教師對學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)思維水平了解不夠，教學(xué)準(zhǔn)備不足，教學(xué)方法選擇不當(dāng)，教材內(nèi)容把握不準(zhǔn)確，甚至對某些數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解有科學(xué)性錯誤，或者教學(xué)過程中的反饋與調(diào)節(jié)缺乏靈活性，等等，都會在一定程度上造成教學(xué)失誤。另外，“課堂教學(xué)是由多要素構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性和關(guān)系性決定著：盡管課堂教學(xué)作為有目的、有意識的教育活動，是必須也能夠進(jìn)行預(yù)設(shè)的，但不可能完全像計算機(jī)輸出程序一樣按部就班且精密地運(yùn)行，不可避免地帶有不確定和生成的性質(zhì)?！盵9]這樣學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程（包括數(shù)學(xué)解題活動）中出現(xiàn)一些錯誤也就“情有可原”了；（3）學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的原因。比如學(xué)生已有數(shù)學(xué)知識儲備不足，無法繼續(xù)學(xué)習(xí)新的內(nèi)容，或者學(xué)生的認(rèn)知水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于學(xué)習(xí)內(nèi)容的基本要求，難以理解新的數(shù)學(xué)內(nèi)容，或者由于已有的數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的負(fù)遷移，對新知識的學(xué)習(xí)造成了嚴(yán)重干擾，等等。另外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤（包括解題錯誤）也與學(xué)生的非智力因素密切相關(guān)，比如有些學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機(jī)嚴(yán)重不足，缺乏學(xué)習(xí)動力，感受不到學(xué)習(xí)的樂趣，等等，這樣他（她）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)各種錯誤（包括解題錯誤）就更“不足為奇”了。

四、數(shù)學(xué)解題錯誤的基本類型

李允（2011）認(rèn)為學(xué)生的錯誤大致可分為如下幾種類型：[10]（1）“認(rèn)知過程中的錯誤和社會行為中的錯誤。認(rèn)知過程中的錯誤是針對學(xué)習(xí)的內(nèi)容所出現(xiàn)的各種問題；社會行為錯誤主要指違規(guī)違紀(jì)行為。”；（2）按照錯誤主體的多寡，可分為個體錯誤和群體錯誤。針對群體錯誤，教師應(yīng)該反思自己的教學(xué)活動設(shè)計及其實(shí)施是否處于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)；（3）按照錯誤的不同性質(zhì)，可將錯誤分為合理性錯誤和非合理性錯誤。合理性錯誤是指學(xué)生回答或表現(xiàn)出來的結(jié)果雖然不完全正確，但卻包含著合理性因素，而非合理性錯誤是指學(xué)生回答與表現(xiàn)結(jié)果，及其認(rèn)知過程都不正確；（4）按照錯誤形成的原因，可將錯誤分為主觀性錯誤與非主觀性錯誤。主觀性錯誤是由學(xué)生自身的原因所造成的，而非主觀性錯誤是由學(xué)生主觀以外的其它要素影響所導(dǎo)致的錯誤。

陶君（2008年）[11]結(jié)合個人的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，把高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見解題錯誤分為4類：（1）基礎(chǔ)不扎實(shí)；（2）思維不嚴(yán)密；（3）方法不得當(dāng)；（4）解題不規(guī)范。黃興豐、程龍海（2003年）[12]將學(xué)生在幾何解題中的錯誤分為5類：（1）“閱讀理解（包括對圖形的理解）”錯誤；（2）“轉(zhuǎn)換”錯誤；（3）“加工技能”錯誤；（4）“策略選擇”錯誤；（5）“編碼”錯誤。并從心理學(xué)的角度總結(jié)了學(xué)生出錯的原因：（1）過強(qiáng)的動機(jī)、不正確的觀念是引起理解、技能選擇錯誤的主要因素；（2）知識基礎(chǔ)和認(rèn)知圖式的缺陷是導(dǎo)致轉(zhuǎn)換、加工技能錯誤的主要因素；（3）策略選擇錯誤是由以上兩個因素共同引起的，因而成為影響問題解決的最大因素。

綜合解題錯誤的相關(guān)研究[13][14][15][16][17][18][19]，根據(jù)解題錯誤的性質(zhì)，我們把高中生數(shù)學(xué)解題錯誤主要分為以下幾類：

（1）知識性錯誤。這里主要指解題者由于數(shù)學(xué)知識上的缺陷與不足所造成的各種錯誤。如誤解題意、概念混淆、公式法則的誤用，以及定理的錯用，等等；（2）邏輯性錯誤。這里主要指違反基本邏輯規(guī)則所產(chǎn)生的推理與論證錯誤。如，虛假論據(jù)、不能推出、偷換概念、循環(huán)論證、分類不當(dāng)（比如在分類中出現(xiàn)子項(xiàng)交叉關(guān)系或從屬關(guān)系、分類層次混亂、分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一、以偏概全、忽視特例，等等）、不等價變換，等等。邏輯性錯誤主要表現(xiàn)為推理的無效性與虛假性。有些邏輯性錯誤比較明顯，易于分析，而有些邏輯性錯誤相對隱蔽，需要在解題教學(xué)中進(jìn)行深入分析，才能揭示其錯誤；（3）策略性錯誤。由于解題方法或解題策略的錯誤選擇或不當(dāng)運(yùn)用，造成的解題錯誤或解題受阻。比如由于對題目類型的錯誤識別造成解題方法的選擇不當(dāng)，或者由于對某種數(shù)學(xué)方法的錯誤認(rèn)識而導(dǎo)致解題錯誤，比如以特殊驗(yàn)證代替一般性論證，等等。有些解題方法或解題思路雖沒有本質(zhì)錯誤，但解題過程過于曲折隱晦，或存在思維回路等，導(dǎo)致整個解題過程費(fèi)時費(fèi)力，且易于出錯，明顯違背解題的“經(jīng)濟(jì)性原則”、簡潔性原則與和諧性原則，尤其在各種數(shù)學(xué)考試中，即使最終勉強(qiáng)解題成功，也由于費(fèi)時費(fèi)力而造成“潛在失分”，也可以認(rèn)為是解題策略選擇不當(dāng)；（4）心理性錯誤。這里指解題者雖然具備了解決問題的必要數(shù)學(xué)知識與基本技能，但由于某些心理原因而產(chǎn)生的各種解題錯誤。比如看錯題、抄錯題、遺漏條件、書寫丟三落四、運(yùn)算過程中的各種“低級錯誤”、答非所問，甚至在解答過程中遺漏對某些問題的解答，或者不按題目要求作答，以及無故變更問題，等等。尤其在各類數(shù)學(xué)考試中，由于考試焦慮等造成的各種“低級解題失誤”更是屢見不鮮。

五、高中生數(shù)學(xué)解題錯誤的矯正策略

胡望秋（2007年）針對初中學(xué)生解題錯誤提出的應(yīng)對策略是：[20]（1）課前準(zhǔn)備要有預(yù)見性?！邦A(yù)防錯誤的發(fā)生，是減少初中學(xué)生解題錯誤的主要方法”；（2）課內(nèi)講解要有針對性。在課內(nèi)講解時，對于容易混淆的概念，可以運(yùn)用對比教學(xué)的方法，引導(dǎo)學(xué)生弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系，及其本質(zhì)特點(diǎn)。對于各種數(shù)學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)性質(zhì)，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生搞清它們的來源，分清它們的條件和結(jié)論，明白它們的基本用途和適用范圍，以及應(yīng)用時應(yīng)注意的問題。課堂提問與課堂練習(xí)是及時了解學(xué)生課堂學(xué)習(xí)情況的常用方法，對學(xué)生的錯誤回答與錯誤解答，要分析其產(chǎn)生的原因，并有針對性地提出矯正方法。總之，通過課堂教學(xué)，不僅要教會學(xué)生數(shù)學(xué)知識，而且要引導(dǎo)學(xué)生掌握識別錯誤、分析錯誤與改正錯誤的基本方法；（3）課后講評要有總結(jié)性。要認(rèn)真分析學(xué)生作業(yè)中暴露出的各種問題，對其中的典型錯誤進(jìn)行相應(yīng)的分析與整理，并通過有針對性的作業(yè)講評，進(jìn)行適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)，以達(dá)到鞏固學(xué)生數(shù)學(xué)知識、強(qiáng)化數(shù)學(xué)技能，以及提升數(shù)學(xué)能力的基本目的，并進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生識錯、析錯與改錯的基本方法與基本能力。

綜合羅增儒（2001）[21]胡望秋（2007年）、[22]陶君（2008年）[23]等的相關(guān)研究，我們認(rèn)為為了有效矯正高中學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中的各類錯誤，應(yīng)該在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中注重以下方面：

（1）在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)一步加強(qiáng)教學(xué)的針對性與有效性。應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)、思維水平、已有知識儲備、學(xué)習(xí)動機(jī)水平等進(jìn)行科學(xué)合理的教學(xué)定位與教學(xué)定向，進(jìn)一步加強(qiáng)教學(xué)預(yù)設(shè)的科學(xué)性與針對性。在教學(xué)過程中注重暴露思維過程，注重數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，揭示數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)思想方法的本質(zhì)特點(diǎn)，并揭示不同數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法之間的本質(zhì)區(qū)別和實(shí)質(zhì)聯(lián)系。在教學(xué)過程中，可以通過教學(xué)觀察、課堂提問、課堂練習(xí)等方式積極收集各種教學(xué)反饋信息，并據(jù)此進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)調(diào)整。通過教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生在自己頭腦中建構(gòu)起脈絡(luò)清晰、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、普遍聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識（方法）體系，這可以最大可能地減少學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)解題中出現(xiàn)錯誤的可能性。

（2）在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)和解題教學(xué)中把學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤與數(shù)學(xué)解題錯誤作為重要的教學(xué)資源，注重挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤的教育價值。“與已經(jīng)定型的教材等外來資源相比，學(xué)生學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯誤更貼近學(xué)生的實(shí)際，更能引起學(xué)生的興趣，更能促進(jìn)其自我實(shí)現(xiàn)，因此學(xué)生的錯誤是更鮮活的教學(xué)資源?！盵24]在平常的教學(xué)中，應(yīng)該積極收集與整理學(xué)生的各種典型性錯誤與普遍性錯誤，并把這些典型錯誤作為教學(xué)的切入點(diǎn)之一。教師對學(xué)生的各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（解題）錯誤應(yīng)該有一定的預(yù)見能力，但沒有必要在教學(xué)過程中對學(xué)生錯誤處處設(shè)防，時時預(yù)警，以免擾亂學(xué)生自然的思維過程。對學(xué)生典型錯誤的分析應(yīng)該自然地暴露其錯誤過程，“當(dāng)錯誤暴露出來以后，教師應(yīng)該盡量避免將之直接指出和予以糾正，因?yàn)檫@樣就剝奪了學(xué)生的反思機(jī)會。教師應(yīng)當(dāng)提供機(jī)會讓出錯的學(xué)生通過反思（或與同伴討論）自己發(fā)現(xiàn)并糾正錯誤。”[25]在教學(xué)中對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤（包括解題錯誤）矯正的關(guān)鍵是在共同討論和深入分析的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生揭示錯誤的認(rèn)識根源，及其錯誤的性質(zhì)，探索相應(yīng)的矯正方法，并配備一定的課堂練習(xí)與課后作業(yè)，使學(xué)生對正確的認(rèn)識或解題方法能夠真正學(xué)到手。教師在每次糾錯的過程中都要引導(dǎo)學(xué)生在共同探究、討論交流的基礎(chǔ)上解決如下三個基本問題：①哪里出錯；②為何出錯；③怎么改正。

（3）對學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的各種解題錯誤，教師可以在作業(yè)批改中進(jìn)行適當(dāng)批注或?qū)ｉT面批。在作業(yè)批改中，教師可以把學(xué)生的錯誤用批注等方式標(biāo)記出來，比如指出錯誤的類型、性質(zhì)及其錯誤的程度，并提出改正的基本要求，等等。也可以運(yùn)用適當(dāng)?shù)臅r機(jī)對學(xué)生作業(yè)進(jìn)行當(dāng)面批改，通過面對面的交流，教師對學(xué)生解題錯誤的認(rèn)識根源，錯誤的性質(zhì)，等等會有更加深入和全面的了解，可以進(jìn)一步加強(qiáng)解題指導(dǎo)的針對性與有效性。另外，面批的過程也是師生交流的重要時機(jī)，有利于增進(jìn)師生感情，也有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)動機(jī)。

（4）注重全面發(fā)揮“糾錯本”的教育功能。對學(xué)生在平常的解題和考試中所出現(xiàn)的各種典型錯誤，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生利用“糾錯本”對自己的解題錯誤進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆治雠c整理。在解題錯誤的分析與糾正過程中，主要應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生分析錯題的認(rèn)識根源、錯誤的性質(zhì)，錯誤的類別、以及相應(yīng)的矯正方法，并通過必要的正誤對比，加深對解題錯誤的認(rèn)識，加強(qiáng)解題防錯能力，進(jìn)一步強(qiáng)化對正確解法的認(rèn)識，等等。此外，教師應(yīng)該對學(xué)生錯解題的收集與整理工作，進(jìn)行一定的“跟蹤”研究與督促檢查，以期對學(xué)生的改錯行為與改錯過程有更加深入與全面的了解，使學(xué)生的改錯過程真正落到實(shí)處，并充分發(fā)揮其應(yīng)有的教育功能。

最后，我們要指出的是對學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的各種錯誤（包括解題錯誤），教師不能操之過急，更不能越俎代庖，而應(yīng)該科學(xué)引導(dǎo)，并提供適當(dāng)?shù)臋C(jī)會讓學(xué)生在獨(dú)立思考或共同探究的基礎(chǔ)上，自己去反思、發(fā)現(xiàn)與改進(jìn)以幫助學(xué)生在思考解決問題的過程中掌握學(xué)習(xí)的方法，激發(fā)學(xué)生克服困難的勇氣并體驗(yàn)問題解決后的成功感。

[1]李祎.生成性教學(xué)資源調(diào)查研究[J].中國教育學(xué)刊，2007（3）:60-63.

[2][3]陳丹.關(guān)于如何對待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯誤的思考[J].教育探索，2006（1）:75-76.

[4][5][7][13]吳茜.高中生數(shù)學(xué)解題失敗的成因及解決策略[D].遼寧師范大學(xué)，2011:2-19.

[6][8][14][20][22]胡望秋.怎樣對待初中生數(shù)學(xué)解題錯誤[J].時代教育，2007（6）:102-106.

[9][10][15]李允.教學(xué)錯誤資源:理性認(rèn)識與有效開發(fā)[J].中國教育學(xué)刊，2011（4）:40-42.

[11][16][23]陶君.糾正高中生數(shù)學(xué)解題錯誤實(shí)驗(yàn)研究[D].華中師范大學(xué)，2008:7-10.

[12][17]黃興豐，程龍海.初中生在幾何解題中所出現(xiàn)錯誤的調(diào)查研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003，12（3）:74-76.

[18]趙雪飛，黃彩祥.高中數(shù)學(xué)解題邏輯性錯誤分析[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2005（7）.

[19][21]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社，2001（2）:498-500.

[24][25]孫四周.“錯誤”是一種重要的教學(xué)資源[J].中國教育學(xué)刊，2012（3):80.

（責(zé)任編輯：金傳寶）

馬文杰/華東師范大學(xué)博士研究生，主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論