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        反正切相加定理的一種新證法

        2014-03-28 22:47:35劉春平劉曉平
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2014年6期
        關(guān)鍵詞:習(xí)題集吉米揚(yáng)州

        劉春平, 劉曉平

        (1.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002; 2.揚(yáng)州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

        反三角函數(shù)是三角函數(shù)在定義域內(nèi)某個(gè)單調(diào)區(qū)間上的反函數(shù). 關(guān)于反三角函數(shù),中學(xué)和大學(xué)教科書[1-3]上有許多經(jīng)典的定理和公式,如反正切相加定理,反正弦、反余弦相加定理等等. 吉米多維奇數(shù)學(xué)分析習(xí)題集第776題為:

        證明反正切相加定理

        (1)

        式中ε(x,y)為取值0,1,-1三者之一的函數(shù). 當(dāng)已知x的值時(shí),對(duì)于怎樣的y值函數(shù)ε可能不連續(xù)?在Oxy平面上作出函數(shù)ε連續(xù)的對(duì)應(yīng)域,并求此函數(shù)在所求得的域內(nèi)的數(shù)值.

        該題中的(1)式即是應(yīng)用非常廣泛的反正切相加公式.據(jù)我們所知,該定理一般都是從反函數(shù)的定義出發(fā),通過(guò)討論arctanu的取值范圍進(jìn)行證明的,證明本身并不復(fù)雜,但式中ε(x,y)何時(shí)取值0,何時(shí)取值1或-1, 學(xué)生不容易做出全面分析. 本文利用微分方程給出反正切相加定理一種新證明方法如下:

        (2)

        (3)

        注意到平面曲xy=1將Oxy平面分為三個(gè)區(qū)域:

        D1={(x,y)|xy<1},

        D2={(x,y)|xy>1,x>0,y>0},

        D3={(x,y)|xy>1,x<0,y<0}.

        ① 當(dāng)(x,y)∈D1時(shí),由(3)式兩邊關(guān)于x積分,得

        F(x,y)=arctanx+φ1(y).

        (4)

        取x=0,代入(4)式,注意到F(0,y)=arctany,可知φ1(y)=arctany.因此

        (5)

        ② 當(dāng)(x,y)∈D2時(shí),由(3)式兩邊關(guān)于x積分,得

        (6)

        注意到x→+∞時(shí),

        由(6)式有

        又因?yàn)閥>0時(shí),

        (7)

        因此φ2(y)=-π+arctany,從而

        (8)

        ③ 當(dāng)(x,y)∈D3時(shí),類似地有

        (9)

        注意到x→ -∞時(shí),

        由(9)式有

        (10)

        而y<0時(shí),

        (11)

        因此φ3(y)=π+arctany,從而

        (12)

        綜合①~③,即證明了反正切相加公式

        并且由(5),(8)和(12)知

        (13)

        不難看出,(13)式直接給出了反正切相加定理中函數(shù)ε(x,y)的連續(xù)域以及函數(shù)在域內(nèi)的取值,第776題“當(dāng)已知x的值時(shí),對(duì)于怎樣的y值函數(shù)ε可能不連續(xù)?在Oxy平面上作出函數(shù)ε連續(xù)的對(duì)應(yīng)域,并求此函數(shù)在所求得的域內(nèi)的數(shù)值.”自然就得到了解答.

        [參 考 文 獻(xiàn)]

        [1] 周敏澤.中國(guó)華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本(高一年級(jí))[M].吉林:吉林教育出版社,2002:132-140.

        [2] 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第一卷)[M].8版.北京:高等教育出版社,2006:87-91.

        [3] 吉米多維奇. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M]. 北京:人民教育出版社,1978:81-83.

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