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        股票隨機(jī)模型及其衍生品期權(quán)定價(jià)理論研究

        2014-03-27 22:34:56崔占豪王雷雷劉曉俊
        金融理論探索 2014年1期
        關(guān)鍵詞:布朗運(yùn)動(dòng)股票價(jià)格等價(jià)

        崔占豪 王雷雷 劉曉俊

        摘 要:基于相關(guān)理論研究,并結(jié)合近幾年在金融衍生品特別是期權(quán)定價(jià)方面的研究成果,利用隨機(jī)分析理論,在股票混合過(guò)程的隨機(jī)模型下,給出帶有特殊股票紅利支付的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式,進(jìn)而對(duì)金融衍生品定價(jià)的前景進(jìn)行展望。

        關(guān) 鍵 詞:股票隨機(jī)模型;期權(quán)定價(jià);金融衍生品

        中圖分類(lèi)號(hào): F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1006-3544(2014)01-0058-05

        股票模型及期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融市場(chǎng)中一個(gè)重要的研究課題,也是金融創(chuàng)新的一個(gè)重要方向。特別是1973年Black-Scholcs期權(quán)定價(jià)公式[1] 的問(wèn)世,在金融衍生品定價(jià)研究中具有里程碑的意義。 之后1979年Harrison & Kreps在論文 [2] 中對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法進(jìn)行了系統(tǒng)闡述,為期權(quán)定價(jià)研究提供了新方法。再后來(lái)鞅理論的發(fā)展,極大地推動(dòng)并發(fā)展了期權(quán)定價(jià)理論的研究方法。本文在上述理論研究基礎(chǔ)之上,結(jié)合近幾年在金融衍生品,特別是期權(quán)定價(jià)方面的研究成果,利用隨機(jī)分析理論,在股票混合過(guò)程的隨機(jī)模型下,給出帶有特殊股票紅利支付的歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式,進(jìn)而對(duì)金融衍生品定價(jià)的前景進(jìn)行展望。

        一、理論基礎(chǔ)

        (一)泊松(Possion)過(guò)程是到達(dá)時(shí)間間隔為獨(dú)立且同時(shí)服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量

        在實(shí)際生活中,如果假設(shè)顧客到達(dá)商場(chǎng)的時(shí)間間隔是獨(dú)立隨機(jī)變量的話,那么顧客到達(dá)商場(chǎng)的時(shí)間分布就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。由于該隨機(jī)變量概率分布的不同,決定著隨機(jī)過(guò)程不同。但是廣泛地說(shuō),分布為任意分布時(shí)得到的過(guò)程為計(jì)數(shù)過(guò)程, 也稱為更新過(guò)程。 Possion過(guò)程是特殊的更新過(guò)程, 是我們模擬股票瞬時(shí)跳躍的較為理想的過(guò)程, 也是進(jìn)一步研究股票衍生產(chǎn)品定價(jià)的基礎(chǔ)。

        定義(Ti)i≥0是獨(dú)立同服從?祝(a,?姿)(a>0,?姿>0)的隨機(jī)變量序列,令?子n=■Ti,則計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)i=sup{n|?子n≤t},t≥0為時(shí)間間隔服從伽馬分布的更新過(guò)程,稱之為伽馬更新過(guò)程。 伽馬更新過(guò)程在實(shí)證分析中更能真實(shí)地模擬股票跳躍, 而其特殊情況即為Possion過(guò)程。

        如果(Nt)t≥0是伽馬更新過(guò)程,則P(Nt=n)=■■xna-1e-?姿xdx-■■x(n+1)a-1e-?姿xdx,n=0,1,2,…,當(dāng)a為正整數(shù)時(shí),p(Nt=n)=■■e-?姿t,n=0,1,2,…。

        特別地,當(dāng)a=1時(shí),p(Nt=n)=■e-?姿t,n=0, 1,2,…,此時(shí)為泊松過(guò)程。由于更新過(guò)程的強(qiáng)度 [1] 為■,這里E(T1)=■,故此更新過(guò)程的強(qiáng)度為■,其中?祝(s)=■xs-1e-xdx,s>0,。所以對(duì)于Possion過(guò)程,比如客戶到達(dá)的時(shí)間間隔Tn的分布:

        F■=p(Tn≤t)=1-e-?姿t,t≥00, t<0

        其密度函數(shù)為:f■(t)=?姿e-?姿t,t≥00, t<0。

        (二)Wiener過(guò)程 [4]

        股票價(jià)格波動(dòng)過(guò)程中,除了股票價(jià)格跳躍時(shí)刻,還有連續(xù)上升或下跌時(shí)段。后者在隨機(jī)分析理論中經(jīng)常用布朗運(yùn)動(dòng)模擬。

        當(dāng)隨機(jī)過(guò)程Bt,t∈[0,T]滿足下列條件時(shí),我們稱隨機(jī)過(guò)程Bt,t∈[0,T]為布朗運(yùn)動(dòng)。

        1. 該過(guò)程初始值為0,即B0=0;

        2. Bt具有固定的連續(xù)增量;

        3. Bt在時(shí)間t內(nèi)連續(xù);

        4. 增量Bt-Bs服從均值為0,方差為|t-s|的正態(tài)分布,即:(Bt-Bs)~N(0,|t-s|)。

        布朗運(yùn)動(dòng)模擬股票連續(xù)時(shí)段是一種理想狀態(tài)模擬,多數(shù)情況下是用一般的帶有漂移項(xiàng)和波動(dòng)項(xiàng)的隨機(jī)過(guò)程去模擬,即伊藤過(guò)程。

        (三)伊藤過(guò)程

        隨機(jī)過(guò)程xt,如果其微分形式可以表示為:dx= a(x,t)dt+b(x,t)dz,其中dz是Wiener過(guò)程,我們稱xt表示一個(gè)伊藤過(guò)程。而伊藤引理表明,如果隨機(jī)變量x遵循伊藤過(guò)程,dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz,設(shè)G=G(x,t)是x和t的二階連續(xù)可微函數(shù),則G(x,t)遵循如下過(guò)程:

        dG=■a+■+■■b2dt+■bdz

        如果股票價(jià)值過(guò)程遵循伊藤過(guò)程,即忽略股票的瞬時(shí)跳躍,而股票衍生產(chǎn)品的價(jià)值變化過(guò)程可用G(x,t)去模擬,于是股票衍生品的價(jià)格可通過(guò)解形如dG=■a+■+■■b2dt+■bdz的隨機(jī)微分方程得到。該理論是我們?cè)陲L(fēng)險(xiǎn)中性市場(chǎng),對(duì)股票衍生產(chǎn)品無(wú)套利定價(jià)的基礎(chǔ)。

        (四)鞅和等價(jià)鞅測(cè)度

        鞅理論使定價(jià)理論研究方便了很多,在金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)當(dāng)中起到舉足輕重的作用,因此研究鞅的定義和等價(jià)鞅測(cè)度十分必要。

        如果隨機(jī)過(guò)程[Zn,n≥0]滿足以下兩個(gè)條件:

        (1)對(duì)于n≥0的任何n,E|Zn|<∞;

        (2)E{Zn+1|Z0,…,Zn}=Zn

        我們稱隨機(jī)過(guò)程[Zn,n≥0]為鞅。在鞅理論中,關(guān)鍵問(wèn)題就是找到鞅測(cè)度或者等價(jià)鞅測(cè)度,找到鞅測(cè)度或者等價(jià)鞅測(cè)度也就找到了金融衍生品的理論價(jià)格。

        等價(jià)鞅測(cè)度:定義在概率空間(?贅, ,( )0≤t≤T,P)上的隨機(jī)過(guò)程{S(t),t∈(0,+∞)}對(duì)于信息結(jié)構(gòu)

        和條件概率( )0≤t≤T是一個(gè)鞅。如果對(duì)任意t>0,滿足以下三個(gè)條件:(1)S(t)在信息結(jié)構(gòu) 下已知;(2)E|S(t)|<+∞;(3)Et[S(t)]=S(t),t

        在期權(quán)定價(jià)中,等價(jià)鞅測(cè)度的理論定價(jià),表達(dá)的正是風(fēng)險(xiǎn)中性市場(chǎng)上的無(wú)套利定價(jià)原則, 即利用各階段信息結(jié)構(gòu) 決定的條件概率P*,所求的平均價(jià)值的現(xiàn)值總等于初始階段的價(jià)值,這樣就是運(yùn)用鞅方法對(duì)期權(quán)在風(fēng)險(xiǎn)中性市場(chǎng)上進(jìn)行定價(jià)的理論基礎(chǔ)。

        二、市場(chǎng)假設(shè)

        在給定的市場(chǎng)及帶流概率空間(?贅, ,( )0≤t≤T,P),假設(shè):

        (1)市場(chǎng)為有效的無(wú)摩擦市場(chǎng),即市場(chǎng)信息是公開(kāi)的,各市場(chǎng)主體獲得信息都是相對(duì)公平的。市場(chǎng)上有兩類(lèi)資產(chǎn):一類(lèi)是風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)如股票,另一類(lèi)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)如債券;

        (2)股票交易連續(xù)進(jìn)行,且不存在交易費(fèi)用和交易稅;

        (3)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)資產(chǎn)利率按連續(xù)復(fù)利r(r>0)計(jì)算;

        (4)股票特殊的連續(xù)分紅利率q(r>q>0)。

        在上述市場(chǎng)假設(shè)下, 市場(chǎng)上其他任何資產(chǎn)都可以用這兩類(lèi)資產(chǎn)進(jìn)行無(wú)套利復(fù)制。如果我們得到該市場(chǎng)假設(shè)下的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程,那么其他資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程就可以用其進(jìn)行無(wú)套利復(fù)制。 如何模擬這兩類(lèi)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程成為我們進(jìn)一步定價(jià)研究的前提。對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券債券,是具有固定收益的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程。其價(jià)格過(guò)程用S■■表示,則滿足微分方程:

        ■=rdt, S■■=1 (1)

        其中,0時(shí)刻債券價(jià)格為1單位,t(t>0)時(shí)刻的債券價(jià)格即為:S■■=ert。

        另外一類(lèi)資產(chǎn)為風(fēng)險(xiǎn)證券,如股票。股票價(jià)格波動(dòng)的數(shù)學(xué)模擬是一個(gè)復(fù)雜的課題。在隨機(jī)分析理論中通常把股票的價(jià)格波動(dòng)視為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。如果可以表示成一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的隨機(jī)微分方程,那么股票的價(jià)格可以通過(guò)解微分方程得到。下面分三步去完善帶有紅利支付的股票模型。

        首先,假設(shè)股票價(jià)格過(guò)程遵循一般的維納過(guò)程,且具有不變的期望漂移率及波動(dòng)率。顯然這樣不實(shí)際,因?yàn)檫@意味著股票的百分比收益與股票價(jià)格以及股票增發(fā)數(shù)量無(wú)關(guān),實(shí)際則不同。所以股票價(jià)格過(guò)程就不可能是一般的維納過(guò)程。為此股票價(jià)格可用瞬時(shí)期望漂移率?滋S和波動(dòng)率為?滓2S2的伊藤過(guò)程進(jìn)行描述,即:

        dS=?滋Sdt+?滓Sdz或■=udt+?滓dz (2)

        其次,考慮股票具有連續(xù)紅利支付的情況,那么該股票模型就等價(jià)于一個(gè)沒(méi)有紅利,且服從如下的幾何布朗運(yùn)動(dòng)S■■:

        dS't=(?滋+q)S'tdt+?滓S■■dWt (3)

        S't(T)=S'texp(?滋+q-■)(T-t)+?滓(WT -Wt)

        =eq(T-t)S'texp(?滋-■)(T-t)+?滓(WT -Wt)

        其中,?滋,?滓為該股票的瞬時(shí)收益率和波動(dòng)率,Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),q為其連續(xù)分紅利率。這樣支付紅利率q的股票S(T)在t時(shí)刻的價(jià)格為S(t)e-q(T-t)。有了這樣的帶紅利股票,我們就可以將其股票貼現(xiàn)價(jià)格■'t=e-rtS't轉(zhuǎn)化成一個(gè)鞅,即在鞅測(cè)度下■'t=e-rtS't滿足微分方程:

        d■'t=■'t[?滓dWt+(?滋+q+■-r)dt] q(r>q>0)

        構(gòu)造■t=Wt+?滓-1(?滋+q+■-r)t是一個(gè)Brown運(yùn)動(dòng),在等價(jià)鞅測(cè)度下,又可以仿造簡(jiǎn)單的Black-Scholes模型 [3] ,將此鞅測(cè)度下微分方程(3)轉(zhuǎn)化為:

        dSt=St[?滓dWt+(r-q-■)dt] (4)

        從而有解:St=S0exp[?滓dWt+(r-q-■)t]。

        最后,現(xiàn)在看來(lái)股票隨機(jī)模型已經(jīng)比較合理了,如果再考慮到股票在市場(chǎng)中帶有瞬時(shí)跳躍的情況就更完美了。那么此時(shí)的模型又是如何?能否用一個(gè)特殊的隨機(jī)微分方程模擬股票波動(dòng), 進(jìn)而通過(guò)解隨機(jī)微分方程得到股票價(jià)格?大量的實(shí)證研究表明,該數(shù)學(xué)思想在實(shí)證分析中是可行的。 下面我們給出一種混合過(guò)程的模型,把股票波動(dòng)中的跳躍也加入其中。在風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度下,其價(jià)格混合過(guò)程St滿足隨機(jī)微分方程:

        ■=(r-q)dt-vd■nPn(t)+?滓dWt+UdNt

        q(r>q>0) (5)

        其中:r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;?滓是股票沒(méi)有跳躍時(shí)的波動(dòng)率;q(r>q>0)是標(biāo)的股票的紅利率;Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng);U(U>-1)(否則會(huì)出現(xiàn)負(fù)的價(jià)格)為股票價(jià)格發(fā)生跳躍時(shí)股票價(jià)格的相對(duì)跳躍高度,它是隨機(jī)變量;Pn(t)=■e-?姿t為與時(shí)間有關(guān)的Possion分布;vd■nPn(t)是由更新跳躍帶來(lái)的平均增長(zhǎng),v=E(U),其中E為期望算子。

        由微分方程(3)的求解過(guò)程可進(jìn)一步推導(dǎo)方程(5)的解為:

        St=S0■(1+Ui)exp

        r-q-■t-v■nPn(t)+?滓Wt,q(r>q>0)

        其中,Ui為?子i時(shí)刻股票價(jià)格的相對(duì)跳躍高度, [5] Pn(t)=■e-?姿t,U1,…,Un,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。由于股票價(jià)格除了有大致的走勢(shì)以外,大量交易數(shù)據(jù)表明,股票價(jià)格走勢(shì)中存在跳躍。綜合眾多實(shí)踐表明視股票價(jià)格波動(dòng)跳躍為Possion過(guò)程的指數(shù)布朗運(yùn)動(dòng)的混合過(guò)程更符合實(shí)際。

        三、混合過(guò)程下歐式看跌期權(quán)的定價(jià)

        我們有了混合過(guò)程的股票價(jià)格過(guò)程以后, 股票資產(chǎn)的衍生產(chǎn)品期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題隨之而來(lái)。 當(dāng)今期權(quán)產(chǎn)品定價(jià)理論比較成熟,然而在實(shí)際應(yīng)用時(shí),往往會(huì)產(chǎn)生誤差。這就給市場(chǎng)上一些投機(jī)分子較多的套利機(jī)會(huì),給金融市場(chǎng)帶來(lái)很大的風(fēng)險(xiǎn)。下面用隨機(jī)分析理論,給出股票資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式。

        如果X為歐式看跌期權(quán),其執(zhí)行價(jià)格為K,到期日為T(mén),記看跌期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)值為P(t,St),在等價(jià)鞅測(cè)度P*下,假定■t=e-rtSt為鞅,則可以提出命題:

        設(shè)St為滿足隨機(jī)微分方程(5)的股票價(jià)格過(guò)程,則其到期日為T(mén),執(zhí)行價(jià)格為K的歐式看跌期權(quán)P(T,ST),在t時(shí)刻的價(jià)格P(t,St)為:

        P(t,St)=■Pk(T-t)?著k[Ke■?椎(d2)-St■(1+Ui)e■?椎(d1)] (6)

        其中,d1=■,d2=d1-?滓■。

        證明:X為歐式看跌期權(quán),則X=f(ST)=(K-ST)+,在等價(jià)鞅測(cè)度下endprint

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