陳 偉，張 踐

（1.武漢科技大學(xué) 城市建設(shè)學(xué)院，湖北 武漢 430000；2.武漢大學(xué) 測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079；3.武漢際上空間科技有限公司，湖北 武漢430070）

模糊時間序列預(yù)測結(jié)合了經(jīng)典的時間序列分析理論和新興的模糊數(shù)學(xué)理論，能有效地克服數(shù)據(jù)的不完整性和不確定性。模糊時間序列的研究受到了眾多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。1993 年Song 和Chissom[1]提出了模糊時間序列模型并用于對 Alabama大學(xué)招生人數(shù)的預(yù)測；又提出了一個新的模糊時間序列模型并與其他模型進行比較，使得預(yù)測精度得到很大提高[2,3]。此后，越來越多的專家和學(xué)者從理論和應(yīng)用等多方面對模糊時間序列模型進行了更加深入的研究[4-8]。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，將模糊時間序列預(yù)測模型應(yīng)用到滑坡預(yù)測預(yù)報中，具有一定的實用價值。

1 模糊時間序列預(yù)測模型

1.1 相關(guān)定義

定義1 令U為給定論域，將論域劃分為 n 個子區(qū)間，則U={u1,u2,…,un}。一個定義在論域U中的模糊集合A表示如下：A=fA(u1)/u1+fA(u2)/u2+…+fA(un)/un。其中，fA(?)是 ui對模糊集合 A 的隸屬函數(shù) ；fA(ui)是 ui對模糊集合A的隸屬度，fA(ui)?[0,1]，i=1,2,…,n。

定義2 令R中一子集Y(t) ( t = …, 0, 1, 2, … )為給定論域，fi(t) (i = 1, 2, …)為定義在其上的模糊集合，由f1(t)，f2(t)，…組成的集合F(t)稱作定義在 Y(t) ( t = …,0, 1, 2, …)上的模糊時間序列。

定義3 如果存在一個模糊關(guān)系R(t,t-1)，并有F(t)=F(t-1)?R(t-1,t)，則稱 F(t)可由 F(t-1)通過模糊關(guān)系R(t,t-1)導(dǎo)出。其中，“?”為一種關(guān)系運算算子。若F(t-1)=Ai，F(xiàn)(t)=Aj，則 F(t-1) 與 F(t)之間的模糊邏輯關(guān)系可以表示為F(t-1)→F(t)。

定義4 具有相同前件的模糊邏輯關(guān)系可以進一步構(gòu)成模糊邏輯關(guān)系組。假設(shè)一組模糊邏輯關(guān)系：Ai→Aj1，Ai→Aj2，…，則對應(yīng)的模糊邏輯關(guān)系組為Ai→ Aj1，Aj2，…。

1.2 模糊時間序列模型預(yù)測步驟

本文建立模糊時間序列模型的具體步驟如下：

1）定義論域及區(qū)間劃分。定義論域U=[Dmin-δ1,Dmax+δ2]，其中Dmin、Dmax分別為歷史數(shù)據(jù)的最小值和最大值；δ1、δ2為2個合適的正數(shù)。根據(jù)模糊聚類算法得到樣本中心點，將2個相鄰的聚類中心的中點作為論域劃分的邊界點，將論域U劃分為不等長度的區(qū)間u1，u2,…， un，其對應(yīng)的中心分別為 m1，m2，…， mn（具體步驟見文獻[9]）。

2）定義模糊集并模糊化數(shù)據(jù)。根據(jù)上步得到的區(qū)間定義模糊集 A= (A1， A2， …， An)，其中，Ai表示模糊集A的語義變量。將歷史數(shù)據(jù)按式（1）模糊化，其中，fij表示uj對集合Ai的隸屬度，本文采用的隸屬函數(shù)為三角隸屬函數(shù)。為了簡化計算，本文采用的模糊化規(guī)則是：首先判斷數(shù)據(jù)x所在區(qū)間，若x所在的區(qū)間為ui，那么就把x模糊化為Ai。依次將所有數(shù)據(jù)模糊化，就得到了一個模糊時間序列。

3）建立模糊關(guān)系并預(yù)測。根據(jù)步驟2）所得到的模糊時間序列求模糊關(guān)系矩陣。選用n天的樣本數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，設(shè)當(dāng)天為t，則前一天為t-1。選取訓(xùn)練樣本，根據(jù)選取的訓(xùn)練樣本，找出模糊關(guān)系矩陣。假設(shè)某日訓(xùn)練樣本的模糊化結(jié)果為Ft,m，下一日的數(shù)據(jù)模糊化結(jié)果為Ft+1,n，則模糊關(guān)系為Ft,m→Ft+1,n，根據(jù)模糊關(guān)系求模糊關(guān)系矩陣R。

式中，×為取小運算；ú為取大運算。將F(t-1)采用三角模糊函數(shù)模糊化，建立模糊時間序列預(yù)測模型：F(t)=F(t-1)?R(t-1,t)。

4）將輸出結(jié)果去模糊化，得到預(yù)測數(shù)值。本文采用最大隸屬度法去模糊化，運算規(guī)則如下：如果F（t）模糊預(yù)測變化值隸屬函數(shù)有且只有一個最大值un，其中點為mn，則預(yù)測變化值為mn；如果F（t）模糊預(yù)測變化值隸屬函數(shù)有多個最大值u1，u2,…，un，它們的中點分別為m1，m2,…，mn，則預(yù)測變化值為（m1+ m2+…+mn）/n；如果F（t）模糊預(yù)測變化值隸屬函數(shù)全部為0，則預(yù)測變化值為0。

2 應(yīng)用實例

本例取自文獻[10]中的應(yīng)用實例，著名的灑勒山滑坡發(fā)生于1983-03-07，位于甘肅省東鄉(xiāng)縣境內(nèi)巴謝河北岸，以實例中灑勒山新滑坡的位移監(jiān)測資料1985年3月～12月共10個月的監(jiān)測數(shù)據(jù)建立滑坡預(yù)測模型。運用本文所介紹的模糊時間序列模型的預(yù)測步驟，對1985年8月～12月的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，并將預(yù)測結(jié)果與指數(shù)模型、Verhulst模型和灰色GM(1，1)模型的預(yù)測結(jié)果進行了比較，結(jié)果見表1。

表1 各模型預(yù)測結(jié)果表/cm

本文采用均方誤差（MSE）和平均絕對百分誤差（MAPE）來衡量模型的精度。設(shè)觀測值為yi，預(yù)測值為，則均方誤差和平均絕對百分誤差分別為：

4種模型的精度評定結(jié)果見表2。

從表1、表2的計算結(jié)果來看，模糊時間序列模型預(yù)報的精度略優(yōu)于其他3種模型，均方誤差、平均絕對百分誤差指標相對其他模型而言都是比較好的，充分說明了模糊時間序列預(yù)報模型具有比較優(yōu)良的性能，可用于滑坡預(yù)報。

表2 各模型精度評定表

3 結(jié) 語

模糊時間序列模型建模簡單，所需樣本數(shù)據(jù)較少，且計算簡單，使用方便，短期預(yù)報精度較高。由于模糊時間序列預(yù)測方法是一門新興的研究領(lǐng)域，如何客觀地劃分論域區(qū)間、確定隸屬函數(shù)、構(gòu)建合適的模糊規(guī)則以及去模糊化方法仍然是影響模型預(yù)測精度的關(guān)鍵因素。進一步改進建模過程，提高預(yù)測精度以及更深入地應(yīng)用到滑坡預(yù)測預(yù)報中，將是下一步要做的工作。

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