聶 曼， 楊仕友

(浙江大學電氣工程學院， 浙江 杭州 310027)

1 引言

實際工程設(shè)計問題存在不可避免的不精確或不確定性。例如，由于加工誤差，通常很難保證實際制造產(chǎn)品的尺寸與設(shè)計結(jié)果的一致性。因此，如果優(yōu)化設(shè)計方案對于優(yōu)化參數(shù)的微小變化非常敏感，則優(yōu)化變量的輕微擾動可導致系統(tǒng)性能的嚴重退化，或違反約束函數(shù)導致無效解。因此，此時“最優(yōu)”方案不再僅僅以目標函數(shù)作為評價標準，而需兼顧設(shè)計方案抗微小擾動(魯棒性)的能力。從這個意義上講，不確定性條件下電磁場逆問題魯棒優(yōu)化設(shè)計理論和技術(shù)成為計算電磁學的熱點研究方向之一[1,2]。

所謂魯棒性即指優(yōu)化方案對決策變量或環(huán)境變量小擾動的不敏感性。現(xiàn)有文獻通常采用均值和標準差作為目標函數(shù)和軟約束函數(shù)的魯棒性能參數(shù)，而簡單地將“最壞解”作為強約束函數(shù)的魯棒性能參數(shù)[3- 5]。因此，為計算某一具體可行解的魯棒性，需要在其某一鄰域內(nèi)取大量采樣點并計算這些采樣點上的目標/約束函數(shù)值。這主要是因為實際逆問題中目標函數(shù)和約束函數(shù)沒有解析解。換句話說，魯棒優(yōu)化算法的計算量遠高于全局優(yōu)化算法。至于目前魯棒優(yōu)化設(shè)計中所用的采樣機制，一般為蒙特- 卡洛(Monte- Carlo)模擬法和其改進型[3,4]。盡管實現(xiàn)簡便，但Monte- Carlo型的采樣方法需要大量的采樣點，因此這類方法計算效率較低。而電磁場逆問題的分析計算通常需要應(yīng)用高精度的數(shù)值方法計算電磁場正問題，因此對計算資源來說無疑是雪上加霜。為降低計算成本，在不影響最優(yōu)解質(zhì)量的條件下，本文提出了電磁場逆問題魯棒優(yōu)化設(shè)計的快速蟻群優(yōu)化算法(ACO)。

2 魯棒優(yōu)化蟻群算法 (ACO)

2.1 不確定條件下的魯棒優(yōu)化設(shè)計

一般工程設(shè)計問題中的不確定性可分為四類[5]。本文主要專注于電磁場逆問題中的第二類和第四類的不確定性，即產(chǎn)品的容差和加工精度的不確定性，以及可行性不確定性。對于涉及這些不確定性的逆問題，其數(shù)學模型可為：

(1)

式中，x是設(shè)計(決策)參數(shù)(變量)；δ是不確定性變量。

對于目標函數(shù)，本文采用平均或期望的適值函數(shù)衡量可行解x的魯棒性能：

(2)

式中，p(δ)是不確定性或干擾的概率密度函數(shù)。

對于約束函數(shù)，采用兩種不同的模型處理其魯棒性，即采用最壞解策略搜索強約束條件的魯棒解，定義為：

(3)

采用概率模型搜索軟約束條件的魯棒解，即第i個約束函數(shù)gi的概率模型為：

(4)

2.2 魯棒優(yōu)化蟻群算法

蟻群算法(ACO)是人們通過模擬沒有任何智能的蟻群能夠建立蟻穴至食物源最短路徑過程而提出的一種啟發(fā)式的搜索算法[7，8]。然而，這種算法搜索過程比較復(fù)雜，需要設(shè)計復(fù)雜的信息素更新機制。有鑒于此，人們通過研究墨西哥熱帶森林中的Pachycondyla Apicalis螞蟻行為，提出了一種與Pachycondyla Apicalis 螞蟻覓食策略相應(yīng)的新蟻群算法，API算法(以Pachycondyla APIcalis命名)以解決優(yōu)化問題[9]。

API算法將搜索過程劃分為兩個不同的搜索過程：全局搜索模擬蟻穴移動，局部搜索模擬覓食區(qū)域的搜索。因此，API算法的特有結(jié)構(gòu)為開發(fā)快速魯棒性能參數(shù)計算策略提供了可能。據(jù)此，本文提出了一種魯棒優(yōu)化API算法，其迭代過程如下：

(1) 初始化：設(shè)置算法參數(shù)；

(2) 生成新的蟻穴(全局搜索)：生成新的蟻穴N；

(3) 細化局部探索：

1) 強化搜索：對于每一個螞蟻ai

如果ai在其記憶中有少于p個覓食區(qū)域，則在N的鄰域創(chuàng)建一個新區(qū)域，并搜索這個新區(qū)域；

否則如果之前的區(qū)域搜索未成功，繼續(xù)搜索同一區(qū)域；

否則搜索一個概率選擇的區(qū)域(從記憶的p個區(qū)域中選擇)；

2) 信息共享：用本搜索周期搜索到的最優(yōu)區(qū)域概率地替換該螞蟻記憶中的一個區(qū)域；

3) 蟻穴移動：如果滿足蟻穴移動條件，則轉(zhuǎn)向步驟4)；否則，轉(zhuǎn)向步驟1);

4) 計算本搜索周期搜索到的最優(yōu)解的魯棒性能參數(shù)；

(4) 終止條件判斷：如果條件成立，則停止搜索；否則，清空所有螞蟻的記憶，然后轉(zhuǎn)向步驟(2)。

2.3 魯棒性能計算

約束優(yōu)化問題的魯棒最優(yōu)解只能是局部/全局最優(yōu)解，或者是位于約束條件邊界上的解[10]。因此，優(yōu)化過程中沒有必要計算所有中間解的魯棒性能參數(shù)。換句話說，對于一個理想的魯棒優(yōu)化算法應(yīng)具有判斷中間解性質(zhì)，并只計算前述潛在魯棒解的魯棒性能參數(shù)的能力，以在保證解質(zhì)量條件下最大程度地減少不必要的計算負擔。而由本文前述的API算法的迭代過程可以看出，只有在搜索過程搜索到的最優(yōu)解才有成為全局/局部最優(yōu)解的可能。這個突出特點使得本文算法成為開發(fā)高效和簡單魯棒優(yōu)化算法的理想選擇，因為本文算法只需要計算上述潛在解的魯棒性能即可以較小的計算代價搜索到優(yōu)化問題的魯棒最優(yōu)解。據(jù)此，本文提出了API魯棒優(yōu)化算法魯棒性能計算的簡單策略，即在每次細化搜索后，只計算本次搜索階段搜索到的最優(yōu)解的魯棒性能參數(shù)。很明顯，只計算潛在解的魯棒性能，而不是全部中間解的魯棒性能，將大大減少優(yōu)化算法的計算成本。而且，在同一細化搜索過程中大多數(shù)探索解都集中在當前蟻穴的附近，借助于本文設(shè)計的覓食區(qū)域生成機制，本文算法可以利用這些探索過的解，而不是像現(xiàn)有魯棒優(yōu)化算法那樣再重新采樣新點，計算潛在解的魯棒性能參數(shù)。

為了在較少采樣點條件下盡可能提高魯棒性能指標的計算精度，本文又提出了利用多項式混沌近似構(gòu)造目標函數(shù)響應(yīng)面進而有效計算魯棒性能參數(shù)的方法。

對于目標函數(shù)f(x,δ)，如果不確定變量δ遵循某一隨機過程，它的有限階P次多項式混沌近似為[11]：

(5)

多項式混沌近似的突出優(yōu)點是這些多項式基在某一內(nèi)積規(guī)范下正交，即：

φi(δ)φj(δ)p(δ)dδ=δij

(6)

式中，δij是Kronecker 函數(shù)。

展開式系數(shù)為：

(7)

由多項式混沌近似式(5)，可以很容易地計算魯棒性能指標：目標函數(shù)f(x,δ)的平均值和標準差。需要說明的是，如果采樣點的個數(shù)為N，則多項式混沌近似的誤差與eN成反比。因此，同樣計算精度要求下，與現(xiàn)有的Monte- Carlo法相比，采用多項式混沌近似計算上述的魯棒性能參數(shù)可明顯降低采樣點的數(shù)量。

2.4 兼具全局最優(yōu)解和魯棒最優(yōu)解的搜索策略

現(xiàn)有魯棒優(yōu)化算法一般應(yīng)用魯棒性能參數(shù)評價解的好壞以指導搜索過程。由前述分析可見，只有局部最優(yōu)解和邊界解才有可能成為魯棒最優(yōu)解。因此，原始目標函數(shù)應(yīng)該選為評價解的優(yōu)良特性的驅(qū)動力。然而，如果單獨使用目標函數(shù)為評價解的優(yōu)良性的唯一依據(jù)就有可能搜索不到全局魯棒最優(yōu)解，這是因為中間解的魯棒參數(shù)的信息沒能用來指導搜索過程。為此，根據(jù)本文算法的結(jié)構(gòu)特征，設(shè)計了一次搜索同時搜索魯棒最優(yōu)解和全局最優(yōu)解的搜索機制。這種機制使用兩種不同的標準評估解的質(zhì)量。在搜索的內(nèi)循環(huán)中，使用目標函數(shù)評價中間解；而在搜索的外循環(huán)中，則使用魯棒性能參數(shù)評價、判斷中間解。

3 計算實例

為驗證本文提出的蟻群(ACO)算法的性能，將其應(yīng)用于一個標準電磁場逆問題，Team Workshop Problem 22，即文獻[12]所述的三個自由參數(shù)的超導磁儲能(Superconducting Magnetic Energy Storage, SMES)系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題。如圖1所示，該儲能系統(tǒng)包含兩個同心線圈，內(nèi)部主線圈和用于減少雜散磁場的外部屏蔽線圈。兩個線圈中的電流方向彼此相反。SMES的設(shè)計需要滿足：①系統(tǒng)中儲存的能量為180MJ;②線圈內(nèi)的磁場分布必須保證超導體不失超的特定物理條件;③沿著距離坐標軸10m的直線A和直線B上22個觀測點的平均雜散磁場應(yīng)盡可能的小。

為保證超導體的超導電性，兩個線圈內(nèi)的電流密度和磁通密度必須滿足：

Ji≤(-6.4|(Bmax)i|+54)(A/mm2)i=1,2

(8)

式中,Ji和|Bmax|i分別是第i個線圈中的電流密度和最大磁通密度。

圖1 SMES的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of SMES

在三參數(shù)問題中，內(nèi)部線圈固定，外部線圈的尺寸為優(yōu)化變量。表1給出了這些參量的大小和變化范圍。此外,線圈的電流密度都設(shè)定為22.5A/mm2。為方便數(shù)值計算，式(8)進一步簡化為|Bmax|≤4.92T。在上述簡化條件下，該優(yōu)化問題可表示為

s.t. |Bmax|i≤4.92T

(9)

(10)

表1 問題22 參數(shù)值及其變化范圍Tab.1 Details about parameters of team workshop problem 22

在優(yōu)化過程中，式(9)和式(10)所需的性能參數(shù)通過二維有限元分析(FEA)確定。為進行性能比較，分別用本文蟻群(ACO)算法和一種魯棒交叉熵(CE)法[10]求解該問題。在優(yōu)化計算時，設(shè)優(yōu)化變量存在某一不確定性的擾動，該擾動為1%的高斯隨機擾動。經(jīng)過2675次迭代搜索，本文算法在一次運行中搜索到了魯棒解和全局最優(yōu)解；搜索到的全局最優(yōu)解非常接近國外參考文獻給出的目前最優(yōu)解[12]。與此相比，CE法需要3256次迭代才能找到相同的解。表2給出了這兩種方法的最終優(yōu)化解，以及國內(nèi)外文獻給出的目前最好解(IGTE)。需要指出的是表2中給出的IGTE的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果和原文獻給出的設(shè)計結(jié)果略有不同，最主要是這里使用的剖分網(wǎng)格與原文略有不同。

表2 不同優(yōu)化算法的性能比較Tab.2 Performance comparisons of different algorithms on team workshop problem 22

由這些計算結(jié)果可見：

(1) 用目標函數(shù)值來衡量，全局最優(yōu)解優(yōu)于魯棒最優(yōu)解。具體結(jié)果是，魯棒最優(yōu)解對應(yīng)的性能參數(shù)為：漏磁為7.55×10-7，儲能為179.2142 MJ；而全局最優(yōu)解對應(yīng)的性能參數(shù)分別為：漏磁為7.73×10-7，儲能為179.91 MJ；

(2) 然而，在優(yōu)化參數(shù)上疊加1%的擾動后，魯棒最優(yōu)解對應(yīng)的性能參數(shù)為：1.10605×10-6, 178.97250 MJ；全局最優(yōu)解對應(yīng)的性能參數(shù)為：1.40626×10-6, 183.28494 MJ。換句話說，本文算法獲得到的魯棒優(yōu)化解的魯棒性能比傳統(tǒng)優(yōu)化技術(shù)得的全局最優(yōu)解的魯棒性強壯得多；

(3) 本文算法的迭代次數(shù)大約是現(xiàn)有魯棒CE方法迭代次數(shù)的82%；

(4) 本文提出算法的突出優(yōu)點是它可以同時搜索到電磁場逆問題的魯棒最優(yōu)解和全局最優(yōu)解。而且，本文算法搜索到的最優(yōu)解的性能參數(shù)并不比目前國內(nèi)外搜索到的最優(yōu)解的性能參數(shù)差。

4 結(jié)論

典型算例的數(shù)值結(jié)果表明，本文提出的基于蟻群算法(ACO)的魯棒優(yōu)化算法主要特點是：① 在保證最終優(yōu)化解準確性的前提下，可快速地搜索到魯棒最優(yōu)解；②可通過一次運行同時搜索到全局最優(yōu)解和魯棒最優(yōu)解。因此，本文提出的魯棒蟻群算法在逆問題的全局和魯棒優(yōu)化研究方面具有較強的競爭力。

[1] G L Soares, R L S Adriano, C A Maia,et al. Robust multi- objective TEAM 22 problem: a case study for uncertainties in design optimization[J]. IEEE Trans. Magn., 2009, 45(3): 1028- 1031.

[2] Nam- Kyung Kim, Dong- Hun Kim, Dong- Wook Kim,et al. Robust optimization utilizing the second- order design sensitivity information[J]. IEEE Trans. Magn., 2010, 46(8): 3117- 3120.

[3] J Branke. Evolutionary optimization in dynamic environments [M]. Norwell, MA: Kluwer, 2001.

[4] C K Goh, K C Tan, C Y Cheong,et al. An investigation on noise- induced features in robust evolutionary multi- objective optimization[J]. Expert System with Applications, 2010, 37(8): 5960- 5980.

[5] H G Beyer, B Sendhoff. Robust optimization- a comprehensive survey [J]. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 2007, 196(33- 34): 3190- 3218.

[6] Marco Dorigo, Vittorio Maniezzo, Alberto Colorni. Ant system: optimization by a colony of cooperative agents [J]. IEEE Trans. System, Man, and Cybernetics- Part B: Cybernetics, 1996, 26(1): 29- 41.

[7] G Bilchev, I C Parmee. The ant colony metaphor for searching continuous design spaces [J]. Lecture Notes in Computer Science, 1995, 993: 25- 39.

[8] C Gagne, W L Price, M Gravel. Comparing an ACO algorithm with other heuristics for the single machine scheduling problem with sequence- dependent setup times [J]. Journal of the Operational Research Society, 2002, 53(8): 895- 906.

[9] N Monmarche, G Venturini, M Slimane. On how pachycondyla apicalis ants suggest a new search algorithm [J]. Future Generation Computer System, 2000, 16(8): 937- 946.

[10] S L Ho, Shiyou Yang, Yingying Yao，et al. Robust optimization using a methodology based on cross entropy methods [J]. IEEE Trans. Magn., 2011, 47(5): 1286- 1289.

[11] D Xiu, G Karniadakis. The Wiener- Askey polynomial chaos for stochastic differential equations [J]. SIAM J. Sci. Comput., 2002, 24(2): 619- 644.

(，cont.onp.70)(，cont.fromp.47)

[12] TEAM optimization benchmark problem 22 [OL].http://www.igte.tugraz.at/team22/.